四川省绵阳市东辰国际学校2025-2026学年高一上学期开学分班检测数学试卷

这是一份四川省绵阳市东辰国际学校2025-2026学年高一上学期开学分班检测数学试卷，共38页。试卷主要包含了 计算等内容，欢迎下载使用。
、
⼀单选题
1. 在实数－，0，，，，中，⽆理数的个数是（）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
有以下 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，
88，它们的和是（）
A 1789B. 1799C. 1879D. 1899
如图，为的两条弦，连接，点为的延⻓线上⼀点，若，则的度数为（）
B. C. D.
⼀组数据按从⼩到⼤的顺序排列为，若该组数据的第 60 百分位数是众数的倍，则该组数据的⽅差是（）
A. 5B. C. D.
在某种浓度的盐⽔中加⼊“⼀杯⽔”后，得到新的盐⽔，它的浓度为，⼜在新盐⽔中加⼊与前述“⼀
杯⽔”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐⽔的浓度为（）
B. C. D.
如图，⼀辆⾃⾏⻋竖直摆放在⽔平地⾯上，右边是它的部分示意图，先测得,则点到的距离为（）
B.
C. D.
⽤表示 a，b 两数中的最⼩数，若函数，则 y 的图象为（）
A.B.
C.D.
、
⼆多选题
下列各组数轴上点中，点 C 位于点 D 的右侧的是（ ）
和B. 和
C. 和D. 和
、
三填空题
计算的值是.
已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为
.
声⾳在空⽓中传播的速度随温度的变化⽽变化，科学家测得⼀定温度下声⾳传播的速度 （）与
温度 （）部分对应数值如下表：研究发现 ， 满⾜公式（， 为常数，且）.当温度为时，声⾳传播的速度 为
由⼀次函数，和轴围成的三⻆形与圆⼼在、半径为 1 的圆构成的图形覆盖的⾯积等于.
在平⾯直⻆坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点 作交抛物线于点……，依次进⾏下去，则点的坐标为 ．
若直⻆三⻆形中有两边的边⻓为 x、y，这两边⻓都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直⻆三⻆形的第三边的⻓是 .
定义：如果函数在上⾏仕，满⾜
，则称函数是上的“双中值函数"，已知函数是上“双中值函数"，则实数的取值范围是．
⼏何学有两个伟⼤的瑰宝，⼀个是毕达哥拉斯定理，另⼀个是⻩⾦分割.毕达哥拉斯⼏何学中有⼀个关
于五⻆星结构的问题.如图，⼀个边⻓为 1 的正五边形有 5 条对⻆线，这些对⻆线分别相交于，
，，，五点，它们组成了另⼀个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部
温度 （）
0
10
30
声⾳传播的速度 （）
324
330
336
348
如图，矩形的对⻆线交于点，将沿着翻折到，与交于点.设 ，的⾯积为 ，则.（⽤和 表示）
在综合实践活动中，数学兴趣⼩组对这个⾃然数中，任取两数之和不⼤于的取法种数进⾏了探究.发现：当时，只有⼀种取法，即；当时，有和两种取法，即
；当时，可得；……若时，则的值为；若，则的值为.
四 解答题
、
（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
2010 年我国进⾏了第六次⼈⼝普查，2011 年 4 ⽉国家统计局发布了此次普查的主要数据.国家统计局的公告中有下⾯两张图.
图 1 是我们学习的图表中的哪⼀种？此图反映怎样的信息？
根据这两张图，给出你的分析结论.
如图，⼀次函数与反⽐例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
求⼀次函数与反⽐例函数的表达式；
在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
过点任作直线 交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另⼀点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点．
如图，在平⾯直⻆坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点.
求抛物线的解析式；
时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求取值范围；
过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
已知是关于的⼀元⼆次⽅程的两实数根．
若，求的值；
已知等腰的⼀边⻓为 7，若恰好是另外两边的边⻓，求这个三⻆形的周⻓．
如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在轴上，A 点在轴上，，矩形 ABCD 沿直线 EF
折叠，点 B 落在 AD 边上的 G 处，E、F 分别在 BC、AB 边上且．
求 G 点坐标
求直线 EF 解析式
点 N 在坐标轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点四边形是平⾏四边形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由
数学活动课上，同学们将两个全等的三⻆形纸⽚完全重合放置，固定⼀个顶点，然后将其中⼀个纸⽚绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三⻆形纸⽚和中，
.
（3）【拓展延伸】
（1）【初步感知】
如图 1，连接
，在纸⽚绕点旋转过程中，试探究
的值.
（2） 深⼊探究】
如图 2，在纸⽚
绕点旋转过程中，当点恰好落在
的中线的延⻓线上时，延⻓交
于点，求
的⻓.
在纸⽚绕点 A 旋转过程中，试探究三点能否构成直⻆三⻆形.若能，直接写出所有直⻆三⻆形的⾯积；若不能，请说明理由.
四川省绵阳东⾠国际学校 2025-2026 学年⾼⼀上学期开学分班检测数学试卷
、
⼀单选题
【分析】利⽤⽆理数的定义，即可知所给实数中⽆理数的个数.
【详解】由⽆理数的定义知，、，是⽆理数，其它的是有理数，
∴⼀共有 3 个⽆理数.故选：C
有以下 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，
88，它们的和是（）
A. 1789B. 1799C. 1879D. 1899
【答案】B
【解析】
【分析】直接计算即可.
【详解】解：由题意知本题是⼀个求和问题，
.
故选：B．
如图，为的两条弦，连接，点为的延⻓线上⼀点，若，则的度数为（）
A.B.C.D.
1. 在实数－，0，
，，，
中，⽆理数的个数是（
）
A. 1 个
【答案】C
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【解析】

【答案】C
【解析】
【分析】计算弦对应的圆周⻆为，再由得，然后根据弦对应的圆⼼⻆为圆周⻆的 2 倍计算即可.
【详解】由题意，因为,
所以,
如图所示，连接,
所以弦对应的圆周⻆为，且，
所以，
所以弦对应的圆⼼⻆为.
故选：C.
⼀组数据按从⼩到⼤的顺序排列为，若该组数据的第 60 百分位数是众数的倍，则该组数据的⽅差是（）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数与众数计算求解可得，再计算⽅差即可.
【详解】由题意该组数据共 7 个数，，故第 60 百分位数为从⼩到⼤第 5 个数，⼜众数为 4，故，
故该组数据的平均数为，
故该组数据的⽅差是
.
故选：B
在某种浓度的盐⽔中加⼊“⼀杯⽔”后，得到新的盐⽔，它的浓度为，⼜在新盐⽔中加⼊与前述“⼀
杯⽔”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐⽔的浓度为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据溶液 浓度 溶质，可得到两个⽅程，解⽅程组即可．
“”
【详解】解：设原盐⽔溶液为克，其中含纯盐克，后加⼊⼀杯⽔为克，依题意得：，
解得，
故原盐⽔的浓度为，
故选：B．
如图，⼀辆⾃⾏⻋竖直摆放在⽔平地⾯上，右边是它的部分示意图，先测得,则点到的距离为（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，垂⾜为，在直⻆中，即可求解.
【详解】如图所示，过点作，垂⾜为，
在直⻆中，，可得，即到的距离为.
故选：A.
⽤表示 a，b 两数中的最⼩数，若函数，则 y 的图象为（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 由 于， ⼜ 由 于表 示 a， b 两 数 中 的 最 ⼩ 数 ， 则
表示
与
中的最⼩数；根据解析式即可画出函数图象．
【详解】
∵
表示
，
与中的最⼩数，
∴ 当时，即或时，；
当时，即时，； 可知，当时，，当时，，则函数图象与 x 轴的交点坐标为，，
与 y 轴的交点坐标为，结合选项，只有A 选项图象符合题意．故选：A．
、
⼆多选题
下列各组数轴上的点中，点 C 位于点 D 的右侧的是（ ）
和B. 和
C. 和D. 和
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，结合数轴的性质，对选项逐⼀分析点的位置，即可求解.
【详解】对于A 中，根据数轴的性质，可得在右侧，符合题意；对于B 中，根据数轴的性质，可得在左侧，不符合题意；
对于C 中，根据数轴的性质，可得在右侧，不符合题意；对于D 中，根据数轴的性质，可得在左侧，不符合题意.故选：AC
、
三填空题
计算的值是.
【答案】
【解析】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为
.
【答案】8
【解析】
【分析】根据定义域关于原点对称可得，进⽽根据偶函数的性质即可代⼊求解.
【详解】是定义在上的偶函数，，得.
⼜当时，.
⼜是偶函数，
所以.
【答案】342
【解析】
【分析】先根据表格数据求出的值，进⽽得出的表达式，然后将代⼊计算即可.
【详解】由题意，当时，，则，①
当时，，
则，②
联⽴ ①②解得，所以，
将代⼊，则（），
故答案为：342.
故答案：8
11. 声⾳在空⽓中传播的速度随温度的变化⽽变化，科学家测得⼀定温度下声⾳传播的速度
（
）与
温度 （）部分对应数值如下表：研究发现 ， 满⾜公式（，为常数，且
）.当温度
为时，声⾳传播的速度 为
温度 （）
0
10
30
声⾳传播的速度 （）
324
330
336
348
由⼀次函数，和轴围成的三⻆形与圆⼼在、半径为 1 的圆构成的图形覆盖的⾯积等于.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，进⽽求⾯积.
【详解】构成的图形为三⻆形和⼀个半圆，如图所示：
所以图形覆盖的⾯积为
.
故答案为：.
在平⾯直⻆坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点 作交抛物线于点……，依次进⾏下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据⼆次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联⽴⽅程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点
的坐标．
【详解】解：∵ 点坐标为，
∴直线为，，
∵ ，
∴直线为，
解得或，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线为，
解得或，
∴ ，
∴
…，
∴ ，
故答案为：
14. 若直⻆三⻆形中有两边的边⻓为 x、y，这两边⻓都是质数，且使得代数式
及
的值都是正
整数，则此直⻆三⻆形的第三边的⻓是.
【答案】12 或
【解析】
【分析】令，且都为正整数，整理得
，
为质数，讨
论质数确定的值，进⽽确定直⻆三⻆形第三边⻓.
【详解】令，且都为正整数，则，
所以，整理得，为质数，当时，，则，，此时不符，
当时，，则不存在正整数使等式成⽴，
当时，，则，，此时符合，
当时，，则不存在正整数使等式成⽴，
若为直⻆边时，第三边⻓为，若为斜边，为直⻆边时，第三边⻓为，所以第三边⻓为 12 或.
故答案为：12 或
定义：如果函数在上⾏仕，满⾜
，则称函数是上的“双中值函数"，已知函数是上“双中值函数"，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可知在内有两个不同的根，结合⼆次函数根的分布，即可求解.
【详解】根据题意，得，
当质数
时，
均不存在正整数
使等式成⽴，
综上，
，
，
根据“双中值函数”的定义可知，在内有两个不同的根，即在内有两个不同的根，
结合⼆次函数根的分布可知，，解得.
故答案为：.
⼏何学有两个伟⼤的瑰宝，⼀个是毕达哥拉斯定理，另⼀个是⻩⾦分割.毕达哥拉斯⼏何学中有⼀个关于五⻆星结构的问题.如图，⼀个边⻓为 1 的正五边形有 5 条对⻆线，这些对⻆线分别相交于，
【答案】
，，，五点，它们组成了另⼀个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 .
【解析】
【分析】根据正五边形的性质，可求得各个⻆度，进⽽可得相似于，计算可得的⻓，则所求落在阴影部分概率，即为阴影⾯积与正五边形⾯积之⽐，即可得答案.
【详解】因为正五边形，
所以每个内⻆度数为，
即，
所以，
则这个点取在阴影部分的概率.
故答案为：
如图，矩形的对⻆线交于点，将沿着翻折到，与交于点.设 ，的⾯积为 ，则.（⽤和 表示）
【答案】
所以在
中，
，
因为
，
所以
，则
，
所以
，
所以
，
所以
，
设
，
因为
，
，
所以
相似于
，
所以
，即
，解得
（负值舍去），
代⼊化简即得结果.
将( *) 代⼊，可得.
故答案为：.
在综合实践活动中，数学兴趣⼩组对这个⾃然数中，任取两数之和不⼤于的取法种数进⾏了探究.发现：当时，只有⼀种取法，即；当时，有和两种取法，即
；当时，可得；……若时，则的值为；若，则的值为.
【答案】①. 16②. 2550
【解析】
【分析】根据探究总结发现规律，分别求出时，的值即可.
【详解】由题意知：当时，
设在这 8 个数中任取两数分别为，则满⾜取法有：当时，可以取共 7 种，
当时， 可以取共 5 种，
【解析】
【分析】设
， 利⽤平⾯⼏何知识和题设条件求得
， 根据三⻆形⾯积相等求得
， 在
中， 利⽤三⻆函数求出
， 从⽽得到， 将
【详解】设
，由题意，
，
在
中，
，则
，
因矩形
，
，则
，
⼜因
，则
，联⽴解得
，
( *) ，
在
中，
，即
，解得，
故
，
当时，可以取共 3 种，当时，可以取共 1 种，
所以此时，
由题意知：当时，
设在这 101 个数中任取两数分别为，则满⾜取法有：当时，可以取共 100 种，
当时，可以取共 98 种，
当时，可以取共 96 种，
当时，可以取共 94 种，
当时，可以取共 4 种，当时，可以取共 2 种，
当时，没有满⾜条件的值，
所以当时，
，
先算开⽅，绝对值，零次幂和乘⽅，最后算加减法即可；
先化简原式，再把代⼊求解即可.
【详解】（1）
故答案为：16；2550.
四 解答题
、
19. （1）计算：
.
（2）先化简，再求值：
，其中
.
【答案】（1）；（2）
.
【解析】
【分析】

；
（2）原式，
把代⼊得原式.
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及化简求值问题.属于较易题.
2010 年我国进⾏了第六次⼈⼝普查，2011 年 4 ⽉国家统计局发布了此次普查的主要数据.国家统计局的公告中有下⾯两张图.
图 1 是我们学习的图表中的哪⼀种？此图反映怎样的信息？
根据这两张图，给出你的分析结论.
【答案】（1）答案⻅解析
（2）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）由图可得我国的⼈数越来越多；
（2）由图可得⼈⼝流动越来越⼤.
【⼩问 1 详解】
这是个条形统计图，纵坐标对应⼈数，说明我国的⼈数越来越多.
【⼩问 2 详解】
由图可得我国的⼈数越来越多，且离开户⼝登记地所在的乡镇街道半年以上⼈⼝占⽐越来越⼤，说明⼈⼝
流动越来越⼤.
如图，⼀次函数与反⽐例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
求⼀次函数与反⽐例函数的表达式；
在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）存在，或．
【解析】
【分析】（1）将点代⼊解析式，求出，将代⼊求得，将，
反⽐例函数的表达式为
点在图象上，，即
把，两点代⼊，可得，
解得，
所以⼀次函数的表达式为．
【⼩问 2 详解】
由（1）已得，
当时，，，即．
当时，，，即，由勾股定理，，
代⼊
，求出
即得答案；
（2）分
【⼩问 1 详解】
与
两种情况，分别求解即得答案.
把点代⼊
，解 得
，
，
设，由题意，点在点左侧，则，显然
①如图，当时，
，，
解得，故点坐标为；
②如图，当时，
，，
.
解得，即点的坐标为
因此，点的坐标为或时，与相似．
过点任作直线 交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另⼀点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点．
【答案】证明⻅解析，
【解析】
【分析】做变换，将椭圆还原为圆，设与圆交于．弧对应圆⼼⻆为，设弧对应圆⼼⻆为,连接，由⼏何知识可得，从⽽可得

，据此可得答案.
【详解】如图，做变换，由，即将椭圆还原成圆，
则点，斜率为，斜率为 1 ，
所以，由垂径定理，关于直线对称，
设与圆交于．弧对应圆⼼⻆为，设弧对应圆⼼⻆为.则弧对应圆⼼⻆为.
由外⻆和定理可得
，
，⼜
，
则
，从⽽
，⼜
连接, 则与交点为.
，
则，，
⼜直线⽅程为，结合图形，可得，所以直线与直线的交点为定点．
如图，在平⾯直⻆坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点.

求抛物线 解析式；
时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；
过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点和对称轴公式列⽅程组求出即可；
根据题意解出直线⽅程，讨论左右平移时与线段的交点即可求解；
解法⼀：先求出点坐标，进⽽求出直线的解析式，联⽴抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分
，得到，设，根据正切的定义，列出⽐例式进⾏求解即可；解法⼆：分别将直线与抛物线联⽴，利⽤⻙达定理求出点坐标，由轴可知平分时 ，代⼊斜率公式求解即可.
【⼩问 1 详解】
因为抛物线过点，且对称轴为直线，
所以，解得，
因为抛物线可由平移得到，
当点在抛物线上，由解得或，结合图象可知⾄多向右平移个单位，
当的图象向左平移⾄与有⼀个交点时，联⽴得，
令解得，
此时由解得，即交点坐标为，在线段上，
结合图象可知⾄多向左平移个单位，综上的取值范围为.
【⼩问 3 详解】
所以抛物线的解析式为
.
【⼩问 2 详解】
当时，直线为
，
令解得，令
解得
，所以
，
，
所以，将
代⼊
解得
，所以直线⽅程为，
解法⼀：因为直线，所以当时，，即，
（根据对称性在这⾥不妨只考虑的情况）
因为所以抛物线的对称轴为直线，所以点在抛物线的对称轴上，因为过点，且与直线垂直，所以，
设直线的解析式为，将代⼊得，故，
在直线上取点，,在上取点，使，作轴，轴，则，，
，,所以
所以，
所以，则，，所以，解得，
所以直线的解析式为，即：，联⽴整理，得，
所以，，
由为的中点，得，
联⽴，同理可得，
假设存在点，设，使得总是平分，如图，作，
因为平分，所以，故，
所以，则，
由于要在的同⼀侧，故同正或者同负，解得所以抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
解法⼆：对于直线令解得，所以，则在抛物线对称轴上，
联⽴得，设
，
，
由⻙达定理可得，
因为是中点，所以点横坐标
，则
，即，
因为，且，所以
⼜直线过点，所以直线⽅程为
，
，
联⽴得，设，，
由⻙达定理可得，
因为是中点，所以点横坐标，则，即
，
因为轴，所以平分时,，
设，则，
所以对任意恒成⽴时，解得，
【分析】（1）利⽤根与系数的关系求解即可；
（2）分 7 为底边⻓，7 为腰⻓两种情况讨论，先通过⼀元⼆次⽅程解的个数或者根为 7 确定的值，再根据三⻆形任意两边之和⼤于第三边判定的取值是否能使三⻆形存在，即可求解
【⼩问 1 详解】
因为是关于的⼀元⼆次⽅程的两实数根．
所以存在定点
使得
总是平分
，其坐标为
.
24. 已知
是关于
⼀元⼆次⽅程
的两实数根．
（1）若
，求的值；
（2）已知等腰
的⼀边⻓为 7，若
恰好是
另外两边的边⻓，求这个三⻆形的周⻓．
【答案】（1）
（2）
【解析】
所以，
⼜因为，所以，
所以，即，解得或，
当时，，不符合题意，故舍去，所以，经验证满⾜；
【⼩问 2 详解】
①当 7 为底边⻓时，⽅程有两个相等的实数根，所以，解得，
所以⽅程为，解得，
⼜因为，所以不能构成三⻆形；
②当 7 为腰⻓时，设，代⼊⽅程得，解得或，
当时，⽅程为，解得，
⼜，所以不能构成三⻆形；
当时，⽅程为，解得，此时能构成三⻆形，的周⻓为.
综上，的周⻓为.
25. 如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在轴上，A 点在轴上，，矩形 ABCD 沿直线 EF
折叠，点 B 落在 AD 边上的 G 处，E、F 分别在 BC、AB 边上且．
求 G 点坐标
求直线 EF 解析式
点 N 在坐标轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）（3）答案详解解析.
【解析】
【分析】（1）由，结合图形折叠的性质得到，再在直⻆三⻆形中利⽤勾股定理求解即得.
先在中，由 ，得出，再由折叠的性质得出 ，解，求出得.设直线 EF 的表达式为 ，将的坐标代⼊，利⽤待定系数法即可求出直线 EF 的解析.
因为 M、N 均为动点，只有 F、G 已经确定，所以可从此⼊⼿，结合图形，按照 FG 为⼀边，N 点在 x
轴上；FG 为⼀边，N 点在 y 轴上；FG 为对⻆线的思路，顺序探究可能的平⾏四边形的形状.确定平⾏四边形的位置与形状之后，利⽤平⾏四边形及平移的性质求得 M 点的坐标.
【⼩问 1 详解】
由，得 AF=1，BF=2，由折叠的性质得：GF=BF=2，在中，由勾股定理得，，
⽽，则 OA=4，即，所以.
【⼩问 2 详解】
在中，由，，
由折叠的性质得知：，在中，，则，，设直线 EF 的表达式为，
因此，解得，
所以直线 EF 解析式是.
【⼩问 3 详解】
若以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平⾏四边形，则分如下四种情况：
①FG 为平⾏四边形的⼀边，N 点在 x 轴上，GFMN 为平⾏四边形，如图 1，
过点 G 作 EF 的平⾏线，交 x 轴于点，再过点作 GF 的平⾏线，交 EF 于点 M，得，由，直线 EF 的解析式为，
得直线解析式为，当 y=0 时，，由，且，，，则；
②FG 为平⾏四边形的⼀边，N 点在 x 轴上，GFNM 为平⾏四边形，如图 2,
由为平⾏四边形，得与互相平分，⽽，点纵坐标为 0，则中点的纵坐标为，设其横坐标为，⼜中点与中点重合，
则，解得，则点的坐标为，
由，且，，，于是.
③FG 为平⾏四边形的⼀边，N 点在 y 轴上，GFNM 为平⾏四边形，如图 3，
由为平⾏四边形，得与互相平分，⽽，点横坐标为 0，则中点的横坐标为 0，F 与的横坐标互为相反数，即的横坐标为，
当时，，因此.
④FG 为平⾏四边形的对⻆线，GMFN 为平⾏四边形，如图 4，
过点 G 作 EF 的平⾏线，交 x 轴于点，连结与 GF 的中点并延⻓，交 EF 于点，得由，，得 FG 中点坐标为，
⽽的中点与 FG 的中点重合，且的纵坐标为 0，则的纵坐标为，

设的横坐标为 ，则 ，解得，因此.
所以直线 EF 上存在点 M，使以 M，N，F，G 为顶点的四边形是平⾏四边形，
此时 M 点坐标为：.
26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三⻆形纸⽚完全重合放置，固定⼀个顶点，然后将其中⼀个纸⽚绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三⻆形纸⽚和中，
.
（3）【拓展延伸】
在纸⽚绕点 A 旋转过程中，试探究三点能否构成直⻆三⻆形.若能，直接写出所有直⻆三⻆形 的⾯积；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）能，4 或 16 或 12 或
【解析】
【分析】（1）证明,求出,可得,故,⼜
（1）【初步感知】
如图 1，连接
，在纸⽚绕点旋转过程中，试探究
的值.
（2）【深⼊探究】
如图 2，在纸⽚
绕点旋转过程中，当点恰好落在
的中线的延⻓线上时，延⻓交
于点，求
的⻓.
得,求出,证明，即可得，
,从 ⽽ 四 边 形 矩 形 ,有 , ,得
,可得是的中位线,,设,证明，
,可得
,从⽽
;
（2）连接,延⻓
交
于点,连接
交
于，延⻓
交
于
，由
,
,
得,故
得的⻓.
（3）分四种情况分别画出图形解答即可.
【⼩问 1 详解】
，由得，可
，
,
【⼩问 2 详解】
,即，
连接，延⻓交于点,连接交于,延⻓交于，如图：
根据（1）得，
是中线，
，即
，
，
四边形是平⾏四边形，
四边形矩形，
，
，设，则，
,
解得
，解得
.
，
，
【⼩问 3 详解】
如图，当与重合时，此时，此时是直⻆三⻆形，故；
如图，当在的延⻓线上时，此时，此时是直⻆三⻆形，故；
四边形
是矩形，
，
如图，当时，此时是直⻆三⻆形，过点作于点，
，
，故
；
如图，当时，此时是直⻆三⻆形，过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
解得；故.
综上所述，直⻆三⻆形的⾯积为 4 或 16 或 12 或.
【点睛】思路点精：纸⽚绕点 A 旋转过程中，若三点能构成直⻆三⻆形，则有以下情况：当与重合时，此时，此时是直⻆三⻆形，
当在的延⻓线上时，此时，此时是直⻆三⻆形，
当时，此时是直⻆三⻆形， 当时，此时是直⻆三⻆形，
在了解每种情况之后，⼀般都需要通过辅助线寻找三⻆形相似，进⽽求解边⻓和⾯积.