河北省张家口市NT20名校联合体2025~2026学年高二上学期入学摸底考试数学试卷

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这是一份河北省张家口市NT20名校联合体2025~2026学年高二上学期入学摸底考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上，在中，满足，则，已知向量，满足，，，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（）
A. B. C. D.
2. 某学校有高中学生3000人，初中学生2000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（）
A. 150人B. 200人C. 300人D. 500人
3. 在中，满足，则（）
A. B. 或C. D. 或
4. 已知向量，满足，，，则（）
A. 4B. 2C. 1D. -2
5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（）
A A与B对立B. A与B互斥
C. A与B相互独立D.
6. 已知函数的周期为4π，且在上单调递增，则可以是（）
A. B.
C. D.
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
8. 如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10. 如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（）

A. 挖去圆柱的体积为
B. 圆锥侧面积为
C. 剩下几何体表面积为
D. 圆锥母线与底面所成的角的余弦值为
11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（）
A. 若，，且有两解，则b取值范围是
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知A，B两个事件相互独立，且，，则______.
13. 某中学举行数学解题比赛，其中6人的比赛成绩分别为：，则这6人成绩的分位数与极差之和是______.
14. 如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为_______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.
16. 如图，正三棱柱中，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长.
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，且，求的面积.
18. 在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
19. 如图，三棱柱中，，且，延长到，使，连接，，.
（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.