2025~2026学年度江苏省南京玄武外国语学校九年级上学期（9月）月考数学试题【附答案】

这是一份2025~2026学年度江苏省南京玄武外国语学校九年级上学期（9月）月考数学试题【附答案】，共42页。
初三数学练习【提优班】
（时间：70 分钟 满分：120 分）
一、选择题（本大题共 6 小题；每小题 4 分，满分 24 分）
1 ．下列命题中，是真命题的为( )
A ．三点确定一个圆
B ．同弦所对的圆周角相等
C ．对角互补的四边形四点共圆
D ．垂直于半径的直线是圆的切线
2 ．如图， △ABC 内接于eO ，AB = AC ，上BAC < 60 ，AD 为的直径，BE 丄 AC 交AD 于 P ，BE 的延长线交eO 于点F ，连接 AF ，CF ，AD 交BC 于G ，在不添加其他辅助线的 情况下，图中除AB = AC 外，相等的线段共有（ ）对．
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
3．如图，在 △ABC 中，AB = 12 ，BC = 10 ，△ABC 的内心、外心分别为点I 、点O ，且有OI 丄 AI ， 则AC 的长度为( )
A ．8 B ．6 C ． D ．
4．如图，平行四边形ABCD 中，上D = 60°, AD = 10 ，以BC 为直径的eO 交AB 于点 E，则 的长为( )
A ． τ B．
5
— τ
3
C ．5 D．
5
τ
6
5 ．如图，四边形ABCD 是eO 的内接四边形， 7BAD = 90° , AB = AD = 4 ，E 为AC 上 一点， 7CED = 45° ,则 BE 的最小值为( )
A ．2 - 2 B ．2 - 2 C ．4 - 4 D ．4 - 4
6 ．如图，平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标是(-3, 4)，点 B 是eA 上一点，eA 的半径 为 2，将OB 绕 O 点顺时针方向旋转90° 得OC ，连接 AC ，则线段 AC 的最小值为( )
A ．5 - 2 B ．3 -1 C ．5 D ．6
二、填空题（本大题共 8 小题；每小题 4 分，满分 32 分）
7 ．如图，在扇形AOB 中，上AOB = 30° ,点 C 为半径OA 上一点，现以点 O 为圆心，OC 长 为半径作弧，该弧交半径OB 于点 D，记 的长为 m ，BD 的长度为 d，则的长
为 ．（用含 m ，d 的式子表示）
8．如图，BC 是eO 的直径，A 是eO 外一点，连接AC 交eO 于点E ，连接AB 并延长交eO 于点D ．若上A = 30° ,则 上DOE 的大小是 度．
9 ．已知一次函数y = k (x - 3) +1 图像与一圆心为(0,1) ，半径为 1 的圆相切，则切点坐标 为 ．
10 ．如图 1 ，OA 是eO 的半径，点 M 是OA 的中点，点 N 在eO 上从点A 开始沿逆时针方 向动一周回到点 A，运动停止，设运动过程中AN 的长为 x ，MN 的长为y，图 2 是y 随 x 变 化的关系图象，则 a 的值为 ．
11 ．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 上A = 60° , AB = 2 ，将Rt△ABC 绕点 C 顺时针旋 转 90°后得到Rt△DEC ，点 B 经过的路径为，将线段AB 绕点 A 顺时针旋转60° 后，点 B 恰好落在CE 上的点 F 处，点 B 经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积是 ．
12．如图，在矩形ABCD 中，点 E 在边CD 上，连接AE、BE，EA 平分上DEB ，点 O 是 △BCE 的内心，连接AO ，AO = AB ，若 AD = 5 ，则 AB 的长为 ．
13 ．如图，AB 为ΘO 的直径，且AB = 2 ，点C 在半圆上，OC 丄 AB ，垂足为点O ，P 为 半圆上任意一点，过P 点作PE 丄 OC 于点E ，设 △OPE 的内心为M ，连接 OM 、PM ．当 点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，内心M所经过的路径长为 ．
14 ．如图，在Rt△ABC 中，AB = AC ，点 P 是BC 边上一点，且PC = 2PB = 4 ，点 M 、N 分别是边AB 、AC 上的动点，且始终满足上MPN = 135° ,连接MN，则线段MN的最小值 为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题；满分 58 分）
15．真命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”，请根据这个命题画出图形，写出 已知求证并完成证明．
16 ．如图，四边形ABCD 内接于一圆，延长BC 到点E ．
(1)求证：上DAB = 上DCE ；
(2)连接AC 、BD ，若上DAB = 65° , CD 平分 Ð ACE ，求 Ð ADB 的度数．
17 ．如图，BC 是ΘO 的直径，且BC=43 ，D 为上一动点（不与点 B 、C 重合）过点
C 作ΘO 的切线交BD 延长线于点A ，E 为AC 中点，连接DE ．
(1)求证：DE 是ΘO 的切线；
(2)若上A = 30° ,求阴影部分的面积．
18 ．分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文 字说明）
19．在平面内，将小棒AB 经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条 直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为 4，宽度不计．
方案 1：将小棒绕 AB 中点 O 旋转 180°到B¢A¢ ,设小棒扫过区域的面积为S1 (即图中灰色区 域的面积，下同)；
方案 2：将小棒先绕 A 逆时针旋转 60°到AC ，再绕 C 逆时针旋转 60°到CB ，最后绕 B 逆时 针旋转 60°到B¢A¢ ,设小棒扫过区域的面积为S2 ．
(1)① S1 =______ ，S2 = ______ ；(结果保留 π )
②比较S1 与S2 的大小．(参考数据： π ≈ 3.14 ， ≈ 1.73 ．)
(2)方案 2 可优化为方案 3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第
2 、3 次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案 3 的示意图；
②设方案 3 中小棒扫过区域的面积为S3 ，求S3 ．
(3)设计方案 4，使小棒扫过区域的面积S4 小于S3 ，画出示意图并说明理由．
20 ．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 是y 轴、x 轴上的两个定点，OM 经过 A、B 两点 且与 x 轴正半轴、y 轴负半轴分别交于 D 、C 两点，过点 O 作EF 丄 AB 于点 E，交CD 于点
F．
(1)若上BOE = 28° ,则 上BDC = ______° ;
(2)求证：点 F 是CD 的中点；
(3)若A(0, a ) 、B(b,0)，其中 a 、b 是方程x2 - x -12 = 0 的两个根，连接MF ，当圆心 M 运 动时，MF 的长度是否发生变化？若不变，求出MF 的长度；若变化，求出 MF 的取值范围． 【中考链接】（2025·南京中考）
21 ．如图，已知扇形AOB ，点 D 为圆弧上一点，且ADB 的度数为250° ,若 P 为扇形内一 点，则 Ð APB 的取值范围是 ．
1 ．C
【分析】本题主要考查真假命题的判定， 圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线 的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案．
【详解】解：A ．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
B ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意；
D ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符 合题意；
故选：C．
2 ．C
【分析】此题主要考查圆与三角形综合， 熟练掌握垂径定理，直角三角形性质，等腰三角形 的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解决问题的关键.
根据垂径定理得到BG = CG ，连接 CP ，根据线段垂直平分线的性质得到 PB = PC ，根据余 角的性质得到上CAG = 上CBE ，推出上APE = 上AFE ，得到AP = AF ，EP = FE ，CP = CF ， 得到CF = BP ．
【详解】解：∵ AB = AC ，
: = ，
∵ AD 经过圆心 O， : AD T BC ，
: BG = CG ， 7AGC=90° , : 上CAG + 上ACG = 90° , 连接CP ，
则PB = PC ， ∵ BF TAC ，
: 上BEC = 90° ,
: 上CBE + 上BCE = 90° , : 上CAG = 上CBE ，
∵ 上CAF = 上CBF ， : 上EAF = 上EAP ，
∵ 上EAP + 上APE = 90°, 上EAF + 上AFE = 90° ,
: 上APE = 上AFE ， : AP = AF ，
∵ AC 丄 FP ， : EP = FE ， : CP = CF ， : CF = BP ，
:相等的线段共有 4 对， 故选：C．
3 ．A
【分析】延长AI交△ABC 外接圆于点 D，连接OA ，OD ，CD ，CI ，过 I 作IF 丄 AC 于 F， IG 丄 AB 于 G，IH 丄 BC 于 H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出CD = ID = AI ，根据AAS 证明 △DCE≌△IAF ，可得出 AF = CE = 5 ，根据点 I 是△ABC 的内心，可得出
AB + AC - BC = 2AF ，即可求解．
【详解】解:延长AI交△ABC 外接圆于点 D，连接 OA ，OD ，CD ，CI ，过 I 作IF 丄 AC 于 F，IG 丄 AB 于 G ，IH 丄 BC 于 H，
则AB 与△ABC 的内切圆相切于 G，AC 与△ABC 的内切圆相切于 F，BC 与△ABC 的内切圆 相切于 H，
: AG = AH ，BG = BH ，CF = CH ，
: AB + AC - BC = AG + BG + AF + CF - BH - CH = 2AF ， : AO = DO ，OI 丄 AI ，
: AI = DI ，
:点 I 是△ABC 的内心，
: 上BAD = 上CAD ，上ACI = 上BCI ，
: = ，
: 上CAD = 上BCD ，
: 上DIC = 上DAC + 上ACI ，上DCI = 上BCD + 上BCI ，
: 上DIC = 上DCI ， : DI = DC = AI ，
是半径，
丄 BC ， 在 △DCE 和 △FAI 中，
: △DCE≌△IAF ， : CE = AF = 5 ，
: AB + AC - BC = 10 ，即12 + AC -10 = 10 ，
解得AC = 8 ， 故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外心与内心， 切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定 理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键．
4 ．B
【分析】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质， 熟知 弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出BC 的长，
再连接EO 求出上BOE 的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，且AD = 10 ，上D = 60° , :BC = AD = 10 ，上ABC = 60° ,
连接EO ，
Q BO = EO ，
:△BOE 是等边三角形， :上BOE = 60° ,
又
故选：B．
5 ．C
【分析】如图， 以AD 边为斜边，在AD 的下方构造等腰直角 △ALD ，以L 为圆心，AL 为半 径作eL ，在eL 的优弧AD 上取一点M ，连接AM 、DM ，连接BD ，AL ，DL ，BL ，由 勾股定理及圆周角定理的推论得 的直径，根据等腰 直角三角形的性质得上上ALD = 45° , Ð ADL = ÐDAL = 45° ,从而
Ð AED + Ð ALD = 180° , 点E 在定圆eL 的上运动，利用勾股定理得 进而利
用三角形的三边关系即可得解．
【详解】解： 如图，以AD 边为斜边，在AD 的下方构造等腰直角 △ALD ，以L 为圆心，AL 为半径作eL ，在eL 的优弧AD 上取一点M ，连接 AM 、DM ，连接 BD ，AL ，DL ，
BL ，
∵ Ð BAD = 90° , AB = AD = 4 ，
的直径， ∵ Ð CED = 45° ,
: Ð AED = 180° - Ð CED = 135° , ∵ △ALD 是等腰直角三角形，
: AL = AD ， Ð ALD = 90° ,
:上上ALD = 45° , Ð ADL = ÐDAL = 45° , : Ð AED + Ð ALD = 180° ,
:点E 在定圆ΘL 的上运动，
:根据三角形的两边只差小于第三边得，当B 、E 、L 三点共线时，BE 最小， ∵ Ð ALD = 90° , AL = AD ，
: AL2 + DL2 = 2DL2 = AD2 = (4)2 = 32 ，
: AL = DL = 4 ，
∵ Ð ADL = Ð ADB = 45° , : Ð ADB = 90° ,
: BE 的最小值为BL - LE = 4 - 4 ， 故选: C ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质， 圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形 的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理
是解题的关键．
6 ．A
【分析】把 OA 绕 O 点顺时针方向旋转90° 得OA¢ ,过点 A 作AF 丄 x 轴于点F ，过点 A¢ 作 A¢ G 丄 x 轴于点G ，以点A¢ 为圆心作eA¢ , 使eA¢ 的半径为 2 ， 点 B 是eA 上一点，则点C 是eA¢ 上一点，当点A, O, A¢ 三点共线，即点C 在AA¢ 上时，AC 最小．
【详解】解：如图，把 OA 绕 O 点顺时针方向旋转90° 得 OA¢ , 过点 A 作 AF 丄 x 轴于点F ， 过点A¢ 作A¢ G 丄 x 轴于点G ，以点 A¢ 为圆心作eA¢ ,使eA¢ 的半径为 2，
: OA = OA¢, 上AOA¢ = 90° , 上AFO = 上OGA¢ = 90° ,
:上AOF + 上A¢OG = 180° - 上AOA¢ = 90°, 上AOF + 上OAF = 90°,
:上OAF = 上A¢OG ，
:△AFO≌△OGA¢(AAS) ，
: AF = OG = 4, OF = A¢ G = 3 ， : A¢(4,3) ，
过A¢ 作A¢H 丄 AF 于点H ，A¢H = 4 - (-3) = 7, AH = 4 - 3 = 1， 在Rt△AHA¢ 中 点 B 是eA 上一点，则点C 是eA¢ 上一点，A¢C = 2 ，
当点A, O, A¢ 三点共线，即点C 在AA¢ 上时，AC 最小，
故线段AC 的最小值为5 - 2 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本概念， 动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题 的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法．
7 ．
【分析】本题考查的是弧长的计算， 先利用弧长公式求解 可得 再 利用弧长公式计算即可．
【详解】解：: 的长为 m ，上AOB = 30° ,
: 的长为
故答案为：
8 ．120
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补， 圆周角定理，直径所对的圆周角相等，掌握知 识点的应用是解题的关键；连接CD、BE ，根据直径所对的圆周角是直角可得上BEC = 90° , 进而可根据上A = 30° , 可得上ABE = 60° , 根据圆内接四边形可得上DCE = 60° , 根据圆周角 定理即可求得上DOE 的大小．
【详解】解：如图，连接 CD、BE ，
: BC 是ΘO 的直径， : 上BEC = 90° ,
: 上AEB = 90 ° , : 上A = 30° ,
: 上ABE = 60° ,
:四边形BECD 是ΘO 的内接四边形， : 上EBD + 上ECD = 180° ,
: 上EBD + 上ABE = 180° , : 上DCE = 上ABE = 60° ,
: 上DOE = 2上DCE = 120° , 故答案为：120 ．
【分析】本题考查切线的性质、两点坐标距离公式、勾股定理， 熟练掌握切线的性质是解答 的关键．先得到一次函数y = k (x - 3) +1 图像过定点P(3,1) ，设切点坐标为H(x, y) ，圆心为 E (0,1) ，根据切线定义、勾股定理以及两点坐标距离公式列方程求解即可．
【详解】解：对于 y = k (x - 3) +1，当 x =3 时，y = 1，
∴一次函数y = k (x - 3) +1 图像过定点P(3,1) ，
如图，设切点坐标为H(x, y)，圆心为E(0,1) ，
则EH = 1 ，EH 丄 PH ，PE = 3 ， ∴ (x - 0)2 + (y -1)2 = 1① ,
由勾股定理得EH2 + PH2 = PE2 ，
则12 + (x - 3)2 + (y -1)2 = 32 ② ,
由①②解得
∴切点坐标为 故答案为
10 ． /7
【分析】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理 ，解题关键是利用图象信息 确定半径，通过弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最 大值．
先由图象中 N 与 A 重合时MN的长度及 M 是OA 中点确定圆半径；再根据弧长公式求出
时对应的圆心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股 定理算出MN，即 a 的值．
【详解】解：结合题图可知，当点 N 与点A 重合时，MN 的长y = OM ，由图象知此时 y = 1，
∵点 M 是OA 的中点，
: OA=2OM =2 ，即圆 O 的半径r = 2 ，
当弧AN 的长 时，设上AON = n° ,
将 代入可得：
解得：n = 120 ，即此时 上AON = 120° ,
过点 N 作NG 丄 AO ，交 AO 的延长线于点 G，
∵ 上AON = 120° ,
: 上NOG = 180° -120° = 60° , : 上ONG = 30° ,
在Rt△NOG 中，ON = OA = 2 ，
则GM = GO + OM = 2 ， 在Rt△MNG 中，根据勾股定理 ，
已知NG = ，GM = 2 ，则 MN = ( 3)2 + 22 = ，
由图象可知MN的值为 a，
: a = · .
故答案为、 ．
11 ．
【分析】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形、旋转变换等知识，先求出 AC = 1 ， BC = CE = 、3 ，根据S阴 = S△ACB + S扇形CBE - S扇形ABF 计算即可．
【详解】解：在 Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 上A = 60° , AB = 2 ，
: AC = AB cs 上
:S阴 = S△ACB + S扇形CBE - S扇形ABF
、/3 π = + ，
2 12
故答案为 ．
12 ．
【分析】连接OB、OE ，设 AO 交BE 于点L ，由矩形的性质得
BC = AD = 5, AB = CD, CD ∥ AB ，则 上AED = 上EAB ，因为 上AED = 上AEB ，所以
上EAB = 上AEB ，则 AB = EB = CD ，由 AO = AB ，得 上AOB = 上ABO ，则
上BAO = 180° - 2(上ABE + 上OBE)，因为点 O 是 △BCE 的内心，所以
上OBE = 上上CBE ，可证 明 上BAO = 90° - 上ABE ，则 上ALE = 上BAO + 上AEB = 90° , 进而证明 △AED≌△AEL ，得EL = ED, AL = AD = 5 ，推导出 上AEO = 90° ,再证明
△ALE∽△ELO ，得 则EL2 = 5OL ，作 △BCE 的内切圆与BC、CE 分别相切于点
F、H ，则圆心为点 O ，连接 OF、OH ，可证明 OL = OF = OH ，且点 L 为切点，推导出 CH = CF = 2CH = BC + CE - EB = 5 - EL ，再证明 OL = OH = CH ，则 2OL = 5 - EL ，所以 EL = 5 - 2OL ，由(5 - 2OL)2 = 5OL ，求得OL = ，则 于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接OB、OE ，设 AO 交BE 于点L ，
∵四边形ABCD 是矩形，AD = 5 ，
:BC = AD = 5, AB = CD, CD∥AB, 上ABC = 上D = 上C = 90° , :上AED = 上EAB, 上ABE + 上CBE = 上ABC = 90° ,
∵ EA平分上DEB ， : 上AED = 上AEB ，
: 上EAB = 上AEB ， : AB = EB = CD ， ∵ AO = AB ，
:上AOB = 上ABO ，
:上BAO = 180° - 2上ABO = 180° - 2(上ABE + 上OBE)，
∵点O 是 △BCE 的内心，
:上OBE = 上OBC = 上CBE ，
:上BAO = 180° - 2(çè 上ABE + 上CBE = 180° - 上ABE - (上ABE + 上CBE) = 90° - 上ABE ， :上ALE = 上BAO + 上AEB = 90° ,
Q 上AEL = 上AED ，上ALE = 上D = 90° , AE = AE ， :△AED≌△AEL (AAS)，
:EL = ED ，AL = AD = 5 ，
Q 上AEL = 上上DEL ，上OEL = 上上CEB ，
:上AEO = 上AEL + 上OEL = 上DEL + 上CEL) = × 180° = 90° , :上ALE = 上ELO = 90°, 上EAL = 上OEL = 90° - 上AEL ，
: △ALE∽△ELO ，
:EL2 = AL . OL = 5OL ，
如上图，作 △BCE 的内切圆与BC、CE 分别相切于点F、H ，则圆心为点 O ，连接 OF、OH ，
∵ΘO 与BE 相切，且OL 丄 BE 于点L ， : OL = OF = OH ，且点 L 为切点，
: EH = EL, BL = BF, CH = CF ，
: CH = CF = 2CH = BC + CE - EB = 5 + CD - ED - AB = 5 - EL ， ∵CE 丄 OH, BC 丄 OF ，
: 上OHC = 上OFC = 上C = 90° , :四边形OFCH是矩形，
Q CH = CF ，
:四边形OFCH是正方形， : OL = OH = CH ，
:2OL = 5 - EL ，
:EL = 5 - 2OL ，
:(5 - 2OL)2 = 5OL ，
:解得： 或OL = 5 （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【点睛】此题考查了矩形的性质， 等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三 角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识， 正确地作出辅助线是解题的关键．
13 ． τ
【分析】过C 、M 、O 三点作ΘO¢ , 连O ¢C ，O ¢O ，在优弧CO 取点D ，连DA ，DO ，点M
在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135° 的两段劣弧上(和 ) ，当点M在扇形BOC
和扇形AOC 内，先求出上CMO = 135° , 进而判断出点M 的轨迹，再求出∠OO¢C = 90° , 最后
用弧长公式即可得出结论．
【详解】解：Q△OPE 的内心为M ， :上MOP = 上MOC ，上MPO = 上MPE ，
:上PMO = 180° - 上MPO - 上MOP = 180° - (上EOP + 上OPE) ， Q PE 丄 OC ，即 上PEO = 90° ,
Q OP = OC ，OM = OM ， 而上MOP = 上MOC ，
:△OPM≌△OCM (SAS) ，
:上CMO = 上PMO = 135° ,
所以点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135° 的两段劣弧上(和 ) ；
点M在扇形BOC 内时，
如图，过C 、M 、O 三点作ΘO¢ ,连 O ¢C ，O ¢O ，在优弧CO 取点D ，连DA ，DO ，
Q 上CMO = 135° ,
:上CDO = 180° -135° = 45° ,
: 上CO¢O = 90° , 而
同理：点M 在扇形AOC 内时，同。的方法得，弧ONC 的长为 ，
所以内心M所经过的路径长为 故答案为： τ .
【点睛】本题考查了弧长的计算公式： ，其中 l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角 的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接 四边形的性质，解题的关键是正确寻找点 M 的运动轨迹，属于中考压轴题．
14 ．3
【分析】本题考查了圆周角定理， 勾股定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，掌握知识 点的应用是解题的关键．
作 △PMN 的外接圆ΘO ，连接 OM、ON、OP、OA ，构造圆内接四边形 HMPN，设外接圆ΘO 的半径为r ，又 上MPN = 135° ,则 上H = 45° ,故有 上MON = 90° ,即△MON 是等腰直角三
角形，从而可得点O、M、N、A 四点共圆，则有OA∥BC ，过 A 作AG 丄 BC 于点G ，
AG = BG = CG = 3 ，然后通过垂线段最短即可求解．
【详解】解： 如图，作 △PMN 的外接圆ΘO ，连接OM、ON、OP、OA ，构造圆内接四边形 HMPN ，
设外接圆ΘO 的半径为r ，
∵ 上MPN = 135° , : 上H = 45° ,
: 上MON = 90° ,
:△MON 是等腰直角三角形，
: MN = r ，上OMN = 上ONM = 45° , ∵ 上MON = 上BAC = 90° ,
:点O、M、N、A 四点共圆， : 上OAM = 上ONM = 45° ,
: OA∥BC ，
如图，过A 作AG 丄 BC 于点G ， ∵ AB = AC ，上BAC = 90° ,
∵ PC = 2PB = 4 ， : BC = 6 ，
: AG = BG = CG = 3 ， : r = OP ≥ 3 ，
: MN = r ≥ 3 ，
:线段MN的最小值为3 ，
故答案为：3 ．
15 ．见解析
【分析】本题考查圆心角、圆周角、弧和弦的关系，掌握几者的关系是解题的关键．连接 BC ，AO ，CO ，BO ，DO ，由平行线的性质得 上ABC = 上BCD ，由圆心角与圆周角的关 系得∠AOC = 2∠ABC ，上BOD = 2上BCD ，从而推出 Ð AOC = Ð BOD ，由弧、弦、圆心角 的关系即可得出答案．
【详解】已知：如图，AB ，CD 是ΘO 的两条弦，AB ⅡCD ， 求证： = ．
证明：如图所示，连接BC ，AO ，CO ，BO ，DO ， Q AB Ⅱ CD ，
:上ABC = 上BCD ，
Q 上AOC = 2上ABC ，上BOD = 2上BCD ，
:上AOC = 上BOD ，
一 一
: AC = BD ．
16 ．(1)证明见解析
(2) 50°
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理， 解题的关键是掌握圆内接四边形 的对角互补．
（1）根据圆内接四边形的性质得到 上DAB + 上DCB = 180° ,根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据角平分线的定义得出 Ð ACE ，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】（1）证明：:四边形ABCD 内接于一圆，
: 上DAB + 上DCB = 180° ,
∵ 上DCE + 上DCB = 180° , : 上DAB = 上DCE ；
（2）解：由（1）得 上DAB = 上DCE ，
∵ 上DAB = 65° ,
: 上DCE = 65° ,
∵ CD 平分 Ð ACE ，
: 上ACE = 2上DCE = 130° ,
上ACB = 180° - 上ACE = 50° , : 上ADB = 上ACB = 50° .
17 ．(1)见解析
(2) 12 - 4τ
【分析】（1）如图，连接OD、CD、OE ，根据切线的性质得到AC 丄 OC ，根据圆周角定理 得到上CDB = 90° , 由点 E 是AC 的中点，得到DE = CE = AE = AC ，根据全等三角形的性 质得到上ODE = 上ACB = 90° ,根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到 上B = 90° - 上A = 60° ,根据圆周角定理得到
上COD = 120° . 求得OB = OC = 2 ，根据三角形的中位线性质和平行线的性质得到
上OEC = 上A = 30° ,根据含 30 度角的直角三角形的性质和勾股定理得到
CE = = 6 ，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接OD、CD、OE ，
∵ AC 与ΘO 相切于点 C， : AC 丄 OC ，
: 上ACB = 90° ,
∵ BC 是ΘO 的直径， : 上CDB = 90° ,
: 上ADC = 180° - 上CDB = 90° , :点 E 是AC 的中点，
: OC = OD ，OE = OE ， : △OCE≌△ODE (SSS)，
: 上ODE = 上ACB = 90° ,则 DE^ OD ， : DE 经过ΘO 的半径OD 的外端，
: DE 是ΘO 的切线；
（2）解：: 上ACB = 90° , 上A = 30° , : 上B = 90° - 上A = 60° ,
: 上COD = 2上B = 2 × 60° = 120° ,
: OB = OC = 2 ，
: EA = EC ，OB = OC ，
: OE 是△ABC 的中位线，
: OE Ⅱ AB ，
: 上OEC = 上A = 30° ,
: OE = 2OC = 4 ，
: S四边形DOCE = S△OCE + S△ODE = 12 ，
: S阴影 = S四边形DOCE - S扇形DOC = 12 - 4τ .
【点睛】此题是圆的综合题， 重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位 线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中30° 角所对的直角边等于 斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识， 正确地作出所需 要的辅助线是解题的关键．
18 ．见解析
【分析】本题考查了作图—垂直平分线的作法，已知角的角平分线的作法，三角形的内心与 外心，熟练掌握基本作图方法为解题关键，根据三角形三条边的垂直平分线的交点为三角形 的外心，三角形内角平分线的交点为三角形的内心进行画图即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，分别作三角形边AB , BC 的垂直平分线，交于点 O，点 O 即为 △ABC 的外心；
如图，分别找到三角形边AB ，BC 的中点 D，E，再以点 D，E 为顶点，利用三角板画垂直 于边AB ，BC 的直线，相交于点 O，点 O 即为 △ABC 的外心；
（2）如图，分别作Ð ABC 与Ð ACB 的平分线，相交于点 O，点 O 即为 △ABC 的内心；
如图，以点 C 为圆心，画两个不同半径的弧，得到点 D ，E，F，G，连接DG ，EF 交于点
M，连接CM ，以点 C 为圆心，画两个不同半径的弧，得到点 P ，Q ，R ，H，连接PH ，RQ 交于点 N，连接BN ，CM 与BN 相交于点 O，点 O 即为 △ABC 的内心．
19 ．(1)①4π , 8π - 8 ；②S1 > S2
(2)①见解析
(3)见解析
【分析】（1）①利用圆的面积公式计算S1 ，利用方案 2 扫过区域为三个圆心角为 60°且半径 为 4 的扇形面积减去两倍 △ABC 的面积计算S2 ；
②利用参考数据计算近似值再比较即可；
（2）①依题意补全方案 3 的示意图即可；
②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；
（3）作等边 △ABC ，首先让点 B 在BC 上运动，点 A 在CB 的延长线上，运动，使得AB 的 长度保持不变，当点 B 运动到点 C 时，由此AB 边调转到AC(A¢B ¢ )边，接着两次同样的方 式旋转到BC(A¢B ¢ )边和AB(B ¢A¢ )边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不
规则，因此可以利用放缩法证明S4 < S3 ．
【详解】（1）解：①由依题意得：AB = 2r = 4 ， :r = 2 ，
: S1 = π r2 = 4π
又依题意得：方案 2 扫过区域为三个圆心角为 60°且半径为 4 的扇形面积减去两倍 △ABC 的
面积．等边三角形的面积公式： ，a 为等边三角形的边长．
故答案是
②: S1 = 4π ≈ 4 × 3.14 = 12.56 ，S2 ≈ 8 × 3.14 - 8 × 1.73 = 11.28 ，12.56 > 11.28 ， : S1 > S2 ；
（2）①依题意补全方案 3 的示意图如下：
②连接EM ，M 为切点，则AA¢ 的中点，EM = 4
设AM = x ，则 AE = 2x ，
由勾股定理得：AM 2 + EM2 = AE2 ，即 x2 + 42 = 4x2 ，
解得：
（3）设计方案 4 ：如下图， △ABC 是等边三角形，首先让点 B 在BC 上运动，点 A 在CB 的 延长线上运动，使得AB 的长度保持不变，当点 B 运动到点 C 时，由此AB 边调转到AC(A¢B ¢ ) 边，接着两次同样的方式旋转到BC(A¢B ¢ )边和AB(B ¢A¢ )边，最终小棒扫过的区域是如下图 所示．
对于第一次旋转，当旋转AB 旋转到DH时，此时DH 丄 BC ， 又作DE平行AB ，则S△CDE = S3 = S△ABC + S梯形ABEB
依题意得：阴影部分比等边三角形ABC 多三块全等的图形，记每块面积为a ， 则有a < S△ADF ，F 为AB 的中点，
∵S△ADF < S△GDF ，
: a < S△梯形ABEB ，
20 ．(1) 28°
(2)见解析
(3) MF 的长度不变
【分析】1）利用角度等量代换得到上BOE = 上BAO = 28° , 由同弧所对的圆周角相等即可求 解．
（2）利用角度等量代换得到两个等腰三角形△COF, △DOF 即可求解．
（3）过 M 作圆的直径，由直径所对的圆周角等于90° 得出上ADB = 上CDG ，圆周角相等即 所对的弦也相等，解一元二次方程求出 A 、B 坐标即可知线段AB 的长，最后利用中位线的 性质即可求解．
【详解】（1）解：Q OE 丄 AB ，
:上BEO = 90° ,
:上BOE + 上OBE = 90° ,
Q 上AOB = 90° ,
:上ABO + 上BAO = 90°
:上BOE = 上BAO = 28°
Q 上CDB = 上BAO ，
:上CDB = 上BOE = 28° , 故上BDC = 28° .
（2）证明：Q 上AOD = 90° ,
:上AOE + 上DOF = 90° , Q OE 丄 AB ，
:上AOE + 上BAO = 90° ,
:上BAO = 上DOF ，Q上BAO = 上BDC ，
:上DOF = 上BDC ，: OF = FD ，
同理：OF = CF ，: CF = DF ，
:F 点是CD 的中点．
（3）如图：过M作直径DG ，连接 CG ，
Q 点 F 是CD 的中点，M 点是DG 中点，
Q DG 是圆 M 的直径，:上DCG = 90° , :上G + 上CDG = 90° Q 上AOD = 90° , :上CAD + 上ADB = 90° ,
Q 上G = 上CAD ，:上ADB = 上CDG ，
一 一
: AB = CG ，: AB = CG ，
解方程x2 - x -12 = 0 得，x1 = 4 ，x2 = -3 ， 由题意可知：A (0, 4) ，B (-3, 0) ，
: AB = 5 ，: CG = 5 ，
: 当圆心 M 运动时，MF 的长度不变， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理， 等腰三角形的性质，解一元二次方程，中位线的性质，勾 股定理等，熟悉圆中各种的基本性质是解题关键．
21 ．55° < 上APB < 110°
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并结合扇形内点的位置分析 角的取值范围．
先根据圆周角定理，结合点P 在扇形内的位置，确定 Ð APB 的取值范围． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
当点P 在优弧AB 上时，上上
当点P 在扇形内（不包括优弧AB 上的点）时， Ð APB 大于55° ,小于(360° - 250° ) = 110° , 所以 Ð APB 的取值范围是55° < 上APB < 110° .
故答案为：55° < 上APB < 110° .