北师大版（2024）八年级上册实数课后练习题

这是一份北师大版（2024）八年级上册实数课后练习题，共12页。试卷主要包含了下列各式是最简二次根式的是，下面选项所给数中是无理数的是，下列计算中正确的是，2的平方根是，下列说法正确的是，计算−12−3结果为，如表是一个按某种规律排列的数阵等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．13B．12C．a2D．53
2．下面选项所给数中是无理数的是（ ）
A．πB．2025C．227D．﹣2
3．下列计算中正确的是（ ）
A．3+2=5B．(−3)2=−3
C．24÷6=4D．8−2=2
4．2的平方根是（ ）
A．2B．±4C．2D．±2
5．下列说法正确的是（ ）
A．1的算术平方根是±1B．﹣4没有立方根
C．116的平方根是14D．﹣5的立方根是3−5
6．若2a−4+(b+1)2=0，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．计算−12−3结果为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
8．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A．−5B．1−5C．−1+5D．−1−5
9．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简a2+|a−b|−b2得（ ）
A．0B．﹣2aC．2aD．﹣2b
10．如表是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示实数3，则（8，5）表示的实数是（ ）
A．31B．33C．34D．42
二．填空题（共6小题）
11．通过估算，比较大小：5−12 12．
12．若一个正数a的两个平方根分别是2x+6 和x﹣18，那么a等于 ．
13．±25= ．
14．（1）−12527的立方根是 ；（2）16的平方根是 ；（3）(3−π)2= ．
15．若3m−4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 ．
16．已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，p=12(a+b+c)．则：
S=p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式）；S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]（秦九韶公式）．
计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ．
三．解答题（共9小题）
17．计算．
（1）23−512+48； （2）(1+5)(5−2)．
18．计算：
（1）8+313−12+32； （2）(1+3)2−2(6−8)．
19．已知x﹣4的算术平方根是4，3﹣y的立方根是﹣2，求x+4y的平方根．
20．观察下列等式：
第1个等式：2−74=12，第2个等式：2−149=23，第3个等式：2−2316=34，…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
21．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和3的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）x的值为 ；
（2）求x（x+2）的值，并写出x（x+2）的平方根．
22．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）在图中画出△ABC，使得AB=22，BC=13，AC=17；并说明△ABC是不是直角三角形？
（2）求点C到直线AB的距离．
23．已知a的平方等于225，b的立方等于27，c的算术平方根为8．
（1）求a、b、c的值；
（2）求4b+c+5的平方根；
（3）若2a+bx＝60，求x的值．
24．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−11=2−1．
例2：13+2=3−2，14+3=4−3，15+4=5−4
利用以上结论解答以下问题：
（1）16+5=
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99
（3）拓展提高，求下列式子的值．11+3+13+5+15+7+⋯+12023+2025．
25．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：7+43该如何化简？
建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样(a)2+(b)2=m，a⋅b=n．
那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b(a＞b)，
问题解决：化简：7+43，
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12．
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）13+410；
（2）小张同学在化简5−26时，解决这个问题的过程如下．
5−26=2−22×3÷3①
=(2)2−22×3÷(3)2②
=(22−3)2③
=2−3④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=4−3，AC=3，那么BC边的长为 （结果化成最简）．
第二章实数单元练习
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．13B．12C．a2D．53
【解答】解：A、13是最简二次根式；
B、12=4×3=23，不是最简二次根式；
C、a2=|a|，不是最简二次根式；
D、53，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：A．
2．下面选项所给数中是无理数的是（ ）
A．πB．2025C．227D．﹣2
【解答】解：A、π是无理数，故此选项符合题意；
B、2025是有理数，故此选项不符合题意；
C、227是有理数，故此选项不符合题意；
D、﹣2是有理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．下列计算中正确的是（ ）
A．3+2=5B．(−3)2=−3
C．24÷6=4D．8−2=2
【解答】解：A、3+2无法计算，故此选项不合题意；
B、(−3)2=3，故此选项不合题意；
C、24÷6=2，故此选项不合题意；
D、8−2=2，正确．
故选：D．
4．2的平方根是（ ）
A．2B．±4C．2D．±2
【解答】解：∵（±2）2＝2，
∴2的平方根是±2，
故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．1的算术平方根是±1B．﹣4没有立方根
C．116的平方根是14D．﹣5的立方根是3−5
【解答】解：A.1的算术平方根为1=1，因此选项A不符合题意；
B．负数也有立方根，﹣4有立方根，即3−4，因此选项B不符合题意；
C116．的平方根为±116=±14，因此选项C不符合题意；
D．﹣5的立方根为3−5，因此选项D符合题意．
故选：D．
6．若2a−4+(b+1)2=0，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：由题意得，
2a﹣4＝0，b+1＝0，
解得a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝2×（﹣1）＝﹣2，
故选：A．
7．计算−12−3结果为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【解答】解：−12−3=4=2．
故选：A．
8．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A．−5B．1−5C．−1+5D．−1−5
【解答】解：1−12+(3−1)2=1−5，
故选：B．
9．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简a2+|a−b|−b2得（ ）
A．0B．﹣2aC．2aD．﹣2b
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∴a2+|a−b|−b2
＝|a|+|a﹣b|﹣|b|
＝﹣a﹣（a﹣b）﹣b
＝﹣a﹣a+b﹣b
＝﹣2a．
故选：B．
10．如表是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示实数3，则（8，5）表示的实数是（ ）
A．31B．33C．34D．42
【解答】解：由表格可知第八行第1个数为1+2+3+4+5+6+7+1=29，
∴第八行第5个数为29+4=33，
∴（8，5）表示的实数是33．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．通过估算，比较大小：5−12 12．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴1＜5−1＜2，
∴12＜5−12＜1，
故答案为：＞．
12．若一个正数a的两个平方根分别是2x+6 和x﹣18，那么a等于 196 ．
【解答】解：由平方根的定义得，2x+6+x﹣18＝0，
解得x＝4，
∴2x+6＝14，x﹣18＝﹣14，
∴这个正数a为（±14）2＝196．
故答案为：196．
13．±25= ±5 ．
【解答】解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±25=±5．
故答案为：±5．
14．（1）−12527的立方根是 −53 ；
（2）16的平方根是 ±2 ；
（3）(3−π)2= π﹣3 ．
【解答】解：（1）−12527的立方根是3−12527=−53；
（2）16=4的平方根是±4=±2；
（3）(3−π)2=π﹣3．
故答案为：（1）−53；（2）±2；（3）π﹣3．
15．若3m−4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 2 ．
【解答】解：由题意得3m﹣4≥0，
解得m≥43，
∵m为整数，
∴当m＝2时，3m−4=2是最简二次根式；
故答案为：2．
16．已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，p=12(a+b+c)．则：
S=p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式）；
S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]（秦九韶公式）．
计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 66 ．
【解答】解：∵S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，
∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，
则面积是：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]=1252×62−(52+62−722)2=12900−36=66，
故答案为：66．
三．解答题（共9小题）
17．计算．
（1）23−512+48；
（2）(1+5)(5−2)．
【解答】解：（1）原式＝23−103+43
＝﹣43；
（2）原式=5−2+5﹣25
＝3−5．
18．计算：
（1）8+313−12+32；
（2）(1+3)2−2(6−8)．
【解答】解：（1）原式=22+3−22+32
=322+332；
（2）原式=4+23−23+4
＝8．
19．已知x﹣4的算术平方根是4，3﹣y的立方根是﹣2，求x+4y的平方根．
【解答】解：∵x﹣4的算术平方根是4，3﹣y的立方根是﹣2，
∴x﹣4＝16，3﹣y＝﹣8，
解得：x＝20，y＝11，
则x+4y＝20+44＝64，其平方根为±8．
20．观察下列等式：
第1个等式：2−74=12，
第2个等式：2−149=23，
第3个等式：2−2316=34，
…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
【解答】解：（1）解：第1个等式：2−74=12；
第2个等式：2−149=23；
第3个等式：2−2316=34；
第4个等式为 2−(4+1)2+2×4+1(4+1)2=45，即 2−3425=45；
（2）由规律可得：第n个等式为 2−n2+4n+2(n+1)2=nn+1．
证明：∵左边 2−n2+4n+2(n+1)2=2(n+1)2−n2−4n−2(n+1)2=n2(n+1)2=nn+1，
∴左边＝右边，
∴等式成立．
21．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和3的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）x的值为 3−1 ；
（2）求x（x+2）的值，并写出x（x+2）的平方根．
【解答】解：（1）∵点A．B分别表示1，3，
∴AB=3−1，即x=3−1；
故答案为：3−1；
（2）∵x=3−1，
∴x（x+2）
＝（3−1）（3−1+2）
＝（3−1）（3+1）
＝3﹣1
＝2，
∵2的平方根是±2，
∴x（x+2）的平方根为±2．
22．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）在图中画出△ABC，使得AB=22，BC=13，AC=17；并说明△ABC是不是直角三角形？
（2）求点C到直线AB的距离．
【解答】解：（1）如图所示：
∵（22）2+（13）2≠（17）2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）△ABC的面积为：
4×3−12×2×2−12×3×2−12×4×1
＝12﹣2﹣1.5﹣2
＝6.5，
则点C到直线AB的距离为6.5×2÷22=1324．
23．已知a的平方等于225，b的立方等于27，c的算术平方根为8．
（1）求a、b、c的值；
（2）求4b+c+5的平方根；
（3）若2a+bx＝60，求x的值．
【解答】（1）解：∵a的平方等于225，b的立方等于27，c的算术平方根为8，
∴a2＝225，b3＝27，c=8，
∴a＝±15，b=327=3，c＝82＝64；
（2）解：∵4b+c+5＝4×3+64+5＝81，
∴4b+c+5的平方根为±81=±9；
（3）解：由（1）可知，a＝±15，
当a＝15时，2×15+3x＝60，x＝10；
当a＝﹣15时，2×（﹣15）+3x＝60，x＝30；
综上可知，x＝10或x＝30．
24．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−11=2−1．
例2：13+2=3−2，14+3=4−3，15+4=5−4
利用以上结论解答以下问题：
（1）16+5= 6−5
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．
12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99
（3）拓展提高，求下列式子的值．
11+3+13+5+15+7+⋯+12023+2025．
【解答】解：（1）16+5=6−5(6+5)(6−5)=6−56−5=6−51=6−5，
故答案为：6−5；
（2）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99
=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99
=100−1
＝10﹣1
＝9；
（3）11+3+13+5+15+7+⋯+12023+2025
=13+1+15+3+17+5+⋯+12025+2023
=3−1(3+1)(3−1)+5−3(5+3)(5−3)+⋯+2025−2023(2025+2023)(2025−2023)
=3−12+5−32+7−52⋯+2025−20232
=12(3−1+5−3+7−5+⋯+2025−2023) =12(−1+2025) =12×44
＝22．
25．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：7+43该如何化简？
建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样(a)2+(b)2=m，a⋅b=n．
那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b(a＞b)，
问题解决：化简：7+43，
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12．
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）13+410；
（2）小张同学在化简5−26时，解决这个问题的过程如下．
5−26=2−22×3÷3①
=(2)2−22×3÷(3)2②
=(22−3)2③
=2−3④
在上述化简过程中，第 ①，③，④ 步出现了错误，化简的正确结果为 3−2 ．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=4−3，AC=3，那么BC边的长为 23−2 （结果化成最简）．
【解答】解：（1）13+410=13+240，
∵5+8＝13，5×8＝40，
即(5)2+(8)2=13，5×8=40，
∴13+410
=13+240
=(5)2+(8)2+2(5×8)
=(5+8)2
=5+22；
（2）5−26=2−22×3+3①
=(2)2−22×3+(3)2②
=(2−3)2③
=3−2④，
故答案为：①，③，④；3−2．
（3）∵∠C＝90°，AB=4−3，AC=3，
由题意可得：
BC=AB2−AC2
=(4−3)2−(3)2
=(4−3+3)(4−3−3)
=4×(4−23)
=16−83
=16−248
=12−212×4+4
=(12)2−212×4+(4)2
=(23−2)2
=23−2．
故答案为：23−2．1
第1行
2 3
第2行
2 5 6
第3行
7 22 3 10
第4行
…
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
D
D
A
A
B
B
B
1
第1行
2 3
第2行
2 5 6
第3行
7 22 3 10
第4行
…
…