2024_2025年云南昆明高二上学期开学摸底考试数学试题[有解析]

这是一份2024_2025年云南昆明高二上学期开学摸底考试数学试题[有解析]，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（ ）
A．19B．23C．21D．18
2．已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知为两条不同直线，为两个不同平面，且，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．若函数是偶函数，则（ ）
A．B．eC．D．
5．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题：
9．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则或
10．已知样本数据的方差为，平均数，则（ ）
A．数据，，，，的方差为
B．数据，，，，的平均数大于0
C．数据的方差大于
D．数据的平均数大于
11．如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（ ）

A．圆锥的体积为
B．当为中点时，线段在底面的投影长为
C．存在，使得
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则 .
13．在中，是边上的高，若，则 ．
14．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径（单位：）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为.已知样本中钢球直径在内的个数是20.
(1)求样本容量；
(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数.
16．设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数.
(1)求实数的值；
(2)若三点共线，求实数的值.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
18．记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是边上一点，且，求的面积．
19．如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
(1)求结果用表示；
(2)若 .
①求的取值范围；
②设，记，求函数的值域.
1．C
【分析】根据中位数的定义即可求解.
【详解】将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，
所以这组数据的中位数是．
故选：C．
2．A
【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】.
故选：A.
3．B
【分析】利用空间直线，平面的位置关系逐项判断可得每个选项的正确性.
【详解】对于A，可能相交，如图所示正方体中，若为直线，
为平面，为平面，若为，则，故A错误；
对于B：由，，可得或，
当，又，所以，
当，则在内存在，又，则，又，所以，故B正确；
对于C：，，则可得，又，所以或，故C错误；
对于D：，，可得，又，可得或与相交，故D错误.
故选：B.
4．A
【分析】利用偶函数的定义，可得对定义域内的每一个数均成立，可求.
【详解】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以f−x=fx，所以，
可得，
可得对均成立，
所以.
故选：A.
5．B
【分析】用复数的运算法则化简即可求得.
【详解】由复数，则，，
故复数在复平面内的点的坐标为.
故选：B
6．B
【分析】解方程分别求得，进而可判断结果.
【详解】由，可得，可得，
解得或，
所以或或，
由，可得，解得或，
所以或或，
所以.
故选：B.
7．A
【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到.
【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，
则，，
所以，即．
故选：A．
8．B
【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得.
【详解】

设的中点为，连接（不与点重合），，，，
所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图，
在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，
在中利用余弦定理可得，

所以的周长的最小值为．
故选：B．
9．ABD
【分析】设，则，逐项计算可判断每个选项的正确性.
【详解】设且，则，
，
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
当时，满足，但不能得出，故C错误；
因为，
所以，则或，故D正确.
故选：ABD.
10．AD
【分析】根据方差、平均数的定义和性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：数据，，，，的方差为，A正确；
对B：数据，，，，的平均数为，
当时，，故B错误；
对C：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误；
对D：因为，数据的平均数，
因为，故数据的平均数大于，故D正确.
故选：AD.
11．BCD
【分析】求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可判断A；设M在底面上的投影为H，利用余弦定理求得投影的长，判断B；根据线面垂直的性质定理可判断C；结合，可求得的长，即可判断D.
【详解】对于A，设圆锥的底面半径为R，高为h，由题意知，
圆锥的母线长为，故，
故圆锥体积为，A错误；
对于B，当为中点时，设M在底面上的投影为H，则H为的中点，
则为线段在底面的投影，
，而，在中，
，
即，即线段在底面的投影长为，B正确；

对于C，作于T，作于，连接，
设圆锥底面直径为，由于，
即，则，
，则为正三角形，故T为的中点，
则，故，即为的四等分点，
由于平面底面，平面底面，底面，
，故平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
故当M与重合时，，C正确；
对于D，由C的分析知，，而，
故，D正确，
故选：BCD
12．200
【分析】根据分层抽样得到老、中年旅客的人数，相加后得到答案.
【详解】青年旅客抽到60人，则老、中年旅客的人数分别为和，
故.
故200
13．
【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案.
【详解】设，
则，
由得，
解得，故，所以.
故答案为.
14．2
【分析】设，因，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得.
【详解】设，则，，，
因，则得．又因，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．
故2.
思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件.
15．(1)50；
(2)160.
【分析】（1）用频数除以频率即可求解；
（2）首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解.
【详解】（1）因为样本中钢球直径在内的个数是20，其频率为0.40，
所以样本容量为.
（2）样本中这批产品的不合格产品件数为，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；
（2）根据求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
（2）由（1）可得，，则点，，点
所以，
因三点共线，所以，所以，
所以
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）由底面为正方形，得，又平面，
于是平面，而平面，则，同理，
又平面，
所以平面.
（2）由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理，
在中，，因此，
在直角中，，
由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为
设点到平面的距离为，由，得，解得，
所以点到平面的距离为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得，进而可得结果；
（2）根据题意利用余弦定理解得，再结合面积公式运算求解.
【详解】（1）因为，则，
可得，
则，
若，则，且B∈0,π，所以；
若，则，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合题意；
综上所述.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
则，所以的面积.
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解；
（2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解；
②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）①.
设，又，所以，
则
所以
，
因为，则，
所以，则
故；
②设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
所以.
令， ，
，令，
则，
因为，
则，即，
所以在上单调递增，则，
所以的取值范围是.