2025~2026学年度广东省中山市华辰实验中学八年级上学期10月月考数学试题【附答案】

这是一份2025~2026学年度广东省中山市华辰实验中学八年级上学期10月月考数学试题【附答案】，共32页。试卷主要包含了5° = 22等内容，欢迎下载使用。
练习（厚德班）
（测试时间: 120 分钟， 满分: 120 分）
一．选择题（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 ）
1 ．下列二次根式中，已经化简为最简形式的是( )
A ．s8 B ． C ．s6 D ． ·、i0.6
2 ．下列各组数据中，是勾股数的是( )
A ． ， ，J5 B ．6 ，7 ，8 C ．1 ，2 ，3 D ．9 ，12 ，15
3 ．下列命题的逆命题不成立的是( )
A ．等边对等角 B ．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方
C ．两直线平行，内错角相等 D ．如果两个实数都是正数，那么它们的积是 正数
4 ．若 △ABC 中，AB = c, AC = b, BC = a ，下列不能判定△ABC 为直角三角形的是( )
A ．a = 32 , b = 42 , c = 52 B ．a : b : c = 5 :12 :13 C ．(c + b)(c - b) = a2 D ．上A +上B = 上C
5 ．下列计算中，正确的是( )
A ． B ． C ． D ．
则x2008 + 2008y = ( )
A ．2008 B ．2 C ．2009 D ．5
7 ．如图，□ABCD 的对角线交于点 O ，OE⊥AC 交 BC 于 E，已知△ABE 的周长为 3cm，则
□ABCD 的周长为( )
A ．4cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm
8 ．估计 的值应在 ( )
A ．1 和 2 之间 B ．2 和 3 之间 C ．3 和 4 之间 D ．4 和 5 之间
9 ．如图，在 △ABC 中，上BAC = 30° , AB = AC = 4 ，P 为AB 边上一动点，以PA, PC 为邻 边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为( )
A ．2cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm
10 ．2002 年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1800 多年前中国古 代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形( △DAE 、 △ABF 、 △BCG 、
△CDH ）拼成大正方形ABCD ，中空的部分是四边形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ， BD 与EF 相交于点P ，若EO = EP ，且大正方形ABCD 边长为+1，则四边形EFGH 的面 积为( )
A ． B ． C ． D ．
二．填空题 （本大题 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分 ）
11 ．若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
12 ．若 且 a 小于 1 ，则 a 的值是 ．
13 ．已知 Rt△ABC 的两直角边分别是 3 ， 4，则 Rt△ABC 的斜边上的高是 ．
14 ．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为 A (-1, 2), B (-2, -1), D (3, 2) ， 则 C 的坐标是 ．
15 ．如图，已知 △ABC 中，AB = AC ，点 D ， E 在底边BC 上，
上BAD = 45°, 上DAE = 60°, 上EAC = 15° ,若 BD = 6 ， 则EC 的长为 ．
三．解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
16 ．计算：
(1) ( + )( - )
17 ．如图平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点 O ，AC = 14, BD = 8, BC = 10 ．求
△BOC 的周长．
18 ．如图，Rt△ABC 中，上C = 90° .
(1)请用无刻度的直尺和圆规作线段AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）所作的垂直平分线分别交BC, AB 于点 D，E，连接AD ，若AD = 3 ，CD = 1，求 △ABC 的面积．
三．解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
19 ．现有两块同样大小的长方形木板① , @，甲木工采用如图 1 所示的方式，在长方形木
板①上截出三个面积分别为4dm2 ,8dm2 和18dm2 的正方形木板 A ，B ，C．
(1)木板①中截出的正方形木板 C 的边长为_________ dm ；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图 2 所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2 的正方形 木板，请你判断能否截出，并说明理由．
20 ．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点 F．
(1)求证： △CDE≌△FAE ．
(2)若AB = 4 ，BC = 6 ，上B = 30。，求 △BCF 的面积．
21 ．2025 年 9 月 24 日，超强台风“桦加沙”携带广东省面积的庞大云系一路直逼珠三角而
来．如图 A 点是中山市某气象观测站，测得某个时刻台风中心在观测站正南方向 80 km 的 B 处，以每小时20km 的速度向北偏西60。的BF 方向移动，距离台风中心130km 的范围内 是受台风 10 级风圈影响的区域．
(1)请通过计算说明A 观测站在台风 10 级风圈的影响范围之内；
(2)A 观测站遭受 10 级风圈影响的时间是多长？
五．解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）
22 ．【阅读材料】当 a > 0 ，b > 0 时，
, :a - 2 + b ≥ 0 ， 【获得结论】
当a > 0 ，b > 0 时
当且仅当a =b 时，等号成立，即
这个结论就是著名的“均值不等式” ，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】
例如：在x > 0 的条件下 当且仅当 即x = 1 时， 有最小值，最小值为2.
【解决问题】
函数 的最小值为______，此时，x = ______．
(2)当x > 0 时， 的最小值为______，此时，x = ______．
(3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为200m2 的长方形的生物园，其中生物园的一面AD 靠墙( 墙足够长) ，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边AB 的长为x 米，当这个矩形花 园的宽AB 为______ m 时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米．
23 ．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】
（1）如图 1，在三角形纸片ABC 中，上C = 90。, AC = 32 ，将 Ð A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E, EC = 7 ，求 BC 的长；
【深入探究】
（2）如图 2，将长方形纸片 ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ¢ 处，BC ¢ 交AD 于 E ，若 AB = 8, BC = 16 ，求 AE 的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片ABCD 中，AB = 10, BC = 16 ，点E 为射线AD 上一个动点，把 △ABE 沿直线BE 折叠，当点 A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，求 AE 的长（注： 长方形的对边平行且相等）．
1 ．C
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个 条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A 、 = 2 ，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B 、 ，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C 、、不能化简，是最简二次根式，符合题意；
D 、 ，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义， 在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二 次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开 方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于 2，也不是最简二次根式．
2 ．D
【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方． 根据勾股定理逆定理判断即可．
解 不能组成直角三角形，不符合题意；
B 、62 + 72 ≠ 82 ，不能组成直角三角形，不符合题意； C 、1+ 2 = 3，不能组成三角形，不符合题意；
D 、92 +122 = 152 ，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D．
3 ．D
【分析】本题考查了逆命题， 对顶角，直角三角形的判定，平行线的判定和性质等知识，掌 握逆命题的判定及相关知识的运用是解题的关键．
根据选项确定逆命题，再根据相关知识判定即可． 【详解】解：A、等边对等角，
逆命题：等角等等边，成立，不符合题意；
B、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
逆命题：两条直角边的平方和等于斜边的平方，则该三角形是直角三角形，成立，不符合题 意；
C、两直线平行，内错角相等，
逆命题：内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意；
D、如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，
如果两个数的积是正数，那么这两个数都是正数，不成立，符合题意；
故选：D ．
4 ．A
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项A 、B 、C 、是否符合题意， 根据三角形内角 和定理可以判断选项D 是否符合题意，本题得以解决．
【详解】解： A 、a = 32 ，b = 42 ，c = 52 ，则a2 + b2 ≠ c2 ，故 △ABC 不是直角三角形，选项A 符合题意；
B、当a : b : c = 5 :12 :13 时，设a = 5x ，b = 12x ，c = 13x ，则a2 + b2 = (5x)2 + (12x)2 = c2 ，故 △ABC 是直角三角形，选项B 不符合题意；
C、由 (c + b)(c - b) = a2 整理得：a2 + b2 = c2 ，故 △ABC 是直角三角形，选项C 不符合题意；
D、由 上A +上B = 上C ，可知 上C = 90° ,故△ABC 是直角三角形，选项D 不符合题意； 故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形 状．
5 ．D
【分析】根据二次根式的加法运算法则， 二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法 则，二次根式的性质对每一项判断即可解答．
解 故A 项不符合题意；
故 B 项不符合题意；
故 C 项不符合题意；
故 D 项符合题意；
故选 D．
【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则， 二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法 运算法则，二次根式的性质，掌握对应法则是解题的关键．
6 ．B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件得 x -1≥ 0 ，1- x ≥ 0 ，继而得到x ，y 的值，再代入x2008 + 2008y 计算即可．解题的关键是掌握 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．
【详解】解：∵ y = + ， : x -1≥ 0 ，1- x ≥ 0 ，
: x = 1 ，
: y = ·/1-1 + = 0 + 0 = 0 ，
: x2008 + 2008y = 12008 + 20080 = 1+1 = 2 ．
故选：B．
7 ．B
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得： OA=OC．又 OE⊥AC，根据线段垂直平分线 上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE 的周长为 AB+BC 的长．最后根据
平行四边形的对边相等得：▱ABCD 的周长为 2×3=6．
【详解】四边形 ABCD 是平行四边形 :OA=OC.
∵OE⊥AC， :AE=CE.
故△ABE 的周长为 AB+BC=3， 根据平行四边形的对边相等得
▱ABCD 的周长为 2×3=6.
故选 B.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，将△ABE 的周长转化为AB+BC 是解题的关键.
8 ．B
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算出结果后再估算大小即可． 解
\ 3 3
= 2× - ×
= 2 -
= 2 - 2 ，
Q 2 < < 2.5 ，
: 4 < 2 < 5 ，
: 2 < 2 - 2 < 3 ，
故选 B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的大小估算，先得出运算结果是解题关 键．
9 ．A
【分析】如图（见解析），先利用直角三角形的性质可得 再根据平行四边形 的性质可得AB Ⅱ CQ ，由此可得出当PQ ^ AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ = CD ．
【详解】解：如图，过点C 作CD 丄 AB 于点D ，
Q在Rt△ACD 中，上ADC = 90。, 上BAC = 30。, AC = 4cm ，
Q 四边形PAQC 是平行四边形，
: AB∥CQ ，
: 当PQ ^ AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ = CD = 2cm ， 故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、平行线间的距离等知识点， 熟 练掌握平行四边形的性质是解题关键．
10 ．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，灵活 运用知识点推理证明是解题的关键．
记BD 和CH交于点Q，根据正方形的性质，利用 ASA 证明 △ADE≌△PDE ，利用 AAS 证明
△QBG≌△ADE ，设 EF = FG = GH = EH = x ，结合勾股定理推出
根据大正方形ABCD 边长为
【，】出：记)x2B(和)，，，即为四边形 EFGH 的面积．
:四个全等的直角三角形( △DAE 、 △ABF 、 △BCG 、 △CDH ）拼成大正方形 ABCD ， : AF = BG = CH = DE ，AE = BF = CG = DH ，上ADB = 45。，
7AED = 7AFB = 7BGC = 7CHD = 90° ,
:7HEF = 7EFG = 7FGH = 7GHE = 180° - 90° = 90° ,
AF - AE = BG - BF = CH - CG = DE - DH ，即 EF = FG = GH = EH ， :四边形EFGH是正方形，
: 上GEF = 45。，EF Ⅱ GH ，
:7EPD = 7GQB ，
: EO = EP ，
:7PDE = 90° - 67.5° = 22.5° , 7GQO = 7GOQ = 67.5° ,
:7ADE = 7ADB - 7PDE = 45° - 22.5° = 22.5° = 7PDE ，GQ = GO ， 在 △ADE 和△PDE 中，
ï
í DE = DE ， ïl上AED = 上PED
ì上ADE = 上PDE
: △ADE≌△PDE (ASA )，
: AE = PE ， ÐEPD = ÐGQB = ÐEAD ， 在△QBG 和△ADE 中，
: △QBG≌△ADE (AAS) ， : GQ = AE ，
: GQ = EP = EO = GO = AE = BF = CG = DH ，
设EF = FG = GH = EH = x ，则 ，
∵大正方形ABCD 边长为 +1，
:四边形EFGH 的面积为 故选：D．
11 ．x ≥ -1
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 根据题意得到x +1 ≥ 0 ，进而求解即可．
【详解】解：∵ 、在实数范围内有意义， : x +1≥ 0 ，
解得：x ≥ -1，
故答案为：x ≥ -1．
12 ．-2
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义等知识，由 得到a = ±2 ， 再根据 a 小于 1，得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
解 ，
: a = ±2 ， ∵a 小于 1， : a = -2 ，
故答案为：-2 ．
13 ．2.4
【分析】本题考查了勾股定理， 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法” 求出斜边上的高即可．
【详解】解：设 Rt△ABC 斜边上的高为h ， Q Rt△ABC 的两直角边分别是 3 ， 4，
:斜边 ，
:h = 2.4 ，
: Rt△ABC 的斜边上的高是2.4 ．
故答案为：2.4 ．
14 ．(2, -1)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，掌握平行四边形的性质是解题的关 键．根据平行四边形的性质，点的坐标特征可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AD = BC ，AD ⅡBC ，
∵ A (-1, 2), B (-2, -1), D (3, 2)， : AD = BC = 3 - (-1) = 4 ，
: xC - (-2) = 4，yC = -1，
: xC = 2 ，
:点C 的坐标为(2, -1) ， 故答案为：(2, -1) ．
15 ．3
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形，勾股定理等知识， 过点D 作DF 丄 AB 于点F ，DG⊥AE 于点G ，则 上BFD = 上DGA = 90。，根据等腰三角形 的性质求出上B = 上C = 30。，根据含30。角的直角三角形及勾股定理求出BF, DF ，再得到
△AFD 是等腰直角三角形，求出AF, AD ，进而求出AB = AC = 3 + 3，同理求出DE 的长， 即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： 过点D 作DF 丄 AB 于点F ，DG⊥AE 于点G ，则上BFD = 上DGA = 90。，如图：
: 上BAD = 45。, 上DAE = 60。, 上EAC = 15。， : 上BAC = 上BAD + 上DAE + 上EAC = 120。， : AB = AC ，
: 上BFD = 90。，BD = 6 ，
: BF = = 3 ，
: 上BAD = 45。，上AFD = 90。， : 上ADF = 上BAD = 45。，
: AF = DF = 3，
: AB = AC = BF + AF = 3 + 3 ， : 上DGA = 90。，上DAE = 60。，
: 上ADG = 90。- 上DAG = 30。，
: 上EAC = 15°, 上C = 30° ,
: 上DEA = 上EAD + 上C = 45° , : 上GDE = 上GED = 45° ,
: 上DEA = 45°, 上DAE = 60° ,
: 上ADE = 180° - 上DEA - 上DAE = 75° , : 上EAC = 15°, 上DAE = 60° ,
: 上DAC = 上EAC + 上DAE = 75° , : 上ADE = 上DAC ，
故答案为：3 ．
16 ．(1)1
(2) -2
【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，平方差公式，负整数指数幂和二次根式的混合运算， 解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）利用平方差公式求解即可；
（2）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减． 【详解】（1）解：原式 = 3 - 2
= 1；
（2）解：原式 = 1- (2 -1)+ 2 - 4
= 1 - 2 + 1 + 2 - 4
= -2 ．
17 ． △BOC 的周长为21．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到
即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，AC = 14, BD = 8,
: △BOC 的周长= OC + OB + BC = 7 + 4 +10 = 21．
18 ．(1)见解析 (2) 4
【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线， 线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练 掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）利用勾股地理求出AC = 2 ，求出BC = BD + CD = 4 ，然后根据三角形面积公式求解 即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：在 Rt△ACD 中，上C = 90。，AD = 3 ，CD = 1
: AC = = = 2 ， ∵ DE 是线段AB 的垂直平分线，
: BD = AD = 3 ，
: BC = BD + CD = 3 +1 = 4 ，
19 ．(1) 3
(2) 10 -10
(3)不能截出
【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为 16dm2 的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实 际木板和宽进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：:木板 C 为正方形，且面积为18dm2 ， :木板 C 的边长为
故答案为：3 ．
（2）解：:正方形木板 A ，B ，C 的面积分别为：4dm2 ,8dm2 和18dm2 ， :正方形木板 A ，B ，C 的边长分别为：2dm、2 dm、3 dm ，
:长方形木板的长为 宽为 由图可得：
= 10 -10 ．
（3）解：不能截出；
理由：
:两个正方形木板放在一起的宽为4dm ，长为8dm ，
由（2）得长方形的边长分别为：2 + 2 、2 + 3 ， Q 2 + 2 > 4，但 2 + 3 < 4 + 4
:不能截出．
20 ．(1)见解析 (2)12
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟 练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键；
（1）利用平行四边形的性质，推出AB ⅡCD ，进一步可得上ECD = 上F ，上D = 上EAF ，再 由 E 是AD 中点，可证明 △CDE≌△FAE ；
（2）过点 A 作AG 丄 BC 于点 G，利用直角三角形的性质求出 AG 的长，进一步可得平行四 边形ABCD 的面积，再结合（1）中结论推出 △BCF 的面积等于平行四边形的面积，即可求 解．
【详解】（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: ABⅡCD ，即 BF Ⅱ CD ，
:上ECD = 上F ，上D = 上EAF ， 又 E 是AD 中点，
: AE = DE ，
:△CDE≌△FAE (AAS) ．
（2）如图，过点 A 作AG 丄 BC 于点 G，则 上AGB = 90° ,
又上B = 30° , AB = 4 ，
:平行四边形ABCD 的面积S = BC . AG = 6 × 2 = 12 ， 由（1）知， △CDE≌△FAE ，
: S△CDE = S△FAE ，
: △BCF 的面积等于平行四边形ABCD 的面积，即S△BCF = 12 ．
21 ．(1)见解析
(2)5 小时
【分析】此题考查了勾股定理的应用，二次根式的化简，含 30 度角直角三角形的性质的应 用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图所示，过点 A 作AC 丄 BF 于点C，首先求出 上BAC = 30° ,得到 然后利用勾股定理求出AC ，进而比较求解即可；
（2）如图所示，在 BF 上取点 D ，E，使 AD = AE = 130km ，勾股定理求出
然后得到DE = DC + CE = 100km ，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点 A 作AC 丄 BF 于点 C，
根据题意得，上ABC = 60。，AB = 80 km ， : 上BAC = 30。，
: AC = = 120 (km) < 130km ，
:A 观测站在台风 10 级风圈的影响范围之内；
（2）解：如图所示，在 BF 上取点 D ，E，使 AD = AE = 130km ，
: CD = CE = = 50 (km)， : DE = DC + CE = 100km ，
: 100 ÷ 20 = 5 （小时），
:A 观测站遭受 10 级风圈影响的时间是 5 小时．
22 ．(1)6；3；
(2) 6 ； ；
(3)10；40
【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意， 列出关系式是关键．
（1）依据题意，当x > 0 时，由 则x + ≥ 6 ，当且仅当x = ，即x = 3 时，
x + 有最小值，最小值为 6，进而可以判断得解；
（2）依据题意，当x > 0 时，由 则 当且仅当 即x = s2 时， 有最小值，最小值为6 ，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由 AB= x 米，则米，则篱笆的总长度= 2x + ，又
则2x + ≥ 40 ，当且仅当2x = ，即x = 10 时，2x + 有最小 值，最小值为 40，最后可以判断得解．
9 9
【详解】（1）由题意，当 x > 0 时，Qx + ≥ 2 x . ，
x x
当且仅当x = ，即 x =3 时，x + 有最小值，最小值为6.
故答案为：6；3.
（2）由题意，当 x > 0 时，
当且仅当3x = ，即 x = v2 时，3x + 有最小值，最小值为6 .
故答案为：6 ； .
（3）由题意，Q AB = x 米，则 米，
:篱笆的总长度= 2x + .
:2x + ≥ 40 ，
当且仅当 即x =10 时 有最小值，最小值为40.
答：当这个矩形花园的宽AB 为10 米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为40 米．
故答案为：10 ；40.
23 ．（1）BC 的长为 24；（2）AE 的长为 6；（3）AE 的长为 5 或 20
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
（1）由折叠得到 AE = EC ，然后对 Rt△BCE 运用勾股定理即可求解；
（2）先证明 BE = DE ，设 AE= x ，则 BE = DE = 16 - x ，在 Rt△ABE 中，由勾股定理建立方
程x2 + 82 = (16 - x)2 ，即可求解；
（3）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点M ，交AD 于点N 则MN = AB = 10 ，分两种情况：
①如图，当点F 在长方形内部时，在Rt△BFM 中，由勾股定理得FM = 6 ，则
FN = MN - FM = 4 ，设 AE = FE = y ，则EN = 8 - y ，在 Rt△ENF 中，由勾股定理得
y2 = (8 -y)2 + 42 ，解得：y = 5 ，即AE 的长为 5 ； ②如图，当点F 在长方形外部时，由折 叠的性质得：BF = BA = 10, AE = FE ，同①得FM = 6 ，此时 FN = 16 ，设 AE = FE = a ，则 EN = a - 8 ，在Rt△ENF 中，由勾股定理得a2 = (a - 8)2 + 162 ，解得：a = 20 ，即AE 的长为
20．
【详解】解：（1）Q AC = 32, EC = 7 ， : AE = AC - EC = 32 - 7 = 25 ，
由折叠的性质得：BE = AE = 25 ， : 上C = 90。，
:在Rt△BCE 中，由勾股定理得 即BC 的长为24；
（2）Q 四边形ABCD 是长方形，
: AD = BC = 16, 上A = 90。, AD∥BC ，
:上EDB = 上CBD ，
由折叠的性质得：上EBD = 上CBD ，
:上EDB = 上EBD ，
:BE = DE ，
设AE = x ，则 BE = DE = 16 - x ，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得：AE2 + AB2 = BE2 ， 即x2 + 82 = (16 - x)2 ，
解得：x = 6 ，即 AE 的长为 6；
（3）Q 四边形ABCD 是长方形，
: AD = BC = 16, 上B = 90。, ADⅡBC ，
设线段BC 的垂直平分线交BC 于点M ，交 AD 于点N则MN = AB = 10 ，分两种情况：
①如图，当点F 在长方形内部时，
Q 点F 在线段BC 的垂直平分线MN 上，
由折叠的性质得：BF = BA = 10, AE = FE ，
在Rt△BFM 中，由勾股定理得
:FN = MN - FM = 10 - 6 = 4 ，设 AE = FE = y ，则EN = 8 - y ， 在Rt△ENF 中，由勾股定理得：EF2 = EN2 + FN2 ，
即y2 = (8 - y)2 + 42 ，
解得：y = 5 ，即 AE 的长为 5；
@如图，当点F 在长方形外部时，
由折叠的性质得：BF = BA = 10, AE = FE ，同①得：FM = 6 ，
:FN = MN + FM = 10 + 6 = 16 ，设 AE = FE = a ，则 EN = a - 8 ，
在Rt△ENF 中，由勾股定理得：EF2 = EN2 + FN2 ，即 a2 = (a - 8)2 + 162 ， 解得：a = 20 ，即 AE 的长为 20；
综上所述，点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，AE 的长为 5 或 20．