北京市2025一2026学年上学期新高三入学定位考试数学试题[含部分答案]

这是一份北京市2025一2026学年上学期新高三入学定位考试数学试题[含部分答案]，共8页。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. 1
C. D.
3. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. 2
C D. 4
4. 在展开式中，常数项为（ ）
A. B.
C. 6D. 12
5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向上平移1个单位长度B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
6. 已知函数的最大值为2，则的值可以是（ ）
A. -1B. 1
C. D. 2
7. 已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
8. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（ ）
A. 四棱锥的体积不变
B 总有
C. 点在一条定线段（不含端点）上
D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为___________．
12. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则______，的离心率为______．
13. 函数的最小正周期___________，函数的长度为的一个单调递减区间为___________．（只需写出一个）
14. 等差数列的通项公式，前项和为，则___________，数列的最小值为___________．
15. 已知函数与，其中实数．给出下列四个结论：
①函数在区间上单调递增；
②对任意的与的图象都只有一个公共点；
③若与的图象没有公共点，则的取值范围是；
④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，钝角，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥中，，点在上，．

（1）若为线段的中点，求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）：
女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55
男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立．
（1）该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数；
（2）从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求的分布列和数学期望：
（3）设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为，男教师使用人工智能模型时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆右顶点为，上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为、点关于轴的对称点为与不重合），直线与轴的交点分别为．若，求线段的长．
20. 已知函数．
（1）求证：曲线在点处的切线一定经过点；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）记，是否存在实数，使得函数与在处同时取得极值，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
21. 给定整数，数列满足a1,a2,⋯,an=1,2,3,⋯,n．定义数列如下：b1=mina1,a2,b2=mina2,a3,⋯,bn−1=minan−1,an,bn=minan,a1，其中minx1,x2表示这2个数中最小的数．记，
（1）时，，分别写出相应的数列和；
（2）求证：；
（3）求的最小值．
2025-2026学年北京市新高三入学定位考试
数学
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
【1题答案】
【正确答案】B
【2题答案】
【正确答案】D
【3题答案】
【正确答案】C
【4题答案】
【正确答案】C
【5题答案】
【正确答案】A
【6题答案】
【正确答案】C
【7题答案】
【正确答案】B
【8题答案】
【正确答案】A
【9题答案】
【正确答案】B
【10题答案】
【正确答案】D
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
【11题答案】
【正确答案】
【12题答案】
【正确答案】 ①. 0 ②.
【13题答案】
【正确答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可）
【14题答案】
【正确答案】 ①. -3 ②. -3
【15题答案】
【正确答案】①②③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
【16题答案】
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【17题答案】
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【正确答案】（1）40 （2）分布列见解析，
（3）
【19题答案】
【正确答案】（1）
（2）
【20题答案】
【正确答案】（1）证明见解析
（2）单调递增区间为；单调递减区间为
（3）不存在，理由见解析
【21题答案】
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）