2025~2026学年度人教版九年级上学期数学第一次月考训练卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度人教版九年级上学期数学第一次月考训练卷【附答案】，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题（17 等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共三道大题，25 道小题，满分 120 分，时量 120 分钟
第 I 卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题 3 分，满分 30 分）
1 ．把方程x2 - 6x = 3 (x - 2) 化成ax2 + bx + c = 0的形式，其中a、b、c 的值分别是( )
A ．1 ，3 ，2 B ．1 ，-3 ，6 C ．1 ，-9 ，-6 D ．1 ，-9 ，6
2 ．已知 a 是方程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根，则(a + 4)(a -1) 的值为( )
A ．1 B ．3 C ．-3 D ．-5
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 - 7x +10 = 0 的两根，则该等腰三角形的周长是 ( )
A ．12 B ．9 C ．13 D ．12 或 9
4 ．用配方法解方程x2 - 4x + 2 = 0，下列变形正确的是( )
A ．(x - 2)2 = 2 B ．(x - 4)2 = 2 C ．(x - 2)2 = 0 D ．(x - 4)2 = 1
5 ．已知方程6x2 - 7x - 3 = 0的两根分别为 x1 、x2 ，则 的值为 ( ).
A ． B ． C ． D ．
6 ．当函数y = (a -1)xa2 +1 + 2x + 3 是二次函数时，a 的取值为( )
A ．a = 1 B ．a = ±1 C ．a ≠ 1 D ．a = -1
7 ．将抛物线y = x2 - 4x - 4 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的函数表 达式为( )
A ．y = (x + 1)2 - 13 B ．y = (x - 5)2 - 3 C ．y = (x - 5)2 - 13 D ．y = (x +1)2 - 3
8 ．若关于 x 的一元二次方程(a + 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 的一个根是x =0 ，则 a 的值为( )
A ．2 B ．-2 C ．2 或-2 D ．4
9 ．已知 m 为方程 x2 - 5x + 3 = 0 的解，m 也为方程 x3 + px2 + q = 0 （p ， q 为常数） 的解， 则p 的值为( )
21 22 23
A ．-4 B ．- C ．- D ．-
5 5 5
10 ．设m 是实数，若抛物线y = (x - 2m)2 + 4m - 3 与直线y = 2x + m 有两个交点，且这两个 交点在抛物线对称轴的同侧，则m 的取值范围是( )
A ．m < -3 B ．m > -4 C ．-4 < m < -3 D ．
二、填空题（6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11 ．二次函数y =x2 -2x+1在-5 ≤ x ≤ 3 范围内的最大值与最小值的差为 ．
12 ．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手 78 次，则这次 会议参加的人数是 ．
13 ．已知抛物线y = ax2 - x -1与x 轴交于A，B 两点，顶点为C ，如果△ABC 为直角三角形，
则a = ．
14 ．若关于x 的函数y = (k -1)x2 + 4x +1 与坐标轴有两个交点，则k 的值是 ．
15 ．关于 x 的方程(m + 1)xm2 -2m-1 + x - 5 = 0 是一元二次方程，则m = ．
16 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c （ a ≠ 0 ）的图象如图所示，给出下列结论：①
a 0，b0，c > 0 ；②2a + b - c < 0 ；③对于任意的x 均有有ax2 + bx ≤ a + b ；④若方程 ax2 + bx + c = 1，有 4 个根，则这四个根之和为4 ，其中正确的结论是 ．
第 II 卷
三、解答题（17 、18 、19 题每题 6 分，20 、21 每题 8 分，22 、23 每题 9 分，
24 、25 每题 10 分，共计 72 分，解答题要有必要的文字说明）
17 ．解一元二次方程：
(1) x2 - 2x +1 = 0
(2) 3x2 - 4x + 1 = 0
18 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)方程ax2 + bx + c = 0的两个根为___________；
(2)若ax2 + bx + c < x -1，则自变量x 的取值范围为___________；
(3)若方程ax2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，k 的取值范围是___________．
19 ．已知一元二次方程(a - 3)x2 - 4x + 2 = 0 ．
(1)若方程的一个根为x = -1 ，则a 的值为______；
(2)若方程有相等的实数根，求a 的值．
20 ．已知关于x 的一元二次方程(a + c)x2 - 2bx + (a - c) = 0 ，其中 a 、b 、c 分别为△ABC 三 边的长．
(1)如果x =1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．景点商店销售某种纪念品，每件成本为 50 元，经市场调研，该纪念品的月销售量y （件） 与销售单价x （元）(x ≥ 50) 之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求该纪念品的月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2)若商店某月销售这种纪念品共获利 12000 元，求该纪念品当月的销售单价．
22 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - 4x + m = 0 ．
(1)若方程有两个实数根，求 m 的范围；
(2)若方程的两个实数根为 x1 、x2 ，且 (x1 - 2)2 + (x2 - 2)2 + m2 = 23 ，求 m 的值．
23 ．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m 的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为 贫困户靠墙（墙长15m ）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
(1)若要建的矩形养鸡场面积为120m2 ，求鸡场的长 AB 和宽BC；
(2)该扶贫单位想要建一个130m2 的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
24 ．在平面直角坐标系中， 已知抛物线y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(-3,0)，B (1,0) 两点， 与y 轴交于点 C (0, - 3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 1，过点E(-1, - 2) 的直线FG 与抛物线交于 F，G 两点，点 D 为抛物线的顶点，连 接DF，DG ，DE 将 △DFG 分成两部分的面积之差为 1，求直线 FG 的解析式；
(3)如图 2，P 为抛物线上异于顶点的任意一点，过点 P 且与抛物线仅有一个交点的直线 l 与 抛物线的对称轴交于点 N，在抛物线的对称轴上有一点 M，使得 PM = MN，求点 M 的坐标．
25 ．在平面直角坐标系中，已知抛物线y = x2 - (m + 1)x + m ，其中 m ≠ 1．
(1)求证：不论 m 取何值，抛物线过定点；
(2)点P(x, y) 在抛物线上，当x > 1 时，y 有最小值 试求出 m 的值；
(3)抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，与y 轴交于点 C，当 上BCA = 30° 时，求 m 的值．
1 ．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的 关键．把方程x2 - 6x = 3 (x - 2) 化成ax2 + bx + c = 0的形式，即可求解．
【详解】解：把方程x2 - 6x = 3 (x - 2) 化成ax2 + bx + c = 0的形式：x2 - 9x + 6 = 0 ，其中a、b、c 的值分别是 1 ，-9 ，6，
故选：D．
2 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据 a 是方 程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根，可得出a2 + 3a = 1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵a 是方程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根， : a2 + 3a = 1
: (a + 4)(a -1) = a2 + 4a - a - 4 = a2 + 3a - 4 = 1- 4 = -3 故选：C．
3 ．A
【分析】先求出方程的解， 分为两种情况：①当2 为底，5 为腰时，②当 5 为底，2 为腰时， 看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0 解得：x1 = 2 ，x2 = 5
当 2 为底，5 为腰时，则三角形的周长为 2+5+5=12； 当 5 为底，2 为腰时，2 + 2 < 5 则无法构成三角形， 故选：A
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点， 能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
4 ．A
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】x2 - 4x + 2 = 0
移项，得：x2 - 4x = -2 ，
配方：x2 - 4x + 4 = -2 + 4 ， 即(x - 2)2 = 2 .
故选 A.
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配 方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1 ，一次项的系数是 2 的倍数．
5 ．B
【分析】直接利用一元二次方程的根与系数关系，得出 进而将原式 变形求出答案．
【详解】解：∵6x2—7x—3=0 的两根分别为 x1 、x2，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，正确把握根与系数关系是解题的关键．
6 ．D
【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 【详解】∵函数y = (a -1)xa2 +1 + 2x + 3 是二次函数，
:a-1≠0 ，a2 +1=2， :a≠1 ，a2 = 1，
: a = -1 ，
故选 D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
7 ．D
【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵ y = x2 - 4x - 4 = (x - 2)2 - 8 ，
:该抛物线向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位得到的函数表达式为 y = (x - 2 + 3)2 - 8 + 5 = (x +1)2 - 3 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减， 上加下减”．
8 ．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．由一元二次方程的定义，可知 a + 2 ≠ 0 ；一根是0 ，代入(a + 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 可得a 2 - 4 = 0 ，即可求答案．
【详解】解：(a + 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 是关于x 的一元二次方程，
: a + 2 ≠ 0 ，即 a ≠ -2
有一个根x = 0 ，代入(a + 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 ， 可得a 2 - 4 = 0 ，解之得 a = ±2 ；
: a = 2 ；
故选：A．
9 ．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将m2 - 5m + 3 = 0变形为m2 = 5m - 3 ，代入
x3 + px2 + q = 0 得(22+ 5p)m -15 - 3p + q = 0 ，根据 m 有两个值，则22 + 5p = 0 ，即可求解． 【详解】解：:m 为方程 x2 - 5x + 3 = 0的解，
: m2 - 5m + 3 = 0 ， : m2 = 5m - 3 ，
:m 是方程 x3 + px2 + q = 0 ，
: m3 + pm2 + q = 0
把m2 = 5m - 3代入m3 + pm2 + q = 0 ，得 m (5m - 3) + p(5m - 3) + q = 0 ， : 5m2 + (5p - 3)m - 3p + q = 0
: 5 (5m - 3) + (5p - 3)m - 3p + q = 0 ， :(22+ 5p)m -15 - 3p + q = 0 ，
:m 为方程 x2 - 5x + 3 = 0的解，m 也为方程 x3 + px2 + q = 0 的解， : m 是两个不相等的值，
:对于(22+ 5p)m -15 - 3p + q = 0 来说，22 + 5p = 0 ，
故选：C
10 ．C
【分析】本题考查了二次函数的图形与性质， 二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的 判别式，正确理解抛物线与直线的两个交点在抛物线对称轴的同侧是解题的关键．当x = 2m 时，求出抛物线与直线上对应点的纵坐标，并列出不等式求解，得到m < -3 ，根据抛物线 与直线有两个交点，可列不等式并求解，得到m > -4 ，由此即得答案．
【详解】由题意，抛物线 y = (x - 2m)2 + 4m - 3 的顶点坐标为(2m，4m - 3) ， 当x = 2m 时，y = 2x + m = 2m + m = 3m ，
Q抛物线y = (x - 2m)2 + 4m - 3 与直线y = 2x + m 有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴
的同侧，
: 4m - 3 > 5m ， 解得m < -3 ，
令(x - 2m)2 + 4m - 3 = 2x + m ，
则x2 - (4m + 2)x + 4m2 + 3m - 3 = 0 ，
:Δ = (4m + 2)2 - 4(4m2 + 3m - 3) > 0 ，
:4m +16 > 0 ， 解得m > -4 ，
:-4 < m < -3．
故选 C．
11 ．36
【分析】此题考查了二次函数的性质， 二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理 解函数的开口方向确定最值是解题的关键．
将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算x = -5 时，当x =3 时的函数值，得到 函数值的范围即可．
【详解】解：Q y = x2 - 2x +1 = (x -1)2 ，
:抛物线开口向上，抛物线对轴为直线x =1 ，当 x =1 时，有最小值 0，
当x = -5 时，y = (x -1)2 = 36 ，
当x = 3 时，y = (x -1)2 = 4 ，
: 当-5 ≤ x ≤ 3 时，最大值为 36，最小值为 0，
:二次函数y =x2 -2x+1在-5 ≤ x ≤ 3 范围内的最大值与最小值的差为：36 - 0 = 36 ． 故答案为：36．
12 ．13
【分析】设参加会议有 x 人, 每个人都与其他 (x-1) 人握手,共握手次数为 x(x-1),根据题意 列方程.
【详解】解：设参加会议有 x 人,依题意得:x(x-1)=78, 整理得:x2-x-156=0
解得x1 =13, x2 =-12,(舍去).
答: 参加这次会议的有 13 人, 故答案为 13.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程式解题的关键.
13 ． ## 0.75
点C 到x 轴的距离CD 为 ，由 △ABC 为直角三角形，点A、B 关于对称轴对称，可得
【分析】本题考查了二次函数的几何应用， 等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方 程，由一元二次方程根的判别式可得 ，再利用二次函数解析式可得 AB = ，
-4a -1 4a
△ABC 为等腰直角三角形，即得AB = 2CD ，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判 断出 △ABC 为等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线y = ax2 - x -1与x 轴交于A，B 两点， : Δ = (-1)2 - 4a × (-1) > 0 ，
解得
∵抛物线y = ax2 - x -1，
:抛物线与x 轴交点的横坐标为 顶点C 的纵坐标为 ，
点C 到x 轴的距离CD 为 ， : △ABC 为直角三角形，点A、B 关于对称轴对称， : △ABC 为等腰直角三角形，
: AB = 2CD ，
/1+ 4a -4a -1
a 4a
: l = 2 l ，
整理得，16a2 - 8a - 3 = 0 ，
解得a1 = ， 不合题意，舍去），
故答案为： ．
14 ．1或5
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质以及二次函数判别式的应用，熟练掌握 一次函数和二次函数的定义、二次函数与x 轴交点和判别式的关系是解题的关键．本题需分 情况讨论函数类型，即一次函数和二次函数两种情况，根据函数与坐标轴交点的特点来确定 k 的值．
【详解】解：当函数 y = (k -1)x2 + 4x +1 为一次函数时，
:k -1 = 0 ， 解得k = 1，
此时函数为y = 4x +1，与x 轴有一个交点，与y 轴有一个交点，满足与坐标轴有两个交点． 当函数y = (k -1)x2 + 4x +1 为二次函数时，
:k -1 ≠ 0 ，即 k ≠ 1，
函数与y 轴一定有一个交点(0,1) ， :函数与坐标轴有两个交点，
:与x 轴有一个交点，
对于二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0 ），判别式 Δ = b2 - 4ac = 0 时，与x 轴有一个交点，
在y = (k -1)x2 + 4x +1 中，a = k -1 ，b = 4 ，c = 1， :Δ = 42 - 4(k -1)×1 = 0 ，即16 - 4(k -1) = 0 ，
16 - 4k + 4 = 0 ， 20 - 4k = 0 ，
解得k = 5 ．
综上，k 的值为1或5 ．
故答案为：1或5 ．
15 ．3
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2 - 2m -1 = 2，且m +1 ≠ 0 ，即可求解． 【详解】:关于 x 的方程(m + 1)xm2 -2m-1 + x - 5 = 0 是一元二次方程
: m2 - 2m -1 = 2，且 m +1≠ 0 ， 解得m = 3
故答案为：3
【点睛】本题考查一元二次方程的定义与一元二次方程的解法，熟记二次项系数不为 0 是解 题的关键．
16 ．①②③④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 一元二次方程根和系数的关系，由二次函数的 图象可得a < 0 ，c > 0 ，由对称轴可得b= -2a > 0 ，即可判断①； 由对称轴可得2a + b = 0 ， 进而可判断②；当x =1 时，函数最大值为y= a + b + c ，即可判断③；由方程ax2 + bx + c = 1 有四个根，可得方程ax2 + bx + c = 1与方程ax2 + bx + c = -1各自有两个根，设分别为
x x x x1234，，，，由根和系数的关系可得 得到
x x x x1234+++ = 2 + 2 = 4 ，即可判断④,掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：:二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象的开口向下，与y 轴交于正半轴上， : a < 0 ， c > 0 ，
:抛物线的对称轴为x = 1，
: b= -2a > 0 ，故①正确；
: 2a + b = 0 ， ∵ c > 0 ，
: 2a + b - c = 0 - c < 0 ，故②正确；
当x =1 时，函数最大值为y = a + b + c ， :对于任意的x 均有a + b + c ≥ ax2 + bx + c : a + b ≥ ax2 + bx ，
即ax2 + bx ≤ a + b ，故③正确； ∵方程ax2 + bx + c = 1 有四个根，
:方程ax2 + bx + c = 1与方程ax2 + bx + c = -1各自有两个根，设分别为x x x x1234，，，，
: x x x x1234+++ = 2 + 2 = 4 ，故④正确；
综上，正确的结论是①②③④ , 故答案为：①②③④.
17 ．(1) x1 = =x2 1
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）利用完全平方公式分解因式，再解方程即可；
（2）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：x2 - 2x +1 = 0 ，
: (x -1)2 = 0 ，
: x -1 = 0 ， : x1 = =x2 1；
（2）解：∵ 3x2 - 4x + 1 = 0 ， :(x -1)(3x -1) = 0 ，
: x -1 = 0 或3x -1 = 0 ，
18 ．(1) x1 = 1，x2 = 3
(3) k < 2
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关 系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）二次函数与 x 轴的交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得 答案；
（2）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再联立二次函数解析式和直线 y = x -1 的解析式，求出对应的交点坐标即可得到答案；
（3）根据题意可得二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线y = k 有两个不同的交点，据此结合函数
图象即可得到答案．
【详解】（1）解：:二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与 x 轴的两个交点坐标为(1, 0)，(3, 0) ， :方程ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = 1，x2 = 3 ；
（2）解：二次函数解析式为 y = a (x - 2)2 + 2 ，
把(1, 0) 代入y = a (x - 2)2 + 2 中得：0 = a (1- 2)2 + 2 ，解得 a = -2 ， :二次函数解析式为y = -2(x - 2)2 + 2 = -2x2 + 8x - 6 ，
联立 解得 或 :当ax2 + bx + c < x -1时，x < 1或
（3）解：:方程ax2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根， :二次函数y = ax2 + bx + c 与直线y = k 有两个不同的交点， : k < 2 ．
19 ．(1) a = -3
(2) a = 5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式 求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键．
（1）将 x = -1 代入一元二次方程(a - 3)x2 - 4x + 2 = 0 ，即可求出a 的值；
（2）根据“方程有相等的实数根”可得 Δ = 0 ，再结合二次项系数a - 3 ≠ 0 ，即可求出a 的值． 【详解】（1）解：方程的一个根为x = -1 ，
:a - 3 + 4 + 2 = 0 ，
解得：a = -3 ；
（2）解：根据题意，可得16 - 8(a - 3) = 0 且a - 3 ≠ 0 ， 解得：a = 5 ．
20 ．(1)等腰三角形，理由见解析
(2) x1 = 0, x2 = 1
【分析】（1）将 x =1 代入方程，进行整理即可判断△ABC 的形状；
（2）根据等边三角形三边相等，用b 表示a, c ，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： △ABC 为等腰三角形，理由如下：
将x = 1 代入方程，得：(a + c) - 2b + (a - c) = 0 ， 整理，得：2a - 2b = 0 ，
即： a - b = 0 ， : a = b ，
: △ABC 为等腰三角形．
（2）解：: △ABC 是等边三角形， : a = b = c ，
: (a + c)x2 - 2bx + (a - c) = 0 ，
: (b + b)x2 - 2bx + (b - b) = 0 ，即：2bx2 - 2bx = 0 ， 2bx(x -1) = 0 ，
解得：x1 = 0, x2 = 1 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定 和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
21 ．(1) y = -20x + 2000
(2)70 或 80 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令（1）中 y = 12000 ，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设 y = kx + b ，代入(50,1000) ，(60,800)，
则 í
ì50k + b = 1000
.
l 60k + b = 800
解得 í
ì k = -20
lb = 2000
: y = -20x + 2000 ．
（2）解：(x - 50)(-20x + 2000) = 12000 ． 解得x1 = 70 ，x2 = 80 ，
答：当获利 12000 元时，该纪念品的销售单价是 70 或 80 元．
22 ．(1) m ≤ 4
(2) m = -3 【分析】
（1）由根的情况，根据判别式可得到关于 m 的不等式，则可求得m 的取值范围；
（2）由方程根的定义可把(x1 - 2)2 + (x2 - 2)2 + m2 = 23 化为关于m 的方程，则可求得m 的值． 【详解】（1）
解：Q 关于x 的一元二次方程x2 - 4x + m = 0有两个实数根， : Δ ≥ 0 ，即 (-4)2 - 4m≥ 0 ，解 得m ≤ 4 ；
（2）Qx1 、x2 是方程x2 - 4x + m = 0的两个实数根，
: x - 4x1 = -m ，x - 4x2 = -m ，
Q (x1 - 2)2 + (x2 - 2)2 + m2 = 23 ，
: x - 4x1 + 4 + x - 4x2 + 4 + m2 = 23 ，
即m2 - 2m -15 = 0 ，解得 m = 5 或m = -3 ， 又m ≤ 4 ，
:m = -3 ．
【点睛】本题主要考查根的定义及根的判别式，由根的判别式求得 m 的取值范围是解题的 关键．
23 ．(1)长AB 和宽BC 分别为15m 与8m
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，能根据几何图形正确列出方程是解题的关键．
（1）设 BC = xm ，则 AB = (39 - 3x)m ，根据面积列出方程，求解验根即可；
（2）设BC = xm ，则AB = (39 - 3x)m ，根据面积列出方程，利用根的判别式判断方程是否 有解，并是否符合题意，即可解决．
【详解】（1）解：设 BC = xm ， ∵铁栅栏总长为39m ，
: AB = (39 - 3x)m ，
由题意得：x (39 - 3x) = 120 ，
整理得：x2 -13x + 40 = 0 ，
解得：x1 = 5 ，x2 = 8 ，
当x =5 时，39 - 3x = 24 > 15 ，不符合题意；
当x =8 时，39 - 3x = 15 ，符合题意；
答：鸡场的长AB 和宽BC 分别为15m 与8m ；
（2）解：设 BC = xm ，则 AB = (39 - 3x)m ，
由题意得：x (39 - 3x) = 130 ，
整理得：3x2 - 39x +130 = 0 ，
∵ Δ = (-39)2 - 4× 3 × 130 = -39 < 0 ， :方程无解，
故这一想法不能实现．
24 ．(1) y = x2 + 2x - 3
(2) y = -x - 3 或y = x -1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线FG 解析式为 - 2 ，联立 得x2 + x -1- k = 0 ，则 xF + xG = k - 2 ，求出D(-1,-4)，得到DE∥ y 轴，DE = 2 ，则S△ , S△ 根据DE 将 △DFG 分成两部分的面积之差为 1，当
S△DEF - S△DEG = 1 时，则xF + xG = -3 ，可得 k - 2 = -3 ，k = -1 ，则直线 FG 解析式为
y = - (x +1) - 2 = -x - 3 ；当S△DEG - S△DEF = 1 时，则xF + xG = -1 ，可得k - 2 = -1 ，k = 1 ，则 直线FG 解析式为y = (x +1) - 2 = x -1；
（3）设P(p, p2 + 2p - 3)，直线 l 解析式为y = k ¢ (x -p ) + p2 + 2p- 3 ，联立
í
ly
ìy
= k ¢ (x -p ) + p2 + 2p - 3
= x2 + 2x - 3
得x2 + (2 - k¢ )x + kp¢ - p2 - 2p = 0 ，根据直线 l 与抛物线只有一个
交点，得到Δ = (2 - k¢ )2 - 4(kp¢ - p2 - 2p) = 0 ，可得k¢ = 2 (p +1) ，则直线 l 解析式为 y = (2p + 2)x -p2 - 3，求出N(-1, -p2 - 2p - 5) ，设M(-1, t)，由勾股定理得到
2
MN2 = (-p2 - 2p - 5 - t) ，PM 2 = (-1-p )2 + (t - p2 - 2p + 3)2 ，则
(-1- p )2 + (t - p2 - 2p + 3)2 = (-p2 - 2p - 5 - t)2 ，可得(p +1)2 = 4 (t + 4)(p +1)2 ，则4(t + 4) = 1 ， 可得
【详解】（1）解：把A(-3, 0)，B (1, 0) ，C (0, - 3) 代入y = ax2 + bx + c 中得：íïa + b + c = 0 ，
ïlc = -3
ì9a - 3b + c = 0
:抛物线解析式为y = x2 + 2x - 3 ；
（2）解：设直线 FG 解析式为y = k (x +1) - 2 ，
ìïy
ïly
联立 í
= x2 + 2x - 3
= k (x +1) - 2
得x2 + (2 - k)x -1- k = 0 ，
: xF + xG = k - 2 ，
:抛物线解析式为y = x2 + 2x - 3 = (x +1)2 - 4 ， : D (-1, -4)，
: E (-1, -2)，
: DE ∥ y 轴，DE = 2 ，
: S△DEF = D - xF ) = -1- xF ，S△DEG = G - xD ) = xG +1， : DE 将 △DFG 分成两部分的面积之差为 1，
:当S△DEF - S△DEG = 1 时，则-1 - xF - xG - 1 = 1 ，
: xF + xG = -3 ， : k - 2 = -3 ，
: k = -1 ，
:直线FG 解析式为y = - (x +1) - 2 = -x - 3 ； 当S△DEG - S△DEF = 1 时，则xG + 1 + 1+ xF = 1，
: xF + xG = -1 ， : k - 2 = -1，
: k = 1，
:直线FG 解析式为y = (x +1) - 2 = x -1；
综上所述，直线FG 解析式为y= -x - 3 或y = x -1 ；
（3）解：设P(p, p2 + 2p - 3)，直线 l 解析式为y = k ¢ (x -p ) + p2 + 2p- 3 ，
ìy
ly
联立 í
= k ¢ (x -p ) + p2 + 2p - 3
= x2 + 2x - 3
得x2 + (2 - k¢ )x + kp¢ - p2 - 2p = 0 ，
:直线 l 与抛物线只有一个交点，
:Δ = (2 - k¢ )2 - 4(kp¢ - p2 - 2p) = 0 ，
: k¢2 - 4k¢ + 4 - 4kp¢ + 4p2 + 8p = 0 ， : k¢2 - 4k¢ (p +1) + 4(p +1)2 = 0 ， : k ¢ - 2(p +1)2 = 0 ，
: k¢ = 2 (p +1) ，
:直线 l 解析式为y = 2 (p +1)(x -p ) + p2 + 2p- 3 = (2p + 2)x -p2 - 3 ，
在y = (2p + 2)x -p2 - 3 中，当x = -1 时，y = -2p - 2 - p2 - 3 = -p2 - 2p - 5 ， : N (-1, -p2 - 2p - 5) ，
设M (-1, t)，
: MN2 = (-p2 - 2p - 5 - t)2 ，PM 2 = (-1- p )2 + (t - p2 - 2p + 3)2 ， : PM = MN，
: MN2 = PM 2 ，
: (-1- p )2 + (t - p2 - 2p + 3)2 = (-p2 - 2p - 5 - t)2 ， : (p +1)2 = (p2 + 2p + 5 + t)2 - (t - p2 - 2p + 3)2 ，
: (p +1)2 = (p2 + 2p + 5 + t + t - p2 - 2p + 3)(p2 + 2p + 5 + t - t + p2 + 2p - 3) ，
: (p +1)2 = (2t + 8)(2p2 + 4p + 2) ， : (p +1)2 = 4 (t + 4)(p +1)2 ，
:点 P 不与顶点重合，
: p ≠ -1，
: p +1 ≠ 0 ，
: 4 (t + 4) = 1 ，
【点睛】本题主要考查了二次函数综合， 一次函数与几何综合，勾股定理，求二次函数解析 式等等，解（2）的关键是利用分类讨论的思想求解，解（3）的关键是在于用点 P 的坐标
表示出直线 l 解析式，进而表示出点 N 的坐标．
25 ．(1)(1,0)
(2)m 的值为 + 1
(3)m 的值为2 - 或2 +
【分析】本题考查抛物线与几何综合问题，涉及抛物线过定点，抛物线的最值，勾股定理， 直角三角形的性质等，
熟练掌握相关知识点，数形结合、分类讨论是解题的关键；
（1）将函数解析式化为(1- x )m + (x2 - x - y ) = 0 ，再列方程组求解，可得定点坐标；
（2）根据题中条件确定当 x = 时， 代入求解即可；
（3）先确定 A ，B ，C 三点的坐标，再分0 < m < 1 ，m > 1 ，m < 0 讨论，利用等腰三角形的
判定，直角三角形的性质和勾股定理求解，综合可得 m 的值．
【详解】（1）将 y = x2 - (m + 1)x + m 化为(1- x )m + (x2 - x - y ) = 0 ，
由 解得 ．
:不论 m 取何值，抛物线过定点(1,0) ．
（2）抛物线 y = x2 - (m + 1)x + m开口向上，对称轴x = ， Q 当x > 1 时，y 有最小值- ，
: 函数的对称轴在x =1 的右侧，即 > 1 ，m > 1， : 当 时
整理得(m -1)2 = 7 ，
解得m1 = +1 ，m2 = - +1（舍去）．
:m 的值为 + 1．
（3）当 x = 0 时，y = m ，故C(0, m) ．
当y = 0 时，x2 - (m +1)x + m = 0 ，解得 x1 = 1 ，x2 = m．
不妨设A(1, 0) ，B (m, 0)，则 OA = 1．
当0 < m < 1 时，如图 1：过点 A 作AD ^ BC 交CB 延长线于点 D，则ÐD= 90° .
Q OB = OC = m ，上BOC = 90° ,
:上OCB = 上OBC = 45° , AC = = ，
:上ABD = 上OBC = 45° ,
: 上DAB = 上ABD = 45 ° ,
:BD = AD ，
由勾股定理得，AD2 + BD2 = AB2 ，
:2AD2 = (1- m)2 ， 又上BCA = 30° ,
: AC = 2AD = (1- m) ，
由 = (1- m) ，解得m1 = 2 - ，m2 = 2 + （舍去），
:m = 2 - ．
当m > 1时，如图 2：过点 A 作AE 丄 BC 于点 E，则 上AEB = 上AEC = 90° .
同理可得，上OCB = 上OBC = 45° , AC = ，AB = m -1 ．
Q 上AEB = 90° ,
:上EAB = 上ABE = 45° ,
: AE = BE ，
由勾股定理得AE2 + BE2 = AB2 ，
:2AE2 = (m -1)2 ，
又上BCA = 30° ,
由 解得
当m < 0 时，如图 3 所示：
Q 上BCO = 45° ,
:上BCA > 45° ,不存在 上BCA = 30° 的情况． 综上可知，m 的值为2 - 或2 + ．