湖南省邵阳市2025-2026学年高二上学期9月拔尖联考（创新班）数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省邵阳市2025-2026学年高二上学期9月拔尖联考（创新班）数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．1B．7C．iD．7i
2．设全集，集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
5．在中，已知，，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．
6．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A．81B．145C．256D．273
7．已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ）
A．2B．C．4D．
8．若关于x的方程恰有三个不同的实根（），则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ）
A．B．正三棱柱的体积为
C．若，则D．直线与是异面直线
10．设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ）
A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则
B．若，则直线AF的斜率
C．若，则的面积为
D．记，，的面积分别为，，，则
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ）
A．角的大小为
B．若为的角平分线，则
C．若，则线段的长度的取值范围为
D．若，则的周长的最大值为
三、填空题
12．已知，，则 .
13．若函数在点，处的切线互相平行，则 .
14．抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为.若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为 .
四、解答题
15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，求的周长的取值范围.
16．设数列满足，.
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前项和.
17．已知函数，其中a，b均为实数.
(1)若，在点处的切线过定点P，求P的坐标；
(2)若，，在处取得最小值，证明：.
18．如图（一），在中，于点，，四边形是平行四边形.将沿折起至的位置，如图（二）所示，连接，.
(1)证明：；
(2)是的中点，连接，，记二面角为，二面角为.
（i）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，；
（ii）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.

(1)求E的标准方程；
(2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图.
（i）连接PM，PN，证明：当时，；
（ii）连接OM，试问：当t取何值时，.
1．B
由复数的乘法运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
则，
则其虚部为.
故选：B
2．C
通过一元二次不等式及对数不等式求解，结合补集运算即可求解.
【详解】，
，
所以，
故选：C
3．B
代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案.
【详解】将 代入椭圆方程得，
整理得，
由 ，得 ，代入上式，
，
因此，点 和 的坐标分别为 和 ，
弦长 为，
由已知 ，有，
，
离心率 ，其中 ，代入 ，
因此：.
故选：B
4．B
根据条件确定函数的对称轴，由对称轴确定的最小值.
【详解】由题意，函数的一条对称轴为：.
由，.
因为，所以当时，取得最小值，为.
故选：B
5．A
先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得.
【详解】由，，
则，，
，
所以，
因，故，
则，
所以的面积为.
故选：A.
6．D
根据等比数列的性质，计算即可得出答案.
【详解】因为等比数列，，，
所以成等比数列，
因为，，所以，
所以，
所以.
故选：D
7．C
根据对称的性质求出点坐标，进而求出直线方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求得线段长度，最终求出.
【详解】
设，根据题意，点与点关于直线对称，
因此线段的中点在直线上，且与该直线垂直.
即，.化简得.
因为点Q在圆C上，所以，即.
两式结合，得，，即点坐标为.
所以直线的方程为.
设线段中点为，连接.
圆心到直线的距离.
又因为圆的半径为，所以.
.
所以.
故选：C
8．D
【详解】若是其中一个根，则有，但此时方程不足三个根，
所以，则方程，可得或，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，
画出函数和的图象，如图所示，
要使得方程恰有三个不同的实根，
则满足，且 ①，
由于，即，且，
因为在上单调递减，所以 ②，
由于，即，且，，
因为在上单调递增，所以 ③，
由①得：，整理并代入②③式，可得，所以D正确.
又因为，且，所以等号不成立，
综上所述，选项D正确.
故选：D.

9．ACD
由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D .
【详解】因为平面，平面，所以，故A正确；
正三棱柱的体积，故B错误；
取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，，
因为，为中点，所以，设，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若，
即，所以，故C正确；
，设，
即，
解得，与矛盾，所以不是共面向量，
即与是异面直线，故D正确.
故选：ACD
10．BCD
【详解】选项A：设直线，与抛物线联立，
整理得，设，，
，故选项A错误；
，
选项B：结合题意及抛物线的定义，有，
故，代入抛物线，得，
则.故选项B正确.
选项C：，
,
解得，直线，则轴，
此时.故选项C正确.
选项D：不妨设点A在第一象限，，
同理，，而，
故，
结合选项A运算的联立，，
故.
而，则.故选项D正确.

故选：BCD.
11．ABC
【详解】选项A：若，
即，，
故，
因为为三角形内角，所以，所以，.故选项A正确.
选项B：根据题意，由于，
即.故选项B正确.
选项C：若，则.
在中，由正弦定理得：，，
由于，则的长度的取值范围为.故选项C正确.
选项D：若，根据等面积法有，即.
由余弦定理得：，整理可有，
故，的周长.
又因为（当且仅当时取等号），解得，
故的周长，周长的最小值为.故选项D错误.
故选：ABC
12．
由诱导公式及二倍角公式即可得出.
【详解】由
又，得，所以，得.
故答案为：.
13．
由条件结合导数的几何意义列方程可得结果.
【详解】由题意，，所以，
，
由于在点，处的切线互相平行，所以，
即，，，检验符合.
故答案为：.
14．
根据相互独立事件的概率公式求出事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率，再结合三元基本不等式求解即可.
【详解】因为每次掷出点数为5的概率为，则每次掷出其他点数的概率为，故事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）利用正弦定理和余弦定理计算即可求得；
（2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围.
【详解】（1）在中，由，
得，
整理得，故.
又，所以；
（2）由（1）知，，
由于是锐角三角形，则，，
.
由正弦定理得，即，.
又，故的周长为
.
易知，且在单调递减，
可得，
解得的周长的取值范围为.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题可知，
两边同时除以得：，且，
故是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）易知，
前项和，
令，
故，
两式相减得，
则，
.
17．(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题知，
故.
，
故，
则切线方程为，
即，
显然有当时，，故其所过定点P为.
（2）证明：易知函数，
，.
又，.
令，得.
由，得，由，得
所以在上单调递减，上单调递增.
故.
故.
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，.
要证，只需证，.
令，，故，
则在上单调递增，
故.又，则.
18．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）是，
【详解】（1）证明：由题意得，，
.
，平面，，
平面.
又平面，.
（2）（i）证明：当时，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，故，，.
设的中点为Q，易知的外接圆的圆心恰为点Q，而的外接圆的圆心为BC的中点，分别过两个圆心作对应平面的垂线，则交点为O，根据已知条件，得点，
故，，.
又O，C，，D四点不共线，.
（ii）解：为定值.
如图，以点为坐标原点，，所在直线为轴，轴，以垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，且.
，，，，其中.
易得平面和平面的一个法向量.
设平面的一个法向量，
有，令，得，
设平面的一个法向量，
有，令，得.
故，.
而，.
故.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为，
即，又右焦点对应的极线方程为，.
又，，联立解得，，.
的标准方程为：.
（2）（i）由，可得，
点P关于E所对应的极线方程为，
设，，，直线，
代入椭圆方程整理得：，
显然，则，，
则，.
，B，M三点共线，则，得，解得，
则点，同理得点.
，.
（ii）解：，，
因，故，则有.
由关于E对应的极线为直线，设直线，
代入椭圆方程整理得：，
由韦达定理得：，.
则，.
，B，M三点共线，，即，解得，
则点，，，
由可得，
整理得，
即，
故，
化简得，
即，
又，则有，解得.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
B
A
D
C
D
ACD
BCD
题号
11









答案
ABC