2025年10月长郡初三上学期第一次月考数学真题及答案

这是一份2025年10月长郡初三上学期第一次月考数学真题及答案，共12页。

注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个 选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.)
1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
2.下列运算正确的是
A.2a²+3a²=5a⁴ B.b³·b³=2b³
C.(a²)⁵=a¹⁰ D.(a³b)²=a⁶b
3.如图，AB是◎O的直径，C 是00上一点(A,B除外),∠BOD=44°,则∠C的度数是
A.44° B.22° C.46° D.36°
4.函数中，自变量x 的取值范围是
A.x≠2 B.x≥2
C.x≤2 D.x>2
数学试题(C) 第1页(共8页)
5.如图，在△AOB中，∠B=30°,将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到
△A'OB', 边A'B '与OB 交于点C(A'不在OB 上),则∠A'CO 的度数为
A.22° B.52° C.60° D.82°
6.古语有言“逸一时，误一世”,其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时 间，浪费青春，其数字谐音为1,1,4,5,1,4.有关这一组数，下列说法错 误的是
A.中位数是4.5
C.众数是1 D.方 差
7.如图，将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，若∠1=30°,则∠2=
A.135° B.150° C.105° D.125°
8.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A,B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于P,Q 两点；
②作直线PQ交AB于点D;
③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧，交PQ 于点M, 连接AM,BM. 若AB=2, 则AM 的长为
A.4 B.2 C.√3 D.√2
9.若关于x 的一元二次方程x²+(2k+1)x+k²+1=0的两个不相等的实
数根x₁,x₂, 满足x₁+x₂=-x₁·x₂,则k的值是
A.2 或 0 B.0 C.2 D.1
10.A,B,C,D 四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A 说：“是C 或 D 打碎的.”B 说：“是 D 打碎的. ”C 说：“我没有打碎玻璃窗."D 说：“不是我打碎
的.”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是
A.A B.B C.C D.D 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11.分解因式：m³-16m=
12.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则关于x 的方程ax+b=0 的解是x=
13.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC 的中点，连接DE. 若 DE=
12,则AB 的长为 ·
14.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm,瓶内液体已经过半，
截面圆中弦AB 的长为2 cm,则最大深度CD 的长为 cm.
D
15.如图，四边形ABCD内接于◎O,如果它的一个外角∠DCE=63°, 那么 ∠BOD的度数为 ·
16.若二次函数y=ax²+bx+c(a>0) 的图象向右平移1个单位长度，得
到的新抛物线关于y 轴对称.则下列说法正确的是 . (填序号)
;
②当时，代数式a²+b²-5b+8的最小值为3;
③对于任意实数m, 不等式am²+bm-a+b≥0一定成立；
④P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂) 为该二次函数图象上任意两点，且x₁ 0时，一定有y₁>y₂.
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题 8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (6分)计算
18. (6分)先化简，再求值：(x-2y)²+(2x-y)(2x+y)-x(x-4y),其中x=-1,y=2.
19. (6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别 是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)①点B关于原点O中心对称点的坐标为( ,. ); ② 将△ABC绕点O顺时针旋 转 9 0 °后 得 到 △A₁B₁C₁,画 出△A₁B₁C₁;
(2)若点P为y轴上一动点，则PA+PC 的最小值等于
数学试题(C) 第 4 页(共8页)
20. (8分)如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE, 连接CD,BE.
(1)求证：△AEB≌△ADC;
(2)连接DE, 若∠ADC=96°, 求∠BED 的度数.
C
21. (8分)如图，A,P,B,C 是半径为8的◎O上的四点，且满足∠BAC= ∠APC=60° .
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
数学试题(C) 第 5 页 ( 共 8 页 )
22. (9分)如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B(2,0).
(1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；
(2)在抛物线上有一点 P, 过点P作x轴的垂线交x 轴于点Q,若△APQ 是等腰直角三角形，求点P的坐标.
23. (9分)某商场有A,B 两种商品，一件B 商品的售价比一件A 商品的售 价多5元，若用1500元购进A 种商品的数量恰好是用900元购进B 种商品的数量的2倍.
(1)求A,B两种商品每件售价各多少元；
(2)B 商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B 种 商品100件，假设销售单价每上涨1元，B种商品每天的销售量就 减少5件.设一件B商品售价a元 ，B 种商品每天的销售利润为W 元，求B 种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润 W 最大，最大利润是多少元?
数学试题(C) 第6页(共8页)
24. (10分)我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把 该函数称为“H 函数”,其图象上这一点，称为“H点”.例如：“H函数” y=3x—2, 其“H 点”为(1,1).
(1)在下列关于x的函数中， (请填写对应序号)是“H函数”
(2)若点A, 点B是“H函数 ”y=x²-(2m+1)x+(m-1)²(其中m>0)上的“H点”,且8≤AB≤10, 求m的取值范围；
(3)若“H函数” 的图象上存在唯一的一个“H 点”,且当一1≤m≤3时，n 的最小值为k, 求 k 的值.
数学试题(C) 第7页(共8页)
25. (10分)如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB//CD,连接OB,OC, 延长CO 交◎0于点M, 过点M作MN//OB交 CD于点N.
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)当OB=6cm,OC=8cm 时，求◎O的半径及MN的长；
①求证：m>1;
②令,比较m 与n的大小，并说明理由.
数学试题(C) 第 8 页 ( 共 8 页 )
2025 年秋季第一次学情分析 数学参考答案
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11. m (m +4)( m-4) 12.3 13.24 14.7 15.126°16.①③
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25 题每题 10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.【解析】原式=4+ √ 3-1— √ 3-1 ……………………………………………………………………………………………4分 =2. ……………………………………………………………………………………………………………………………6 分
18.【解析】原式=x ²—4 xy +4 y²+4 x²- y ²- x ²+4xy
=4 x²+3y² ………………………………………………………………………………………………………………………4分 当 x = — 1 ,y = 2 时 ，
原式=4×(一 1)²+3×2²=4+12=16 ………………………………………………………………………………………6 分
19.【解析】(1)①∵点B 的坐标为(4,1),
∴点 B 关 于 原 点O 中心对称点的坐标为(一4,—1).
故答案为： —4;-1………………………………………………………………………………………………………………2 分
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
D
C
B
A
D
A
C
B
C
D
②如图，△A₁ B₁ C₁ 即为所求 .
………………………………………………………………………………
4 分
(2) 作 点A 关 于y 轴的对称点A ′,连接A ' C ,交y 轴于点P ,连接PA ,此时 PA + PC 的值最小， 最小值即为A'℃的长，由勾股定理得，A'C =√4²+2²=2√5.
故答案为：2 √5………………………………………………………………………………………………………………… 6 分
20.【解析】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB= AC , ∠ BAC =60° .
由旋转得，AE = AD , ∠ EAD =60°, ∴∠BAE=∠CAD=60°-∠BAD.
在△AEB 和△ADC 中 ，
∴ △AEB ≌△ADC (SAS) …………………………………………………………………………………………………… 4分 (2)∵ AE= AD , ∠ EAD =60°,
∴ △AED 是等边三角形，
九年级数学参考答案(C )-1
∴∠AED=60°.
∵△AEB≌△ADC,
∴∠AEB=∠ADC=96°,
∴∠BED=∠AEB-∠AED=96°—60°=36°,
∴∠BED 的度数是36° . ……………………………………………………………………………………………… 8 分 21.【解析】(1)证明：在△ABC 中 ，
∵∠BAC=∠APC=60°,
又∵∠APC=∠ABC,
∴∠ABC=60°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°—60°—60°=60°,
∴△ABC 是等边三角形. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4分
(2)如图，连接OB,
∵△ABC 为等边三角形，◎O 为其外接圆，
∴O 为 △ABC 的外心，
∵等边三角形三线合一，
∴BO 平分∠ABC,
∴∠OBD=30°,
……………………………………………………………… 8分
22.【解析】(1)∵抛物线y=x²+bx+c 与 x 轴相交于点A(-1,0) 和 点B(2,0),
解得
∴抛物线的解析式为y=x²-x—2 3 分
∴抛物线的对称轴是直线
顶点坐标为. ……………………………………………………………………………………………… 5分 (2)如图，∵PQLx 轴于点Q,
∴∠PQA=90° .
∵△APQ 是等腰直角三角形，
∴AQ=PQ.
∵ 点P 在抛物线y=x²—x —2 上 ，
∴ 设 点Q 的坐标为(m,0), 则 点P(m,m²—m—2), ∴AQ=|m—(-1)|=|m+1|,PQ=|m²—m—2|,
∴|m+1|=|m²—m—2|,
∴m+1=m²—m—2 或 m+1=—(m²—m—2),
即 m²—2m—3=0 或 m²=1.
当 m²—2m—3=0 时 ，
解 得m=3 或 m=-1 (舍去),
此时 P(3,4);
当 m²=1 时 ，
解 得m=1 或 m=-1 (舍去),
此时 P(1,-2).
综上，点P 的坐标为(3,4)或(1,-2) . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分 23.【解析】(1)设A 种商品每件售价x 元，则B 种商品每件售价(x+5) 元 ，
∵用1500元购进A 种商品的数量恰好是用900元购进 B 种商品的数量的2倍，
九年级数学参考答案(C)-2
解 得 x=25,
经检验，x=25 是原方程的解，也符合题意.
∴x+5=25+5=30 (元),
∴A 种商品每件售价25元，B种商品每件售价30元 . … … … … … … … … … 5分(说明：解分式方程未检验扣1分)
(2)根据题意得，W=(a-20)[100—5×(a-30)]=—5a²+350a-5000=-5(a-35)²+1125,
∵-50) 上 的“H 点”,
∴x=x²—(2m+1)x+(m—1)², 整理得 x²—(2m+2)x+(m—1)²=0, ∴△=[一 (2m+2)]²—4(m—1)²=16m>0,x₁+x₂=2m+2,x₁ ·x₂=(m—1)², ∴AB=√(x₁-x₂)²+(x₁—x₂)²=√2√(x₁+x₂)²—4x₁·x₂=4√2m,
∵8√2≤AB≤10√2,
∴8√2≤4√2m≤10√2,
解 得
∴m 的取值范围为 ……………………………………………………………………………………… 6分
(3)∵“H 函数 ” 的图象上存在唯一 的一个“H 点”,
.。
,整理
解得n=(m—k+1)²+1—k,
∴n 关 于m 的二次函数图象开口向上，对称轴为直线m=k—1. ∵-1≤m≤3,
∴分以下三种情况讨论：
① 当k—1≤-1, 即 k≤0 时，当m=-1 时 n 有最小值k, 即 k=(-1—k+1)²—k+1,
解 得k=1 (舍去);
② 当k—1≥3, 即 k≥4 时，当m=3 时 n 有最小值k, 即 k=(3—k+1)²—k+1,
解得k=5+2√2 或 k=5—2√2 (舍去);
③ 当 - 1