江浙皖高中（县中）发展共同体2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江浙皖高中（县中）发展共同体2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了若，则的最大值是，已知圆，直线等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.集合，，则中的元素个数为（ ）
A.2B.4C.6D.8
2.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名，300名，300名学生，则不同的抽样结果种数有（ ）
A.B.C.D.
4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A.B.C.10D.
5.若函数的最小正周期为2，则正实数（ ）
A.B.C.D.
6.若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率为（ ）
A.B.C.D.1
7.若，则的最大值是（ ）
A.0B.C.D.3
8.已知圆，直线.若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于、两点，且满足，，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列命题为真命题的是（ ）
A.，B.，，
C.，D.，，
10.一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去100天的日销售营业额（单位：万元）并将数据整理下表
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A.100天日销售营业额的中位数小于250万元.
B.100天日销售营业额的平均值为230万元
C.100天日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间
D.100天日销售营业额的极差介于150~250之间
11.在正四棱柱中，，是的中点，则（ ）
A.平面
B.平面
C.对角线与底面所成的角为
D.四面体的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若直线是曲线的切线，则_________.
13.已知、、分别为三个内角、、的对边，且，则_______.
14.一袋中有4个白球和3个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：
（1）在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联释所得结论的实际含义.
附，
16.（本题满分15分）已知数列满足，，.
（1）若，求；
（2）若是公差为的等差数列，求的取值范围.
17.（本题满分15分）如图，在直四棱柱中，平面平面，且，.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）若，求二面角的正弦值.
18.（本题满分17分）设椭圆的离心率为，是的右焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，是上的两点，且.
（ⅰ）设直线的斜率为，求直线的方程；
（ⅱ）求面积的最大值与最小值.
19.（本题满分17分）已知函数.
（1）若是的一个极值点.
（ⅰ）求的值：
（ⅱ）判断在处取得极大值还是极小值，并说明理由：
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
2025学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月
联考数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1.【答案】C
【解析】，有6个元素，故答案选C.
2.【答案】B
【解析】对应的点位于第二象限，故答案选B.
3.【答案】D
【解析】由题可知各年级分别抽40，30，30名学生，不同抽样结果为，故答案选D.
4.【答案】C
【解析】由题意可知，即，离心率，故答案选C.
5.【答案】A
【解析】，其周期，解得.故答案选A.
6.【答案】D
【解析】由条件，得，令，得.故答案选：D.
7.【答案】B
【解析】由.等号在，，时成立.故答案选B.
8.【答案】A
【解析】取，的中点，因为，所以，，所以，又，，所以点在圆上，又在直线上，所以直线与圆相交或相切，所以，所以，选A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9.【答案】ACD
【解析】当时，，故A正确；因为，，所以，时，与不共线，故B错误；当，或时，，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选ACD.
10.【答案】ABD
【解析】对于A，根据频数分布表可知，营业额大于或等于250的天数共有天，故中位数一定小于250，故A正确；日销售营业额的平均值为，故B正确；因为，所以第75百分位数不小于250，故C错误；极差最大值小于，最小值大于，故D正确.故答案选ABD.
11.【答案】AB
【解析】因为，平面，平面，所以平面，故A正确；因为为中点，且，所以，又，，所以平面，故B正确；由正四棱柱性质及线面角定义可知为对角线与底面所成的角，其正切值为，故C错误；因为平面，所以，故D错误，答案选AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】设切点为，由得，所以，即，切线方程为，故，，.
13.【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以.
14.【答案】.
【解析】由题意可知，，且，，，，所以.
另解：设次操作后白球的个数为，则，而，所以，.
（本题可考虑求）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）解：（1）设两名学生身高均不低于170cm的事件为，由古典概率计算公式得.
（2）零假设为：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
.
根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联.
16.（本题满分15分）解：（1）因为，，所以，，，，，
且等号成立的条件为，，，，
所以.
（2）因为，，，所以，所以公差.
由，得，所以，
当时，，，
所以，，故的取值范围为.
17.（本题满分15分）解：（1）因为平面平面，，平面，
所以平面；
因为平面，所以
由，，得，所以，所以，
又因为，所以，
故、、、四点共面.
（2）以为轴，为轴，为轴，为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
则，，，
易得平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
设二面角的平面角为，则，
所以，二面角的正弦值为.
18.（本题满分17分）解：（1）由题意可知：，解得，，，
故椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设，，直线的方程为：，
联系消去整理得：
由根与系数关系得：，，
所以，，
因为，所以，
即，
代入整理得：，解之得，或.
故直线的方程为：，或.
（ⅱ）不妨设，，.则，，，
因为，在椭圆上，所以，
解得，或，（因为，所以舍去），
同理可得：，
所以，，
令，则，，，
所以，即.
当，时，，.
所以，面积的最大值为，最小值为.
19.（本题满分17分）解：（1）（ⅰ）由题意，得.
所以，解得.
（ⅱ）当，，，
令，，
当，，
所以在区间上单调增，即在区间上单调增，
所以，，当时，，
所以在处取得极小值其极小值为.
（2）当时，显然对任意，.
当时，，，
所以在上单调增，.
当时，令，
则，，
所以在上单调增，而，，
存在，使得当时，有，此时在上为单调减函数，
从而，故恒大于0不成立.
综上所述，实数的取值范围为.
日销售额
频数
5
20
40
30
5
性别
身高
低于
不低于
合计
男
9
91
100
女
90
10
100
合计
99
101
200
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828