江西省赣州市2024^2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（附答案）

这是一份江西省赣州市2024^2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（附答案），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．方程表示的曲线是
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
4．如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ）

A．B．C．D．
5．已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A．2B．C．D．
10．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
11．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线（）上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线上某点处的曲率半径起大，则曲线在该点处的弯曲程度越小
B．若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距）则该椭圆离心率为
C．椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为
D．若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在空间直角坐标系中，点，，点在平面内，且，请写出一个满足条件的点的坐标： ．
13．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 .
14．已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线：和圆.
(1)求与直线垂直且经过圆心的直线方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程.
16．如图，在五面体中，底面为正方形，.

(1)求证：；
(2)若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
17．已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点到其中一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的上焦点的直线交双曲线的上支于、两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆.
(2)在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线.
（i）求曲线的方程；
（ii）已知，过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为证明：线段PQ的中点为定点.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由斜率公式可得，
故经过，两点的直线的倾斜角为60°.
故选：B.
2．【正确答案】C
【详解】因为向量，，且，
所以，即，
可得，解得，
所以.
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】由题意可化为或），
在的右方，
）不成立，，
方程表示的曲线是一条直线.
故本题正确答案为
4．【正确答案】C
【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量.
【详解】∵平面,，
∴,,
故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.

则，
则，
∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为.
故选C.
5．【正确答案】B
【分析】由题意知，A在圆O 上，PA中点也在圆上，根据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为，然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.
【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为，
则有：，
解得：，
又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以，
解得：，
解得：，
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】由已知，二面角等于，即，
所以，，
所以，
，
因此，.
故选：C.
7．【正确答案】D
【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【详解】平面，，连接，由，可得，
四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系，
则，设，，
则，
所以
因为，则，则，
所以.
故选：D
8．【正确答案】D
【分析】求出的值，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出的值，即可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】在圆锥中，，，易知，
由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则，
所以，，则，
圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
因为是母线上一点，，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，且，
所以，，
所以，，
故该圆锥曲线的离心率为.
故选：D.
9．【正确答案】AD
【详解】因为三条直线，，能构成三角形，
所以直线与，都不平行，
且直线不过与的交点，
直线与，都不平行时，，且，
联立，解得，
即直线与的交点坐标为，
代入直线中，得，故可知，
结合选项可知实数m的取值可以为2或，
故选：AD
10．【正确答案】ABD
【分析】
求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，
【详解】
圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，曲线上某点处的曲率半径变大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，
因为，所以，，
若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为，可得，
解得，故B正确；
对于C，由选项B可知，，所以，
所以椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为，故C错误；
对于D，若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，由选项B可得，所以，解得，
则椭圆方程为，故D正确.
故选ABD.
12．【正确答案】（本题答案不唯一，符合，即可）
【分析】设，根据两点间距离公式得到方程，得到答案.
【详解】设，由，得
，
化简得．
故（本题答案不唯一，符合，即可）.
13．【正确答案】3
【详解】由题，抛物线焦点为F0,1，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C.
过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为.
由抛物线定义知，又，则.
当且仅当三点共线时，最短时，
而为F到直线距离，
所以.
所以点M到与的距离之和的最小值为3.
故3.
14．【正确答案】
【分析】，则，可看成点到两定点，的距离和，而两点在轴的两侧，所以连线与轴的交点就是所求点.
【详解】的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
设，则，
所以，
取，
则，
当三点共线时取等号，
此时直线：
令，则，，
故

关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查平面两点间距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点到两定点，的距离和的最小值，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设与直线垂直的直线为
圆可化为，圆心为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为.
（2）设与直线平行的直线为.
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以，或5，
故所求直线方程为或.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：底面为正方形,则，又平面，平面，
则平面，又平面平面，平面，故.
（2）选①，取中点G,连接，因为，所以，
易知为梯形的中位线，则，
又平面，故平面，平面，
则平面，且必相交，故平面，
延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.
以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：
则，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设直线与平面所成角为.

选②：取中点G, 连接，易知为梯形的中位线，，
则，由题，，则，故
又平面，故平面，
延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.
以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：
则，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设直线与平面所成角为.

17．【正确答案】(1)
(2)轴上存在点，使恒成立
【分析】（1）设出双曲线方程后，由焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，再由离心率为可求出，从而可求出双曲线方程；
（2）由题意设直线的方程为，设点，，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，由题意得，设，则结合斜率公式化简可求得结果.
【详解】（1）由题意设双曲线方程为，焦点，渐近线方程为，
因为焦点到其中一条渐近线的距离为，
所以，
又，故，
所以双曲线的标准方程为．
（2）根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，，
由，得恒成立，
设点，，
由根与系数的关系得，，．
设点，若，则，
即
，
得，因为，所以得，
则点的坐标为．
综上，轴上存在点，使恒成立．
关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定点问题，解题的关键是将转化为，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则，
由题意可知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为，分别为，中点，则，可得，
且，，平面，所以平面.
（2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，
由平面，平面，可得，，
又因为为等边三角形，为中点，所以，
则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
（3）因为，
设，，则，
可得，，，即，
可得，
由（2）知：平面的一个法向量
设平面的法向量，则，
令，则，，可得；
则，
令，则，
可得，
因为，则，可得，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为
19．【正确答案】(1)：
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由椭圆，即，
由定义知，使得圆变换为椭圆，
则，
即伸缩变换：；
（2）（i）设椭圆上任意一点Mx,y经过伸缩变换，得到对应点.
将，代入，
得，化简得.
曲线的方程为.
（ii）
证明：由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，解得，
可得，
因为A−2,0，则直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点0,3.