【中考数学】2025年江西省中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年江西省中考适应性模拟试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．2C．3.14D．23
2．（3分）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如表所示，则熔点最高的是（ ）
A．固态氢B．固态氧C．固态氮D．固态酒精
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A．随机抽取城区三分之一的学校
B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校
D．随机抽取三分之一的学校
5．（3分）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn∁n的面积为（ ）
A．(12)n+1B．(13)nC．(14)nD．(14)n−1
6．（3分）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）化简：38= ．
8．（3分）因式分解：a2﹣a＝ ．
9．（3分）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度．
10．（3分）不等式﹣x+1＞0的解集为 ．
11．（3分）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 ．
12．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣3|+(12)0−（﹣1）；
（2）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF．
14．（6分）化简：(1m+1+1m−1)÷mm2+2m+1．
15．（6分）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出△ABC的重心．
16．（6分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 ；
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
17．（6分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．
（1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数；
（2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求AC的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，直线l：y=23x+m与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（6，2）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
19．（8分）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°．
（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①∠CMN的最小值为 度，最大值为 度；
②△CMN面积的变化情况是 ．
A．越来越大
B．越来越小
C．先增又后减小
（2）当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积．
20．（8分）某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量糟醅量×100%）如表：
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）．
数据处理
根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
甜度、整体口感评分统计表
数据应用
（1）在如表中，m＝ ，n＝ ．
请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎．
（2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数．
（3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响．
（4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3：7，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案．
22．（9分）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论：
①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是(12，0)；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
探究2
（3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BFOE的值；
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想BFOE的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）．
2025年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．2C．3.14D．23
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：0是整数，3.14是有限小数，23是分数，它们不是无理数，
2是无限不循环小数，它是无理数，
故选：B．
【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如表所示，则熔点最高的是（ ）
A．固态氢B．固态氧C．固态氮D．固态酒精
【分析】根据正数和负数的实际意义比较各数的大小即可．
【解答】解：∵﹣259＜﹣218＜﹣210＜﹣117，
∴熔点最高的是固态酒精，
故选：D．
【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；
B、图案是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A．随机抽取城区三分之一的学校
B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校
D．随机抽取三分之一的学校
【分析】根据抽取样本的普遍性和代表性进行判断即可．
【解答】解：根据抽样调查样本的普遍性和代表性可知，选项D相比较具有普遍性和代表性．
故选：D．
【点评】本题考查抽样调查样本的可靠性，理解抽样调查样本的普遍性和代表性是抽样的基本原则．
5．（3分）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn∁n的面积为（ ）
A．(12)n+1B．(13)nC．(14)nD．(14)n−1
【分析】根据所给变换方式，依次求出所得三角形的面积，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，
所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，A1B1=12AB，
所以△A1B1C1∽△BAC，
则S△A1B1C1S△ABC=(A1B1AB)=14．
又因为△ABC的面积为1，
所以△A1B1C1的面积为14．
同理可得，△A2B2C2的面积为142，△A3B3C3的面积为143，…，
所以△AnBn∁n的面积可表示为14n．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及有理数的乘方，能根据题意发现所得三角形面积变化的规律是解题的关键．
6．（3分）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据正比例函数的性质解答即可．
【解答】解：如图：
根据题意得k=yx，
∴y＝kx，
根据正比例函数的意义，k越大，图越陡，反之图越陡，k越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
∴获胜的同学是甲，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象，读懂函数图象的意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）化简：38= 2 ．
【分析】根据开立方定义：x3＝a，则x叫a的立方根，记作x=3a，求解即可得到答案，．
【解答】解：根据开立方定义：x3＝a，则x叫a的立方根，记作x=3a，可得：
38=323=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查求一个数的立方根，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（3分）因式分解：a2﹣a＝ a（a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（3分）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 720 度．
【分析】利用多边形的内角和公式进行计算即可．
【解答】解：观察图形可知：该正多边形是正六边形，
∴该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°．
故答案为：720．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
10．（3分）不等式﹣x+1＞0的解集为 x＜1 ．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：﹣x+1＞0，
﹣x＞﹣1，
x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
11．（3分）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 6000x+50=1000x ．
【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元，根据燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，列出分式方程即可．
【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元，
由题意得：6000x+50=1000x，
故答案为：6000x+50=1000x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 82.5°或52.5°或37.5° ．
【分析】由矩形的性质得∠B＝∠BAD＝90°，由折叠得∠PAB′＝∠PAB=12∠BAB′，再分三种情况讨论，一是∠BAB′＝15°，则∠PAB=12×15°＝7.5°，求得∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°；二是∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧，则∠PAB=12×75°＝37.5°，求得∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°；三是∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧，则∠PAB=12×105°＝52.5°，求得∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
由折叠得∠PAB′＝∠PAB=12∠BAB′，
如图1，∠BAB′＝15°，
∵∠PAB=12×15°＝7.5°，
∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°；
如图2，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧，
∵∠BAB′＝∠BAD﹣∠DAB′＝75°，
∴∠PAB=12×75°＝37.5°，
∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°；
如图3，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧，
∵∠BAB′＝∠BAD+∠DAB′＝105°，
∴∠PAB=12×105°＝52.5°，
∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°，
综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°，
故答案为：82.5°或52.5°或37.5°．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣3|+(12)0−（﹣1）；
（2）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可；
（2）根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【解答】（1）解：原式＝3+1+1＝5；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴AE∥DF．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质、有理数的加减混合运算，熟记平行线的判定与性质、有理数的加减混合运算法则是解题的关键．
14．（6分）化简：(1m+1+1m−1)÷mm2+2m+1．
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：(1m+1+1m−1)÷mm2+2m+1
=m−1+m+1(m+1)(m−1)•(m+1)2m
=2m(m+1)(m−1)•(m+1)2m
=2(m+1)m−1．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
15．（6分）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出△ABC的重心．
【分析】（1）利用网格直接画图即可．
（2）结合三角形的重心的定义，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，则点O即为所求．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求．
（2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，
则点O即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（6分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 B ；
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
【分析】（1）根据题意，可知随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件；
（2）根据题意画出相应的树状图，然后即可求得两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故答案为：B；
（2）设有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别用A、B、C、D表示，
树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能性，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的可能性有2种，
∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
17．（6分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．
（1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数；
（2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求AC的长．
【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得∠BAC＝90°，而∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形，则∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°；
（2）连接OA、OC，由切线的性质得∠OAD＝90°，因为AD∥BC，所以∠CAD＝∠ACB＝35°，则∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°，求得∠AOC＝70°，即可由弧长公式求得lAC=7π3．
【解答】解：（1）∵BC经过圆心O，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°，
∴∠D的度数是55°．
（2）连接OA、OC，
∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6，
∴AD⊥OA，OA＝OC＝6，
∴∠OAD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝35°，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°，
∴lAC=70π×6180=7π3，
∴AC的长为7π3．
【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余、平行四边形的性质、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，直线l：y=23x+m与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（6，2）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
【分析】（1）将点A（6，2）代入一次函数和反比例函数解析式求解即可；
（2）根据∠1＝∠2以及反比例函数的图象的对称性可求出点C的坐标，进而利用待定系数法可求出直线l平移后图象对应的表达式，从而求出直线l向上平移的距离．
【解答】解：（1）将点A（6，2）代入一次函数和反比例函数解析式得：23×6+m=2，2=k6，
解得：m＝﹣2，k＝12，
∴一次函数和反比例函数解析式分别为y=23x−2，y=12x；
（2）∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称，
∴点A与点C关于直线y＝x对称，
∵A（6，2）
∴C（2，6），
设直线l平移后的直线对应的表达式为y=23x+n，
将点C（2，6）代入得：23×2+n=6，
解得：n=143，
∵143−(−2)=203，
∴点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为203．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，图形的平移与对称性质，准确运用函数的性质和相关知识是解题的关键．
19．（8分）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°．
（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①∠CMN的最小值为 0 度，最大值为 39 度；
②△CMN面积的变化情况是 C ．
A．越来越大
B．越来越小
C．先增又后减小
（2）当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积．
【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；
②由题意可得：MN＝60 米，BM＝CN，如图：过N作NG⊥BC延长线于G，设BM＝CN＝x，则MC＝BC﹣BM＝60﹣x，CG=22CN=22x，进而得到△CMN与x的函数关系式，然后根据函数关系式即可解答；
（2）当∠CMN＝30°时，NG=12MN＝30，由勾股定理可得MG＝303，再根据等腰直角三角形的性质可得CG＝NG＝30，则MC＝303−30，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时∠CMN有最小值0°，
当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM＝6°，则此时∠CMN有最大值，
∵∠CNM＝6°，∠BCD＝135°，
∴∠CMN＝180°﹣6°﹣135°＝39°，即∠CMN有最大值为39°，
故答案为：0，39；
②由题意可得：MN＝60 米，BM＝CN，如图：过N作NG⊥BC延长线于G，
设BM＝CN＝x，则MC＝BC﹣BM＝60﹣x，
∵∠NCG＝180°﹣∠BCD＝45°，
∴CG=22CN=22x，
∴S△CMN=12MC•NG=12（60﹣x）•22x=−24（x﹣30）2+2252，
∴当x＝30时，S△CMN取最大值2252；当x＜30时，S△CMN随x的增大而增大；当x＞30时，随x的增大而减小；
∴△CMN面积的变化情况是：先增大后减小，
故答案为：C．
（2）如上图，当∠CMN＝30°时，NG=12MN＝30，
∴MG=MN2−NG2=303，
∵∠NCG＝45°，
∴CG＝NG＝30，
∴MC＝MG﹣CG＝303−30，
∴S△CMN=12CM•NG=12×（303−30）×30＝（4503−450）cm2．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质、二次函数的应用等知识点，正确求得△CMN的函数解析式成为解题的关键．
20．（8分）某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量糟醅量×100%）如表：
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
【分析】（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，根据第一次及第二次实验蒸馏出粮食酒和芋头酒的总质量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要准备m公斤大米，根据在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，
根据题意得：30%x+20%y=1630%×2x+20%×3y=36，
解得：x=40y=20．
答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅；
（2）设需要准备m公斤大米，
根据题意得：（m÷14）×30%×80%＝（40+40×2）×30%，
解得：m＝37.5．
答：需要准备37.5公斤大米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）．
数据处理
根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
甜度、整体口感评分统计表
数据应用
（1）在如表中，m＝ 2.4 ，n＝ 5 ．
请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎．
（2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数．
（3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响．
（4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3：7，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案．
【分析】（1）根据图1求方案A整体口感的平均数可得得到m的值；根据方案C整体口感的得分以及中位数的定义解答即可，再根据平均数和中位数即可确定最受欢迎方案；
（2）由图一可知最喜欢方案C的嘉宾有3人，然后运用样本估计整体即可解答；
（3）根据表1补全图2，再根据图2进行分析即可解答；
（4）分别求得三种方案的加权平均数，然后比较判断即可．
【解答】解：（1）方案A整体口感的平均数为：2+1+1+3+1+2+2+3+1+810=2.4，即m＝2.4．
方案C整体口感得分从小到大排列为：2，2，3，3，5，5，5，8，8，9，则中位数为5+52=5，即n＝5．
由表1可知：方案B的平均数和中位数都最大，方案B最受欢迎．
故答案为：2.4，5．
（2）由图1可知：最喜欢方案C的有3人，则300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为300×310=90人．
答：估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为90人．
（3）补全图2如下：
甜度、整体口感评分平均数复合统计图
由图2可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低．
（4）方案A综合得分为：2.1×0.3+2.4×0.7＝2.31；
方案B综合得分为：6.5×0.3+7.1×0.7＝6.92；
方案C综合得分为：8.5×0.3+5×0.7＝6.05；
由6.92＞6.5，则推断该店将会推出方案B．
【点评】本题主要考查了折线统计图、条形统计图、平均数、中位数、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
22．（9分）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论：
①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是(12，0)；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ③ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
探究2
（3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点（m，m），计算即可判断；
（2）根据“不动点函数”的定义，代入点（m，m），计算即可得解；
（3）先求得顶点坐标为（b，c﹣b2），根据“不动点函数”的定义，即可得到b＝c﹣b2；
（4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72，令x＝﹣x2+18x﹣72解方程即可求解．
【解答】解：（1）①对于y＝x+2，
由于m≠m+2，
所以y＝x+2不是“不动点函数”，原说法错误；
②对于y＝﹣3x+2，代入点（m，m），
得m＝﹣3m+2，
解得m=12，
所以y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是(12，12)，原说法错误；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．
故答案为：③；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，
∴代入点（m，m），
得m＝mk+b，
整理得（1﹣k）m＝b，
当1﹣k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数；
当1﹣k＝0即k＝1时，b＝0；
（3）由抛物线y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2+c﹣b2得，
顶点坐标为（b，c﹣b2），
∵抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴b＝c﹣b2；
（4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72，
∴令x＝﹣x2+18x﹣72，
整理得x2﹣17x+72＝0，
解得x1＝8，x2＝9，
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 45° ，k的值为 2 ；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BFOE的值；
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想BFOE的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）．
【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可；
（2）由题意得△AEF∽△AOB，推出∠EAB＝∠EAO，AFAE=ABAO，再得到△AFB∽△AEO，推出BFOE=ABAO，根据正方形的性质求解即可；
（3）同理可证△AFB∽△AEO，得到BFOE=ABAO，根据线段垂直平分线的性质求得AB＝2BG，再根据余弦函数的定义求解即可；
（4）同理可证，∠BAO=β2，BFOE=ABOA=2csβ2，根据BE＝OE+OB，求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAB＝∠DAC＝45°，AD=2OA，
∴旋转角为45°，k=ADOA=2，
故答案为：45°，2；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF＝∠OAB，AFAB=AEAO，
∴∠FAB＝∠EAO，AFAE=ABAO，
∴△AFB∽△AEO，
∴BFOE=ABAO，
∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴ABAO=2，
∴BFOE=ABAO=2，
（3）BFOE的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∴BFOE=ABAO，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO＝BO，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB＝2BG，cs∠ABO=BGOB=BGOA=cs30°=32，
∴ABOA=3，
∴BFOE=ABAO=3，
∴BFOE的值与α无关；
（3）同理可证，∠BAO=β2，BFOE=ABOA=2csβ2，
∴BF＝OE⋅2csβ2，BA=OB⋅2csβ2，
∵BE＝OE+OB，
∴BF+BA=OE⋅2csβ2+OB⋅2csβ2
=2(OE+OB)csβ2=2BEcsβ2，
即BF+BA=2BEcsβ2．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
晶体
固态氢
固态氧
固态氮
固态酒精
熔点（单位：℃）
﹣259
﹣218
﹣210
﹣117
类别
原材料
出酒率
粮食酒
粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）
30%
芋头酒
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）
20%
评项目方案
甜度
整体口感
平均数
中位数
平均数
中位数
A
2.1
2
m
2
B
6.5
5
7.1
7.5
C
8.5
8
5
n
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
A
D
C
A
晶体
固态氢
固态氧
固态氮
固态酒精
熔点（单位：℃）
﹣259
﹣218
﹣210
﹣117
类别
原材料
出酒率
粮食酒
粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）
30%
芋头酒
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）
20%
评项目方案
甜度
整体口感
平均数
中位数
平均数
中位数
A
2.1
2
m
2
B
6.5
5
7.1
7.5
C
8.5
8
5
n