2026安徽省皖江名校联盟高三上学期9月开学摸底考试数学含解析

这是一份2026安徽省皖江名校联盟高三上学期9月开学摸底考试数学含解析，共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，所以.
故选：D.
2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. 1B. 2C. D. -2
【答案】B
【详解】由，
则，
所以复数的虚部为2．
故选：B．
3. 已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【详解】由题意，
，
则，向量，的夹角为120°，
故选：C.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由于，即，
，即，
，即，
继续比较，，
，
所以．
故选：B．
5. 已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题设，则，故，
所以双曲线离心率为.
故选：D
6. 将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】已知直三棱柱底面为直角三角形，且直角边分别为和，
根据勾股定理，底面三角形的斜边为，
设底面三角形的内切圆半径为，根据三角形面积公式（其中为三角形直角边），
又三角形面积公式（其中为三角形三边，为内切圆半径），
所以，即，解得，
所以直径为，小于直三棱柱的高.
因为球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高，
所以球的最大半径为.
故选：A
7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 的图象关于对称D. 的图象关于对称
【答案】D
【详解】对于A，因
，即，故函数关于点成中心对称，
故函数关于原点成中心对称，即是奇函数，故A不合题意；
对于B，因的定义域为，关于原点对称，
且，即是偶函数，故B不合题意；
对于C，设，由，
即，故函数的图象关于对称，故C不合题意；
对于D，设，由，
显然不成立，故的图象不关于对称，即D符合题意.
故选：D.
8. 已知内角A，B，C的对边成等比数列，，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由题设，根据余弦边角关系有，
所以，整理得，则，
所以，且，故为等边三角形，面积为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图，则（ ）

A. 的最小值为B. 的最小正周期为π
C. 是奇函数D.
【答案】ABC
【详解】由可知，，所以的最小值为，所以A正确；
由图可知的最小正周期为，所以B正确；
又，所以，又，所以，所以，
因为，所以，因为，所以，
所以，，为奇函数，所以C正确；
，所以D错误.
故选：ABC
10. 在正三棱台中，D，E分别为，的中点，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. 平面D. 平面
【答案】BD
【详解】对于A，如图，因为正三棱台，则为正三角形，点是的中点，则，
若平面，因平面，则平面平面，
而正三棱台的底面不与侧面垂直，故平面不成立，即A错误；
对于B，因为正三棱台，则，
由余弦定理易得，故，由A得，
因平面，故平面，即B正确；
对于C，若平面，因平面，而平面平面，
故，而在等腰梯形中，只要，
例如，则，即推不出平行四边形，从而得不到，故C错误；
对于D，因D，E分别为，中点，则，因平面，平面，故平面，即D正确.
故选：BD.

11. 已知函数区间内有两个极值点，，且，则（ ）
A. B. 在区间上单调递减
C. D.
【答案】BD
【详解】由题意函数在区间内有两个极值点，
则,即，故，所以，A错误；
，，
当，，，所以在区间上单调递减，B选项正确；
又，
所以，C错误；
，
因为，故，
故，D 正确，
故选：BD．
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为_____．
【答案】
【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法，
再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法，
根据分步乘法计数原理可知，共种分法；
小李和小明分到一个场馆的分法有种；
故小李与小明分到一个场馆的概率为．
故答案为：．
13. 已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为_______．
【答案】
【详解】由抛物线过点，得，抛物线的焦点，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
14. 已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】由函数，，得，
设切点坐标为，，则切线的斜率，
所以切线方程为，其中，
即切线方程为，
整理可得，
又因直线与曲线相切，
所以，，
设，，则，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故函数在时取得极小值，且当时，故，
综上所述，函数的值域为，故实数的取值范围是.
故答案为：.
解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，的前项和分别为，，若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【小问1详解】
依题意，，，又，则，
解得，因此，
所以数列，的通项公式分别为.
【小问2详解】
由（1）得，，，
由，得，而，所以.
16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）求空气质量优良的概率的估计值；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
【答案】（1）
（2）表格见解析 （3）能
【小问1详解】
由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；
【小问2详解】
列联表为：
【小问3详解】零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
根据表中数据，得
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以判定一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围．
【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增
（2）
【小问1详解】
函数的定义域为.
，因此，
当时，，故单调递减；
当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增.
综上，在和上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
函数，定义域为.
，当时，，因此是的一个极值点.
因为有三个极值点，因此在上有两个不同的根，且.不妨设.
当时，该方程只有1个根，不满足题意，故.
因此方程可等价于.
设，，上述方程有两个不同的根，等价于该两函数的图像有两个交点.
当时，由于，，且单调递增，而单调递减，故两函数图像在上没有交点，不符合题意，故.
则，因此图像的一条过原点的切线为，其中切点为.
故，解得.即该切线为.
因此，只有当时，函数与才有两个交点，且.
此时，有三个根，即由三个极值点.
因此.
故.
18. 如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
因为为的中点，，且，所以，
因为，，所以，即，
由，可得四边形是矩形，，
因为沿折起至的位置，所以，
由，，得，所以，
由，可得平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
如图所示，取的中点，的中点，连接，
由是中点，是中点得，由（1）得，则，
因为，中点，所以，
因为平面平面，平面平面，，面，面，
所以平面，由平面，平面，可得，，
综上，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
易得，
则，，，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，即，，
令，解得，，因此，
则，即，，
令，解得，，因此，
，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
（3）过点作，垂足为，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【小问1详解】
由已知得，即，得，
故，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）可得，
由题意知均存在且不等于0，
则设直线的方程为：，
则．
设直线方程为：
与椭圆方程联立得：，，
所以，因为，
故，因此．
同理．
斜率为
，
故.
【小问3详解】
由（2）知：直线的方程为：，
即
所以直线过定点．
因为，由几何意义知：，
故的最大值为．

空气质量
锻炼人次
优良
7
26
37
轻度污染
6
7
8
中度污染
7
2
0
空气质量
人次≤400
人次
合计
优良
污染
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
空气质量
人次≤400
人次
合计
优良
33
37
70
污染
22
8
30
合计
55
45
100