2024-2025学年四川省成都市九年级下学期中考模拟数学试题

这是一份2024-2025学年四川省成都市九年级下学期中考模拟数学试题，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下面四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．B．C．D．
2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．初秋时节，贵州省黔东南苗族侗族自治州锦屏县敦寨镇万亩大坝种植的水稻相继成熟．近年来，敦寨镇大力推进高标准农田建设的同时，引导农户选购优良水稻品种，实施农田精细化管理，促进水稻增产提质．为评估一种水稻的种植效果，选了块地作试验田．这块地的单位面积产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻单位面积产量稳定程度的是（ ）
A．这组数据的平均数B．这组数据的方差
C．这组数据的众数D．这组数据的中位数
5．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．B．C．D．
6．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
8．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象有最低点，其坐标是（1，2）B．图象有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y随x的增大而减小
二、填空题
9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
10．如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是 ．
11．如图，在中，D，E分别为的中点，F是的中点，，若，则的长为 ．

12．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面．
13．如图，在菱形中，，，按下列步骤作图：①连接，以D为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F；②以C为圆心，长为半径画弧，交边于点G；③以G为圆心，长为半径画弧，交②中所作的弧于点H；④连接交于点N，连接交于点M，则的长为 ．
三、解答题
14．计算：
(1)；
(2)解不等式组：．
15．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ．
(2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3)简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
16．在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，．
(1)求入射角的度数；
(2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离．（参考数据：，，）
17．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E，的延长线交于点F．
(1)若，求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
18．已知点、均在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，点P是反比例函数图象上一点，轴于点A，点B是y轴上一点，交射线于点D，点M为线段上一点，连接，点C为的中点，点N为射线上一点，当四边形为菱形且面积为时，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为反比例函数图象上一动点，过Q作轴于点E，连接并延长，交反比例函数图象于点H，过E作，交反比例函数图象于点F，连接，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
四、填空题
19．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
20．如图，在中，，，先以点A为圆心、的长为半径作，再以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和）．
21．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为．
（1）若，则第 次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ．
22．如图，在正方形ABCD中，，点P在正方形内，，交边AD于点F，，交PF延长线于点E，且，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则的度数为 ，PC的长为 ．
23．已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ．
五、解答题
24．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，，．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为抛物线第一象限上一点，交y轴于D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，连接，过点P作，连接EC、AE，点Q为抛物线上一点，交于M，于H交于N，若，，，求的正切值．
26．已知△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=3，△CDE中，∠CDE=90°，CD=DE=5，连接BE，取BE中点F，连接AF、DF．
（1）如图1，若C、B、E三点共线，H为BC中点．
①直接指出AF与DF的关系 ；
②直接指出FH的长度 ；
（2）将图（1）中的△CDE绕C点逆时针旋转a（如图2，0°＜α＜180°），试确定AF与DF的关系，并说明理由；
（3）在（2）中，若AF=，请直接指出点F所经历的路径长．
设备
平均数
中位数
众数
甲
乙
销售单价x/元
…
12
14
16
18
20
…
销售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…
《2025年四川省成都市中考数学模拟试卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查求一个数的绝对值，有理数的大小比较，先求出四个数的绝对值，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
∴在，，，这四个数中，绝对值最小的数是，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键．
根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，
即看到的图形为，
故选：C．
3．C
【分析】根据本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求；
B中，错误，故不符合要求；
C中，正确，故符合要求；
D中，错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方等知识．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了算术平均数、方差、众数及中位数，解题的关键是掌握算术平均数、方差、众数及中位数的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
根据方差的意义求解即可．
【详解】解：给出的统计量中可以用来评估这种水稻单位面积产量稳定程度的是这组数据的方差．
故选B．
5．A
【分析】根据矩形的面积是矩形面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可．
【详解】设一个球的体积为，根据题意，得
，
解得，
一个玻璃球的体积可能是．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∴的度数为，
∵点为的中点，
∴的度数为，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：C．
8．D
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意．
B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知顶点为（1，2），故B不符合题意．
C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意．
D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
9．9
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
即m的值为9．
故答案为：9．
10．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则．
【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且，
∴在每个象限内随增大而增大，
∴，
∴，
故答案为：．
11．6
【分析】首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用首先中位线的性质得到，然后利用求出，进而求解即可．
【详解】∵
∴，
∴
∴
∴
∵D，E分别为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．10
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】解：令，则，
解得：，（舍去），
∴铅球运行水平距离为10米时落到地面．
故答案为：10．
13．1
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°直角三角形的性质等，掌握相关知识点，是解题的关键．
根据尺规作图可知，再根据菱形的性质得出是等边三角形，结合等边三角形的性质得出，再根据含直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据勾股定理求出答案．
【详解】解：根据作图可知，
∵四边形是菱形，
∴，，．
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
14．(1)0
(2)
【分析】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，不等式组的解法，熟练掌握各种计算公式，准确求不等式组的解集是解题的关键．
（1）先去绝对值，把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，化为最简二次根式，再合并即可；
（2）解出每个不等式的解集，再求公共解集即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴不等式组的解集为．
15．(1)、、
(2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用树状图法求解即可．
【详解】（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
16．(1)
(2)光斑移动的距离是．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，
（1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角，即可求解；
（2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，即可求解．
理解“折射率”的定义，掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，设法线为，则，
，
，，
，
，
入射角约为，
．
（2）解：，，，
∴，
，
作，
，
设，，
则，
，
解得：，
，又，
，
答：光斑移动的距离是．
17．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形或相似三角形．
（1）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求出即可；
（2）先证明；再在中，，在中，，可得，从而可得结论；
（3）过点B作，交延长线于点M，首先证明，得到，进一步推导出，进而得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，且是的直径，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
在中，，
∴，
∴；
（3）证明：如图，过点B作，交延长线于点M，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）把、代入解析式解题即可；
（2）连接，则有，根据，令，则解题即可；
（3）过点F作轴于点G，与x轴交于点T，设点，点F坐标为，则，根据可以得到，根据解题即可．
【详解】（1）解：∵、均在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴反比例函数表达式为；
（2）如图，连接，
∵为菱形，
∴，
∵，点C为的中点，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
∵，
∴，
又∵，
∴(舍)，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
又∵点P是反比例函数图象上一点，
∴点P的坐标为．
（3）过点F作轴于点G，与x轴交于点T，
设点，点F坐标为，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵,
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵a，b异号，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，为定值．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的图像上点的特点，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
20．
【分析】根据题意，首先求出，然后求出，如图所示，过点A作，利用勾股定理求出，从而由三角形面积公式、扇形面积公式及圆面积公式求出相应图形面积，间接表示阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴
如图所示，过点A作
∴
∴
∴
；；
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查不规则图形面积，涉及勾股定理、三线合一、扇形面积公式、圆的面积公式等知识，熟练掌握不规则图形面积的求法是解决问题关键．
21． 3
【分析】本题考查的是推理与论证，根据题意找出数字变化规律是解答此题的关键．
（1）按照游戏规则，按照顺序操作得出结果即可；
（2）利用同（1）的方法找出数字变化规律，进一步解决问题．
【详解】解：（1）∵，
∴第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为，
所以经过3次操作后游戏结束；
（2）因为，
所以，
，
，
，
，
，
，
，
……，
由此看出从开始3个一循环，
∵，
所以与相同，也就是．
故答案为：3；
22． 45°
【分析】过C作CG⊥ED于G，即可得到正方形PCGE，可得,进而得到E、F、P、B四点在一条直线上，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，易证，即可得到AE平分，即，再利用五边形AEDCP的面积为24列方程求出PC的长即可．
【详解】过C作CG⊥ED于G，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，连结PB
∵，，，CG⊥ED
∴四边形PCGE是正方形
∴,
∵正方形ABCD
∴,
∴
∴(SAS)
∴
∴
∴E、F、P、B四点在一条直线上，
∴
∵AM⊥DE于M，AN⊥PE
∴四边形AMEN是矩形
∴(AAS)
∴
∴矩形AMEN是正方形，AE平分分，
∴，
设，
∵
∴（AAS）
∴
∵
∴
∴
即
【点睛】本题综合考查正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、角平分线的判定通过手拉手模型构造正方形证明E、F、P、B四点在一条直线上是解题的关键．
23．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等．灵活运用这些知识是关键．当时，易得，则可求得b的值；再由，由判别式非负即可求得a的值，从而求得c的值，最后求得函数解析式．
【详解】解：当时，，即；
；
当时，，即，则有；
即，
解得：，则；
，
由于对一切x的值有成立，即，
则，
即，
而，
，
解得：，
则，
；
故答案为：．
24．(1)
(2)该商品日销售额不能达到1000，理由见详解
【分析】本题主要考查了一次函数的解析式，二次函数解决实际问题等知识点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数的解析式分析最值．
（1）利用待定系数法即可求出一次函数的函数解析式；
（2）根据题目要求列出二次函数解析式，整理出二次函数的顶点式解析式，分析二次函数的图象和顶点，得出最值可得结果．
【详解】（1）解：设，
将，代入得，
解得：
；
（2）解：不能．理由如下：
设日销售额为元．
则可得
，
函数开口向下，有最高点，当时，取最大值为
所以，该商品日销售额不能达到1000．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据解析式得出，根据题意得出，根据，得出，进而用待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点P作轴于H，根据，得出，根据已知列出比例式，即可求解；
（3）根据，证明，进而结合（2）的结论，求得P，D的坐标，解，得出，根据角平分线的性质以及全等三角形得出是等腰直角三角形，进而根据一线三等角模型求得点E的坐标，进而求得的解析式，根据，得出，进而证明N为的中点，求得点N的坐标，构造全等三角形进而求得S点的坐标，进而求得的解析式，联立抛物线解析式得出Q点的坐标，联立和，求得M的坐标，进而可得轴，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线交x轴于A、B两点，，．
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把点A，点B的坐标代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由题意知，过点P作轴于H，如图2，
∵，
∴，
设点P的纵坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∴d与t的函数关系式为．
（3）解：如图3，过点P作轴交y轴于点R，则，设，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
解得：，，
当时，，
∴，
由（2）可得点P的横坐标为t，线段的长为d，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点D作于点F，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴平分，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为G，H，则，
∵，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
过点P作轴，过点E作轴交y轴于点L，过点C作轴交TJ于点T，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线EC的解析式为，把点E，点C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵已知，
设，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
设交y轴于点S，连接，
∴，
作N关于的对称点S，则S在上，则，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴PN＝EN，即N是PE的中点，
∵，，
∴，
过点N作于点K，
∴，
又∵，
设，则，
在和中，
，
∴，
∴，则S点在y轴上，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把点P，点S的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴，
联立得：，
解得：，
∴，
又∵，
∴轴，
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要运用待定系数法求抛物线解析式、利用三角函数关系求线段长度，通过全等三角形和角度关系求解点的坐标，进而确定直线解析式，涉及二次函数的图象性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点．
26．（1）①AF=DF，且AF⊥DF；②；（2）结论：AF=DF，且AF⊥DF（3）当旋转30°或150°时，AF=，点F经历的路径长为或
【分析】(1)①AF=DF，且AF⊥DF，如图1，过F作MN∥CD，交DE于M，交CA的延长线于N，根据已知条件易证四边形FMCN为矩形，再证△FNA≌△FMD，即可得DF=AF，∠AFN=∠FDM，再由∠FDM+∠MFD=90°，可得∠MFD+∠AFN=90°，即∠DFA=90°，所以DF⊥AF； ②因H是BC的中点，可得BH=BC，由FH=BF+BH即可解答；(2) AF=DF，且AF⊥DF，延长AF至S使FS=AF，连接DS、SE，延长SE交AC于T，先证△ABF≌△SEF，再证△SED≌△ACD，即可证得结论;(3) 分旋转30°或150°两种情况求点F所经历的路径长.
【详解】（1）①AF=DF，且AF⊥DF，
理由是：如图1，过F作MN∥CD，交DE于M，交CA的延长线于N，

∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=3，
∴BC=3，
同理EC=5，
∵C、B、E三点共线，
∴EB=5﹣3=2，
∵F是BE的中点，
∴EF=BE=，
∵∠E=45°，
∴EM=FM=1，
∴DM=5﹣1=4，
∵∠ECD+∠ACB=45°+45°=90°
∴∠EDC=∠ACD=∠MNC=90°，
∴四边形MDCN是矩形，
∴CN=DM=4，MN=DC=5，
∴FN=DM=4，FM=AN=1，
∵∠DMF=∠FNA=90°，
∴△FNA≌△DMF，
∴DF=AF，∠AFN=∠FDM，
∵∠FDM+∠MFD=90°，
∴∠MFD+∠AFN=90°，
∴∠DFA=90°，
∴DF⊥AF；
②∵H是BC的中点，

∴BH=BC=，
∴FH=BF+BH=+=；
故答案为①AF=DF，且AF⊥DF；②；
（2）结论：AF=DF，且AF⊥DF，
理由如下：
延长AF至S使FS=AF，连接DS、SE，延长SE交AC于T，

∵∠AFB=∠EFS，BF=EF，
∴△ABF≌△SEF，
∴AB=SE=AC，∠FAB=∠FSE，
∴∠STC=∠BAC=90°，
∴∠EDC+∠STC=180°，
∴∠TED+∠TCD=180°，
∵∠TED+∠SED=180°，
∴∠SED=∠ACD,
∵ED=CD，
∴△SED≌△ACD，
∴AD=SD，∠ADC=∠SDE，
∴∠ADS=90°，
∴AF=DF，且AF⊥DF；
（3）∵F是BE的中点，H是BC的中点，
∴FH是△BEC的中位线，
∴FH=EC=，
∵在旋转过程中，CE是定值，则FH也是定值，
∴点F的运动路径是以H为中点，以FH为半径的圆，
如图4，过D作DM⊥AC，交AC的延长线于M，

由（2）知：△AFD是等腰直角三角形，
∵AF=，
∴AD=×=7，
设CM=x，DM=y，
则，
解得：x=，
∴CM=，
∵CD=5，
∴∠CDM=30°，
∴∠DCM=60°，
∵∠ACB+∠DCE+∠BCE+∠DCM=180°，
∴∠BCE=30°，即α=30°，
此时，点F所经历的路径长==．
如图5，过D作DM⊥AC，交AC的延长线于M，

同理得：∠DCM=60°，
∵∠ECD=45°，
∴∠ECM=60°﹣45°=15°，
∴α=∠BCE=180°﹣45°+15°=150°，
此时，点F所经历的路径长==．
综上所述，当旋转30°或150°时，AF=，点F经历的路径长为或．
【点睛】本题是三角形和四边形的综合题，正确作出辅助线是解题的关键也是难点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
C
B
A
C
C
D