绵阳南山中学实验学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学含答案解析

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二、填空题
12． 13．4 14.
14．【详解】由在上单调递增，且过点，
在上，在上单调递减，在上单调递增，
结合解析式，其大致图象如图，
随变化，的图象只在轴上平移，
令过且平行于的直线为，
则，所以，故，
联立与，消去y得，
所以或，
对任意，都有成立，由图知，在上不单调，必有，
需保证，时有，
所以，
，整理得，所以，
综上，实数的取值范围是.
三、解答题
15．（1）由不等式的解集为知：关于的方程的两根为和，且
由根与系数关系，得，∴，
所以原不等式化为，
当时，原不等式化为，且，解得或；
∴当时，原不等式的解集为；
（2）假设存在满足条件的实数，
由（1）得：，∴，
∴，
令，，则∴对称轴为：，
又，∴，，∴函数在递减，
∴时，最小为：，解得：
16．（1）当时，，解得．
当时，由，得，
则，则．
因为，所以，所以是以2为首项，4为公差的等差数列，
则．
（2）由（1）可知，
则
．
17．（1）当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
18．（1）由题设，则且，
当，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增；
（2）由题设，令，则，
对时，恒成立，且，只需，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，；
（3）由（2）取，在上，
令，，则，即，
所以，则，得证.
19．（1）证明：因为方程有三个根，
所以方程即为，
变形为，
比较两个方程可得.
（2）（i）证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
联立上两式可得，解得，
又，综上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，则，
，当时，，
在上单调递增，，
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
A
A
C
A
B
ABC
BD
ABD