江苏省镇江市丹阳高级中学2025-2026学年高二9月月考数学试卷

这是一份江苏省镇江市丹阳高级中学2025-2026学年高二9月月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出⽂字说明等内容，欢迎下载使用。
考试时间 120 分钟
⼀、单项选择题（本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题所给的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的）
已知直线过点，则直线的倾斜⻆为（）
B. C. D.
已知直线与平⾏，则实数的值为（）
A. 2B. C. D.
圆的圆⼼到直线的距离为（）
B. 2C. 3D.
已知双曲线的⼀条渐近线与直线垂直，则的值为（）
B. C. D.
已知椭圆：的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，若的⾯积为，且椭圆的离⼼率为，则椭圆的标准⽅程为（）
B. C. D.
圆与的公共弦⻓为（）
B. C. D. 4
已知△ABC 的顶点坐标为 A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则⻆ B 的内⻆平分线所在直线⽅程为（）
A. x﹣y+2＝0B. xy+2＝0C. xy+2＝0D. x﹣2y+2＝0
已知直线和曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
⼆、多项选择题（本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分在每⼩题给出的选项中，有多项符合
题⽬要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
下列说法中正确的有（）
直线过定点
点关于直线的对称点为
两条平⾏直线与之间的距离为
当实数时，直线和互相垂直
已知，，动点满⾜，记的轨迹为，若过点的直线与交于， 两点，直线与的另外⼀个交点为，则（）
的⾯积的最⼤值为 12
，关于轴对称
C. 当时，
D. 直线的斜率的取值范围为
已知直线经过椭圆的⼀个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离⼼率为，则下列结论正确的有（）
椭圆的短轴⻓为
弦最⼤值为 4
存在实数，使得以为直径的圆恰好过点
若，则
三、填空题（本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分）
双曲线的焦点为 ，，点 P 在双曲线上，若，则.
由直线上⼀点向圆引切线，则切线⻓的最⼩值为．
已知椭圆 左、右焦点分别为，直线与 C 交于 M，N 两点，设的内切圆圆⼼为，外接圆圆⼼为，则的值为．
四、解答题（本题共 5 ⼩题，共 77 分）解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
在平⾯直⻆坐标系 xOy 中，已知的三个顶点.
求 BC 边所在直线的⼀般式⽅程；
若的⾯积等于 2，且点在直线上，求点的坐标.
已知圆⼼为的圆经过点和，且圆⼼在直线上.
求圆的标准⽅程；
过点作圆的切线，求切线⽅程；
求直线上被圆所截得的弦⻓.
已知椭圆的短轴⻓为，点在上．
求椭圆的标准⽅程；
已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值．
设，，，圆 Q 过 A，B，D 三个点.
求圆 Q 的⽅程；
设点，若圆 Q 上存在两个不同的点 P，使得成⽴，求实数的取值范围；
设斜率为 k 的直线 l 与圆 Q 相交于 E，F 两点（不与原点 O 重合），直线 OE，OF 斜率分别为，
，且，证明：直线 l 恒过定点.
已知，为椭圆的左、右焦点，Q 为椭圆 C 的上顶点，若为直⻆三⻆形，且椭圆过点.
求椭圆 C 的⽅程；
过点 P 作斜率互为相反数的两条直线 与 分别交椭圆 C 于 A，B 两点，

①求直线 AB 的斜率；
②求线段的最⼤值.
2025-2026 学年度第⼀学期 9 ⽉阶段检测
⾼⼆数学（重点班）
考试时间 120 分钟
⼀、单项选择题（本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题所给的四个选项中，只有
1. 已知直线过点
A.
【答案】B
B.
，则直线的倾斜⻆为（
C.
）
D.
【解析】
【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜⻆关系计算即可.
【详解】直线过点
，则直线的斜率为
，
设直线的倾斜⻆为，所以
，
所以直线的倾斜⻆为 .
故选：B.
2. 已知直线与
平⾏，则实数
的值为（
）
A. 2B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平⾏的结论求参数的值即可.
【详解】因为直线
与
平⾏，所以
，得
故选：D
3. 圆
的圆⼼到直线
的距离为（
）
A.
B. 2
C. 3
D.
【答案】A
⼀项是符合题⽬要求的）
.
【解析】
【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式求解.
【详解】圆的圆⼼到直线的距离
.
【分析】由双曲线⽅程写出渐近线⽅程，根据直线垂直建⽴⽅程，可得答案.
【详解】双曲线的渐近线⽅程为，所以，解得.
故选：A.
5. 已知椭圆：的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，若
的⾯积为，且椭圆
的离⼼率为
，则椭圆的标准⽅程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤⾯积、离⼼率建⽴之间的等量关系，再结合进⾏求解即可．
【详解】的⾯积为，离⼼率为．
故选：A
4. 已知双曲线
的⼀条渐近线与直线
垂直，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】

⼜，，解得，，
即椭圆的标准⽅程为．
【分析】先求两圆公共弦所在的直线⽅程，再⽤“ ⼏何法” 求直线与圆相交所得的弦⻓.
【详解】圆：①，所以，.
圆：②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的⽅程为① ②：，
圆的圆⼼到公共弦的距离为，即公共弦⻓为.
故选：A
已知△ABC 的顶点坐标为 A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则⻆ B 的内⻆平分线所在直线⽅程为（）
A. x﹣y+2＝0B. xy+2＝0C. xy+2＝0D. x﹣2y+2＝0
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以⻆ B 的内⻆平分线所在直线⽅程为 AC 的垂直平分线，继⽽可以求得结果．
【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，
所以⻆ B 的内⻆平分线所在直线⽅程为 AC 的垂直平分线，
故选：C．
6. 圆
与
的公共弦⻓为（
）
A.
B.
C.
D. 4
【答案】A
【解析】
⼜线段 AC 中点坐标为（2，2），
则⻆ B 的内⻆平分线所在直线⽅程为 y﹣2，即 x﹣2y+2＝0．
故选：D．
【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应⽤，由|AB|＝|BC|＝5 转化为求直线的 AC 的垂直平分线是关键，属于中档题．
已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆⼼， 为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解.
【详解】由，得到，
所以曲线表示以原点为圆⼼， 为半径的半圆，图象如图，
当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点，当直线与曲线相切时，由，解得或（舍），
由图可知，实数的取值范围是，故选：C.
⼆、多项选择题（本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分在每⼩题给出的选项中，有多项符合
题⽬要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
下列说法中正确的有（）
【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为 0 求解即可；对于B，利⽤点关于直线的对称的性质求解； 对于 C， 利⽤平⾏线之间的距离公式求解； 对于 D， 利⽤直线垂直的系数关系 判定即可.
【详解】对于A，，，故直线过定点，故A 错误；
对于B，设点关于直线的对称点为,则即点关于直线的对称点为，B 正确；
对于C，，，故C 正确；
对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D 正确；故选：BCD.
已知，，动点满⾜，记的轨迹为，若过点的直线与交于， 两点，直线与的另外⼀个交点为，则（）
的⾯积的最⼤值为 12
，关于轴对称
当时，
直线的斜率的取值范围为
【答案】ABD
A. 直线
B. 点关于直线
过定点
的对称点为
C. 两条平⾏直线
与
之间的距离为
D. 当实数时，直线
和
互相垂直
【答案】BCD
【解析】

【解析】
【分析】利⽤给定定义得到的轨迹并结合三⻆形⾯积公式判断A，利⽤⻆平分线定理逆定理结合对称性判断B，利⽤圆周⻆和圆⼼⻆以及垂径定理判断 C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围判断D 即可.
【详解】设，由可得，
，即，
所以的轨迹是以为圆⼼，3 为半径的圆，记圆的圆⼼为 ，半径为．对于A 选项，，选项A 正确；
对于B 选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上，
直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点，
由题可知，，
由⻆分线定理逆定理得，故，
⼜根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B 正确；对于C 选项，当时，，
⽽，则为等腰三⻆形，
过 作于，则，
则，由垂径定理可得，选项C 错误；对于D 选项，当直线与圆 相切时，连接，

得到，此时，，由勾股定理得，由锐⻆三⻆函数的定义得，
由斜率的⼏何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知，
得到直线斜率的取值范围为，选项D 正确．故选：ABD．
已知直线经过椭圆的⼀个焦点，且与交于不同的两点，
椭圆的离⼼率为，则下列结论正确的有（）
椭圆的短轴⻓为
弦的最⼤值为 4
存在实数，使得以为直径的圆恰好过点
若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据焦点与离⼼率求出椭圆⽅程为：，再根据椭圆性质，直线与椭圆的位置关系对选项逐⼀判断即可．
【详解】由题知椭圆焦点在轴上，⼜直线过点，所以，即，
⼜，椭圆⽅程为：.
对于A，椭圆短轴⻓为，故A 正确；
对于B，联⽴，消去整理得：恒成⽴，设，则，
，因为，
故，⽆最⼤值，故B 不正确；
对于C，若为直径的圆恰好过点，则，即
，
即，
即解得：，
故存存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，C 正确；对于D，若，即，
故，解得：，所以D 正确.故选：ACD．
三、填空题（本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分）
双曲线的焦点为，，点 P 在双曲线上，若，则.
【答案】20
【解析】
【分析】先由双曲线⽅程求出，然后根据双曲线的定义求解即可.
【详解】由，得，得，
因为，，
所以或，
解得（舍去），或，故答案为：20
由直线上⼀点向圆引切线，则切线⻓的最⼩值为．
【答案】
【解析】
【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最⼩值，再利⽤勾股定理可求得切线⻓的最⼩值.
【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆⼼为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最⼩值，且最⼩值为，
所以，，即切线⻓的最⼩值为.
故答案为： .
已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与 C 交于 M，N 两点，设的内切圆圆⼼为，外接圆圆⼼为，则的值为．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意求得的坐标，可得在直线上，由推得
，进⽽求得，再由对称性判断点在轴上，利⽤点到直线的距离等于该点到直线的距离列⽅程，求出，即得，由两点间距离公式即可求得.
【详解】
由题意可得，由解得和，
⼜的内切圆圆⼼为，则由对称性可知，点在轴上，不妨设，易得直线的⽅程为，即，
即
，易知直线经过点
，
由
可得，
故
的外接圆圆⼼为的中点，即
，
则点
到直线
的距离等于该点到直线
的距离，
即
故
，解得
或（不合题意，舍去），故得
.
，
故答案为：.
四、解答题（本题共 5 ⼩题，共 77 分）解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
在平⾯直⻆坐标系 xOy 中，已知的三个顶点.
求 BC 边所在直线 ⼀般式⽅程；
若的⾯积等于 2，且点在直线上，求点的坐标.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利⽤直线⽅程的点斜式求出⽅程，再化成⼀般式即可.
（2）利⽤三⻆形⾯积求出点到直线的距离，再结合已知建⽴⽅程组求解.
【⼩问 1 详解】
直线的斜率，直线的⽅程为，所以 BC 边所在直线的⼀般式⽅程为.
⼩问 2 详解】
依题意，，设点到直线的距离为，由的⾯积等于 2，得，解得，
于是，解得或，
所以点的坐标为或.
已知圆⼼为 的圆经过点和，且圆⼼在直线上.
求圆的标准⽅程；
过点作圆的切线，求切线⽅程；
求直线上被圆所截得的弦⻓.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）设圆⼼，通过半径求得，进⽽可求解；
通过讨论斜率存在与不存在，由圆⼼到直线距离等于半径，列出等式求解即可；
由弦⻓公式即可求解.
【⼩问 1 详解】
由题意设圆⼼，
【⼩问 2 详解】
当切线的斜率不存在时，则切线⽅程为，
此时圆⼼到直线的距离为，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过的切线的⽅程为，即，
则圆⼼到切线的距离，
因为
，
即
，
解得
，即
，
半径
，
所以圆
的标准⽅程为
.
解得，
此时切线 ⽅程为：，
即，
综上所述：过的切线⽅程为或.
【⼩问 3 详解】
【答案】（1）椭圆的标准⽅程为：
（2）
【解析】
【分析】（1）由短轴⻓可求得，利⽤椭圆过点，可求，进⽽求得椭圆的标准⽅程为：
；
（2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。联⽴⽅程组，由根与系数的关系可求得，利⽤弦⻓公式可求得的值.
【⼩问 1 详解】
因为椭圆的短轴⻓为，所以短半轴⻓。
所以椭圆 的标准⽅程为：，⼜因为点在椭圆上，
圆⼼
到直线
的距离为，
所以弦⻓
.
17. 已知椭圆
的短轴⻓为，点在上．
（1）求椭圆
的标准⽅程；
（2）已知直线
与椭圆 交于，两点，且
，求 的值．
所以，所以，解得，
所以椭圆的标准⽅程为：；
【⼩问 2 详解】
设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。
由，可得，
整理得，，解得，所以，
18. 设，，，圆 Q 过 A，B，D 三个点.
求圆 Q 的⽅程；
设点，若圆 Q 上存在两个不同的点 P，使得成⽴，求实数的取值范围；
因为
，所以
，
所以
整理得所以
，所以
，解得
或
（舍去），
设斜率为 k 的直线 l 与圆 Q 相交于 E，F 两点（不与原点 O 重合），直线 OE，OF 斜率分别为，
为圆⼼，再求出半径，即可得到圆的⽅程；
（ 2） 设， 根据 ， 得到， 即可得到点 在以为圆⼼，为半径圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆⼼距与半径和差的关系
得到不等式组，解得即可；
（3）设直线的⽅程为，联⽴直线与圆的⽅程，消元、列出⻙达定理，由斜率公式求出，即可得解.
【⼩问 1 详解】
由题意可得，圆⼼ Q 为直线的垂直平分线和直线垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的⽅程为，即，⼜线段的垂直平
，且，证明：直线 l
恒过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）圆 过
三个点，求出线段
、线段
的垂直平分线⽅程，联⽴求出交点坐标，即
分线的⽅程为
，
联⽴⽅程组
，解得
，所以圆⼼为，半径为，所以圆的⽅程
为
【⼩问 2 详解】
.
设，因为
，
所以
，

【⼩问 3 详解】
设直线 的⽅程为，
由得，
所以，
所以，
所以，所以直线 ⽅程为，令，解得，即直线 过定点．
19. 已知，为椭圆的左、右焦点，Q 为椭圆 C 的上顶点，若为直⻆三⻆形，且椭圆过点.
求椭圆 C 的⽅程；
过点 P 作斜率互为相反数的两条直线 与 分别交椭圆 C 于 A，B 两点，
化简得
，所以．
则点
在以
为圆⼼，
为半径的圆上，依题意该圆
与圆有两个交点，即可两圆相交，
⼜
则
，
，解得
.
①求直线 AB 的斜率；
②求线段的最⼤值.
【答案】（1）
（2）1；4.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的特征三⻆形解参数即可；
（2）①设直线⽅程，，联⽴椭圆⽅程结合⻙达定理、两点斜率公式计算即可；②根据弦⻓公式结合上问结论计算最值即可.
【⼩问 1 详解】
设椭圆的焦距为，由题意可知，
即为等腰直⻆三⻆形且，故，
将代⼊，可得，
则，即，
且，
则，
所以
；
【⼩问 2 详解】
①由题意可知直线
斜率存在，可设直线
⽅程为，
，联⽴椭圆⽅程有
，
整理得
，
整理得，
时，直线过点，不合题意，
所以；
②由弦⻓公式可知，
结合①有，显然时可取得最⼤值 4.