2026长沙雅礼中学高三上学期月考试卷（二）数学试题含解析

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命题人：张新民 审题人：张鎏
得分：__________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，,则（ ）
A. B. C. D.
2. “且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ）
A 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
8. 设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确是（ ）
A. 回归直线可以不经过样本中心
B. 可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
10. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D.
11. 已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在负数满足条件B. 的值可以取
C. 的值可以取D. 的值关于单调递减
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有__________种．
13. 已知双曲线上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图像关于中心对称，且图像上相邻两个对称轴的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，，且，若，求的值．
16. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
17. 在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
（1）若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2）若，，求直线与平面所成角的最大值.
18. 已知函数．
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若，证明：当时，在区间上恒成立．
19. 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
（1）写出的所有可能情况，并求；
（2）证明：等比数列，并求；
（3）设抛掷n次硬币后的期望为，求．