2025-2026学年广东省深圳市莲花中学北校区九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市莲花中学北校区九年级上学期第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和非物质文化遗产代表作名录，以下剪纸图案是中心对称图案的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果，则下列式子中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球B．黄球C．红球D．白球
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ）
A．AO=OCB．AC=BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC
5．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．任意两个菱形不一定相似
B．两边对应成比例的两个直角三角形一定相似
C．若线段，点C是线段的黄金分割点且，则
D．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是
7．中国技术世界领先，已知网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒．若设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
8．如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．我们在实数范围内规定一种运算，“※”，规则为，根据这个规则，方程的解是 ．
11．关于x的不等式的解集为 ．
12．如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值 ．
13．如图，矩形中，，点在边上，且，于点，连接，的延长线交于点，交于点，则 ．

三、解答题
14．计算：
15．先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值．
16．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
17．如图，在中，，，．
(1)尺规作图：将沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕，折痕与的交点为；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若折痕与的延长线交于点，
①求的长度；
②求点到直线的距离．
18．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
19．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图①所示，在灯柱上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
(1)如图①，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长，均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度；
(2)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物高为50米，建筑物上有一个广告牌，合计总高度为70米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌的底端M处，观测者沿着直线向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌的顶端E处．则广告牌的高度为多少米．
20．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．

《广东省深圳市莲花中学北校区2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2．C
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【详解】A选项，在不等式x＞y的两边同时减去3，不等式仍然成立，即x－3＞y－3，故该选项正确；
B选项，在不等式x＞y的两边同时加上a，不等式仍然成立，即x＋a＞y＋a，故该选项正确；
C选项，在不等式x＞y的两边同时乘以－3，不等号反向后，不等式仍然成立，即－3x＜－3y，故该选项错误；
D选项，在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍然成立，即＞，故该选项正确．
所以答案选C．
【点睛】本题的解题关键在于正确运用不等式的运算法则，从已知条件入手，经过运算来判断每个选项的正确性．在解题的时候尤其要注意，当不等式两边同乘以一个负数时，不等号要反向．
3．B
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为，
∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为，
∴该球的颜色最有可能是黄球，
故选：B．
4．B
【详解】分析：根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
详解：添加的条件是AC=BD．理由是：
∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．
故选B．
点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
5．D
【分析】根据配方法解方程即可判断.
【详解】解
∴
故选D.
【点睛】此题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法的运用.
6．D
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，黄金分割比，位似图形，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、任意两个菱形对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，故该选项不符合题意；
B、两边对应成比例的两个直角三角形，运用勾股定理算出第三边，
故三边都成比例的直角三角形一定相似，故该选项不符合题意；
C、若线段，点C是线段的黄金分割点且，
则，即，
解得，故该选项不符合题意；
D、∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，且，
∴点的对应点的坐标为或，即点A的对应点的坐标是或，
故该选项符合题意；
故选：D
7．B
【分析】本题考查了列分式方程，设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，根据“在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，
由题意可得：，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、平移等知识点，确定的坐标是解题的关键．
先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点的坐标，最后利用平移的性质求解即可．
【详解】解∶∵A，的坐标分别为，，
∴，
∵菱形，
∴，
又∵轴，
∴点的坐标为，
∵将菱形平移，使点A与原点重合，
∴菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位，
∴平移后点的对应点的坐标为，即．
故选∶A．
9．
【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是正确理解比例的性质．
根据比例性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴设（），则，
∴，
∴，
故答案为：．
10．，
【分析】利用题中的新定义将所求方程化为普通方程，整理为一般式，将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到所求方程的解．
【详解】根据题中的新定义方程x※(x+2)=3化为x(x+2)=3，
整理为x2+2x−3=0，即(x−1)(x+3)=0，
可得x−1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=−3.
故答案为，.
【点睛】属于新定义问题，考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目，列出方程是解题的关键.
11．/
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．3
【分析】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
根据三角形斜边中线的性质求得，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3．
【详解】解：如图，连接、，
中，，
∴，
∵，点、分别是、的中点，
，
当、、在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：．
故答案为：3．
13．
【分析】证明，，证明得，推出，作于，得出是的中点，即，令，分别求出和的长度，可得出，作于，得是的中点，求出，得，即可得解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
如图，过点作于点，延长交于点，连接，
∴点是的中点，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，即，
∴点是的中点，即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题属于相似形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理等知识点．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式的运算，根据算术平方根定义，零指数幂，负整数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可．
【详解】解：
．
15．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可．
【详解】解：
，
∴，
∴当时，原式．
16．(1)
(2)见解析
(3)这名学生中有人参加了篮球社团
(4)
【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生；
（2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）根据题意，画树状图，然后求概率即可．
【详解】（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：

（3）解：（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)①；②．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换，勾股定理，掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键．
（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于；分别以，为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交的交点为，则即为折痕；
（2）①证明，利用等角对等边，即可求得；
②作于点，交的延长线于点，求得，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：①由作图知，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②作于点，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，且，
∴．
18．（1）；（2）①每天能售出（）千克；②售价应降低5元
【分析】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2018年及2020年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设售价应降低元，则每天可售出（）千克；
②根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，
依题意，得：100(1+y)2=256，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为；
（2）①设售价应降低元，则每天可售出（）千克；
②依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵要尽量减少库存，
∴．
答：售价应降低5元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．(1)榕树的高度为米
(2)广告牌的高度为米
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；
（2）根据求出，再根据求出，进而求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：榕树的高度为米；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴（米），
答：广告牌的高度为米．
20．(1) 详见解析
(2)
(3)和
【分析】（1）①由等边对等角结合三角形内角和定理，得出的度数；②由旋转的性质可推导出；
（2）由，利用计算出，再根据，计算出，最后计算出；
（3）当E落在上，由推导出，得到F在的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到的长度，最后算出；
当E落在上，推导出E在菱形的对角线上，由，推导出E、M、B、N四点共圆，再利用和计算、，最后算出、．
【详解】（1）①由题意可知，，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
②证明：由旋转的性质可知，，
，
．
（2），，
由勾股定理得，，
的锐角顶点D恰好落在的斜边上，
，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，经检验，是方程的解，
，
．
（3）①当E落在上时，如图所示，连接、、，

由M是中点和旋转可知，，
又
，
，
又四边形是菱形
和在同一直线，F在的延长线上，
由（1）①可知（已证）
，
，
菱形中，，，如图所示，
，，，
又，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高
，
；
②当落在上时，如图所示，作交于点

由旋转可知，，
四边形是菱形
，
在对角线的中点上，即在和的交点上
是的中点，是的中点
，
，
由旋转可知，
、、、四点共圆
如下图所示，连接和

，
，
在中，，
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理的性质与应用、四点共圆等知识点，解题的关键是熟知以上定理并能作出相应的图形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
B
B
D
D
B
A