2025-2026学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A，B在直线l上，直线l⊄平面α，则“直线l//平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知向量a=(−2,−1)，b=(1,−1)，c=(x,1)，则满足a⋅cb⋅c>0的x的取值范围是( )
A. (−1,12)B. (−12,1)
C. (−∞,−1)∪(12,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)
3.已知函数f(x)=sinωx+acs2ωx2(ω>0)的图象经过点(0,2 3)，若f(x)在[0,π]上没有零点，则ω的取值范围为( )
A. (0,1)B. (0,1]C. (0,23)D. (0,23]
4.设数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋯+nan=2n−1(n∈N∗)，则数列{ann+2}的前9项和为( )
A. 161165B. 106165C. 4966D. 7166
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.设z=3−i，则Imz= ______．
6.弧长为4π的扇形的圆心角为π3，则此扇形的面积为 ．
7.如图，△ABC的斜二测画法直观图为等腰直角三角形A′B′C′，且斜边A′C′= 2，则在原平面图形中，点B到AC的距离为______．
8.等差数列{an}是递增数列，若a2+a4=16，a1⋅a5=28，则通项an= ______．
9.已知向量a=(−1,0)，向量b=(1,2)，则b在a上的投影向量是______(注：本题答案用坐标表示)．
10.已知虚数z是关于x的实系数一元二次方程x2+2x+p=0的一个根，且|z|=2，则实数p的值为______．
11.已知数列{an}中，a1=1，an=3an−1+4，(n∈N∗且n≥2)，则数列{an}通项公式an= ______．
12.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成.如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AB所成角的余弦值是______．
13.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,csC=14,c=8，则当a+b取得最大值时，sinA=______．
14.在△ABC中，AB=5，AC=6，csA=15，O是△ABC的外心，若OP=xOB+yOC，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱C1D1，C1B1的中点．
(1)证明：EF//平面AB1D1；
(2)求直线AD1与直线EF所成的角的大小．
16.(本小题15分)
已知平面向量|a|= 2,|b|=2，且(2a−3b)⋅(2a+b)=4.求：
(1)a⋅b的值；
(2)向量a与a−2b夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
设ω>0，函数y=f(x)的表达式为f(x)=cs(ωx−π6)．
(1)若ω=1，求f(x)的单调增区间；
(2)若ω=2，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(C)=− 32，且c2−a2−b2=4，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在某地滨江公园建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中CD=100米，BC=200米，∠A=π3．
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度．
19.(本小题17分)
对于数列{xn}，{yn}，其中yn∈Z，对任意正整数n都有|xn−yn|0，
即(2x+1)(x−1)0可求出a1与a5的值，进一步利用d=a5−a15−1可求出d值，从而可得an．
本题考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
9.【答案】(1,0)
【解析】解：向量a=(−1,0)，向量b=(1,2)，
则a⋅b=−1，|a|=1，
故b在a上的投影向量是b⋅a|a|×a|a|=−a=(1,0)．
故答案为：(1,0)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
10.【答案】4
【解析】解；虚数z是关于x的实系数一元二次方程x2+2x+p=0的一个根，
则方程的另一个虚数根为z−，
则有Δ=4−4p1，
所以p=z⋅z−=|z|2=4．
故答案为：4．
依题意，虚数z和z−都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出p的值．
本题主要考查方程根的求解，重开计算能力，属于基础题．
11.【答案】3n−2
【解析】解：∵an=3an−1+4，∴an+2=3(an−1+2)，
∵a1+2=3，∴{an+2}是公比为3，首项是4的等比数列，即an+2=3×3n−1，
an=3n−2．
故答案为：3n−2．
由题意知an+2=3(an−1+2)，判断{an+2}是等比数列，由此求出通项公式．
本题考查数列的性质和应用，合理地进行构造新数列是解题的关键．
12.【答案】 36
【解析】解：如图，
取棱AC的中点G，连接HG，FG．
因为H，G分别是棱BC，AC的中点，所以HG/​/AB，
则∠FHG或其补角是异面直线HF与AB所成的角．
设AC=2，则HG=1，
在正方形ACFE中，FG= 22+12= 5，
在正三角形CFB中，HF= 3．
在△FHG中，由余弦定理可得cs∠FHG=HG2+FH2−FG22HG⋅FH=− 36，
则异面直线HF与AB所成角的余弦值是 36．
故答案为： 36．
取棱AC的中点G，连接HG，利用三角形中位线的性质得取棱AC的中点G，连接HG，从而利用异面直线所成角的定义可知∠FHG或其补角即可所求，在△FHG中，由余弦定理求解即可．
本题考查异面直线的夹角相关知识，属于中档题．
13.【答案】 104
【解析】解：根据题意可知，△ABC中，csC=14,c=8，
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得64=a2+b2−12ab=(a+b)2−52ab≥(a+b)2−58(a+b)2=38(a+b)2，
所以a+b≤16 63，当且仅当a=b=8 63时，等号成立，
此时△ABC为等腰三角形，A=B，
由A+B+C=π，有A=π−C2，
所以sinA=sin(π−C2)=csC2= 1+csC2= 1+142= 58= 104．
故答案为： 104．
由余弦定理求出a+b的最大值及等号成立的条件，再结合诱导公式和半角公式求出sinB．
本题考查了解三角形，属于中档题．
14.【答案】49 624
【解析】解：因为AB=5，AC=6，csA=15，
可得BC2=AB2+AC2−2AB×ACcsA=25+36−2×5×6×15=49，
则BC=7，
由7sinA=72 65=2OB，可得OB=35 624，
由题意知OP=xOB+yOC，其中x，y∈[0,1]，
即点P的轨迹对应图形是边长为OB的菱形，∠BOC=2A，
于是这个菱形的面积2S△BOC=2×12OB2⋅sin2A=35296×2×2 65×15=49 624．
故答案为：49 624．
利用余弦定理得到BC，利用正弦定理得到外接圆半径OB，根据OP=xOB+yOC，其中x，y∈[0,1]，得到点P的轨迹对应的图形是边长为OB的菱形，最后求面积即可．
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和平面向量基本定理的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】证明过程见解析； 60°．
【解析】(1)证明：因为点E，F分别为棱C1D1，C1B1的中点，
所以EF//B1D1，
又因为EF⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以EF//平面AB1D1；
(2)设正方体棱长为a，(a>0)，
所以AD1=D1B1=B1A= 2a，
所以三角形AD1B1是边长为 2a的等边三角形，
所以直线AD1与直线D1B1所成的角的大小为60°，
因为EF//B1D1，
所以直线AD1与直线EF所成的角的大小为60°．
(1)只需证明EF/​/B1D1，再结合线面平行的判定定理即可得证；
(2)将所求转换为直线AD1与直线D1B1所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解．
本题考查线面平行的判定，以及线面角的计算，属于基础题．
16.【答案】−2；
3 1313
【解析】(1)已知平面向量|a|= 2,|b|=2，且(2a−3b)⋅(2a+b)=4，
则(2a−3b)⋅(2a+b)=4a2−4a⋅b−3b2=4×2−4a⋅b−3×4=4，
可得a⋅b=−2；
(2)因|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 2−4×(−2)+4×4= 26，
a⋅(a−2b)=a2−2a⋅b=2−2×(−2)=6，
设向量a与a−2b的夹角为θ，
根据两向量的夹角公式可得csθ=a⋅(a−2b)|a|⋅|a−2b|=6 2× 26=3 1313．
(1)利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得；
(2)利用两向量的夹角公式计算即得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
17.【答案】[−5π6+2kπ,π6+2kπ],k∈Z；
3．
【解析】(1)由题意可得f(x)=cs(x−π6)，
令−π+2kπ≤x−π6≤2kπ,k∈Z，可得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z，
可得f(x)的单调增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ],k∈Z；
(2)由题意可得f(C)=cs(2C−π6)=− 32，
由于C∈(0,π)，可得2C−π6∈(−π6,11π6)，
则可得2C−π6=5π6或7π6，可得C=π2或2π3，
因为c2−a2−b2=4，
可得c2>a2+b2，可得C>π2，
可得C=2π3，
可得a2+b2−c2=2abcsC=−ab，
故c2−a2−b2=ab=4，
可得S△ABC=12absinC=12×4× 32= 3．
(1)根据余弦型函数的单调增区间即可求解；
(2)根据a,b,c,f(C)=− 32可求得角C，利用余弦定理可构造方程求得ab=4，代入三角形面积公式即可求得结果．
本题考查了余弦函数的单调性，余弦定理以及三角形的面积公式等知识的应用，考查了函数思想，属于中档题．
18.【答案】20 153m；
100 5m.
【解析】解：(1)在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，
边AB，BC，CD，DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中CD=100米，BC=200米，∠A=π3，
根据三角形的面积公式可得S△BCD=12BC⋅CD⋅sinC=12×100×200×sinC=9600，解得sinC=2425，
由C是钝角，得csC=−725，
根据余弦定理可得BD= BC2+CD2−2BC⋅CD⋅csC= 2002+1002−2×200×100×(−725)=20 153，
所以需要修建20 153m的隔离防护栏；
(2)由题意，S△BCD=12BC⋅CD⋅sinC≤12BC⋅CD=10000，
当且仅当C=π2时取到等号，此时BD=100 5，
设∠ABD=α,α∈(0,23π)，在△ABD中，
根据正弦定理可得ADsinα=ABsin(23π−α)=100 5sinπ3=2003 15，
根据三角形的面积公式可得S△ABD=12AD⋅AB⋅sinA=50000 33sinαsin(23π−α)=50000 33[sinα( 32csα+12sinα)]
=50000 33( 34sin2α+12⋅1−cs2α2)=25000 33[12+sin(2α−π6)]，
由α∈(0,23π)，得2α−π6∈(−π6,7π6)，当2α−π6=π2，即α=π3时，(S△ABD)max=12500 3，
此时AB=200 153× 32=100 5m.
(1)由三角形的面积公式解得sinC=2425，因为C是钝角，所以csC=−725，利用余弦定理即可求解；
(2)由烧烤区的占地面积最大得到BD=100 5，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得，an=n+14(n是正整数)，且{bn}为数列{an}的“接近数列”，
∴bn=n(n是正整数)，
∴b1=1，b2=2，b3=3，b4=4．
(2)当n为奇数时，an=32+(910)n+1，由函数y=32+(910)x+1在定义域内单调递增，
∴320⇒(910)k>1，无解；
当k为奇数时，令Bk−Ak>0⇒12−81190[1+(910)k]>0⇒(910)klg9101481≈16.66，即kmin=17，
因此，存在k(k是正整数)，使得Ak