数学-山西大学附中2025-2026学年高三上学期9月（总第三次）试题及答案

这是一份数学-山西大学附中2025-2026学年高三上学期9月（总第三次）试题及答案，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若全集，，，则下列关系正确的是
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则
A．B．C．7D．3
3．已知随机变量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为
A．B．C．D．
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，则
6. 模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间关系时，得到的模型是，其中是时刻的细菌数量，为自然对数的底数．若时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则约为
A．5B．4C．3D．2
7．在中，若，则的最小值为
A．B．C．D．
8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．给出下列说法，其中错误的是
A．某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4
B．已知数据，，的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13
C．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好
D．设是随机变量，若，则
10．已知，．若随机事件，相互独立，则
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则
A．的图象关于点对称 B．
C． D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．的展开式中的常数项为 ．公众号：高一高二高三试卷
13．椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ．
14．已知△中内角，，满足，若在边，，上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）如图，五面体中，四边形是正方形．
(1)求证：；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小．
16．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
17.（本小题满分15分）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
18．（本小题满分17分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．
（1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量，求的数学期望；
（2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
19．（本小题满分17分）已知函数的导函数为．
（1）当时，求的图象在，处的切线方程；
（2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围．
山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次）解析版
12.15 13. 14.
8.解：根据题意可得对于函数，
当时，即时，△，此时满足恒成立，
因此，只需恒成立即可，因此恒成立；
又易知，所以可得，因此可得；
当时，即或时，此时△，
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，显然不合题意；
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，
不妨取，可得，显然不合题意；
综上可知，实数的取值范围是．
故选：．
11.解：对于，由题意知，，
则，，图象的对称中心为，故正确；
对于，，，
两式相减得，令，得（4），故正确；
对于，由选项可得，的周期为4，又，
故，令得，（2），
得（2），故错误；
对于，（2），又（2），故，又，
在中，令得，，又由，
，令得，，，
又的周期为4，
则
，
，故正确．故选：．
14.解：因为，
所以由正弦定理可得：，
又因为，代入上式得：，
整理可得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
由于，所以，
因为，所以，又此时，所以△为等边三角形，则；
如图，在△中，由余弦定理得：，
所以，所以，从而，
设，则，，，
在△中，由正弦定理得，则，
在△中，由正弦定理得，
则，
所以，
其中，所以的最大值为，当时取得最大值，
所以．
故答案为： ．
15．解：（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以；
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，所以，所以，
故以为原点建立空间直角坐标系如图，
则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，
所以，1，，，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，
取，得平面的一个法向量，1，，
设直线与平面的夹角为，则，
因为，，所以，故直线与平面所成角为．
【点评】本题主要考查线面平行的判定与性质，直线与平面所成角，属于中档题．
16．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，则
，解得，
所以；
（2）因为，，所以，
①，
②，
①-②得，
所以.
17．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
解：（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，
右焦点为，离心率为，
可得，解得，，
所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．
（2）由（1）知，，．
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，，由，消去，得，
显然，，则，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值．
18．（本小题满分17分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．
（1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量，求的数学期望；
（2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
解：（1）易知的所有取值为1，2，
此时，，
则；
（2）设第轮比赛中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，
由（1）知，，
当时，，
整理得，
又，所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，此时，
整理得，则，
即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为．
19．已知函数的导函数为．
（1）当时，求的图象在，处的切线方程；
（2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，则，
因此，则，
因此的图象在点，处的切线方程为，即．
（2）由题知，，
因为有三个不同的零点，
因此方程有三个不等实根，
化简可得方程有三个不等实根，
即可看成直线与曲线有三个不同的交点，
，
因此当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
因此作出函数的图象如图1所示，
因此数形结合可知，即实数的取值范围为．
（3）由题知，，其定义域为，
则，
令，得或，
设，则，
当时，，因此单调递增；
当时，，因此单调递减，
又当时，；当时，，且，
因此的大致图象如图2所示，
因为在定义域内有三个不同的极值点，，，
因此与有两个不同的交点，因此，
不妨设，则，
因此，因此
因此
，
令，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，
因此，
又，
因此（a），因此（a）在上单调递增，
因为，
因此当时，恒成立，
即当时，恒成立，
因此实数的取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
A
B
B
C
ABD
BCD
题号
11









答案
ABD