湖北省武汉市2026届高三上学期九月调研考试数学答案

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这是一份湖北省武汉市2026届高三上学期九月调研考试数学答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】或，，；
2．若复数满足，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，得，，，
，得；
3．若双曲线的一条渐近线方程为，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线，令，解得，于是，
解得；
4．正方形的边长为 1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形
各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前 11 个正方形的面积和为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意：，，，可知它们的面积依次构成以为首项，为公比的等比
数列，则前个正方形的面积和为；
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5．若函数是奇函数，则实数 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于是奇函数，显然在函数的定义域内，，知；
6．将个不同的小球放入个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】第一步：先从个不同的盒子中选择两个盒子，有种
第二步：把个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个球，有 ,
根据分布乘法原理：恰有两个盒子为空的放法种数为：；
7．已知内角满足，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，于是
,则， ;
8．设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线
分别和椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
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如图所示，由于，不妨设， ,根据椭圆的定义可知，， ,设
，则，于是
在中，由勾股定理可得： ……①
在中，由勾股定理可得： ……②
① ②,可得，于是；
在中，，即，解得；
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则( )
A．的最小正周期为
B．
C．的图象关于点中心对称
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则是区间上的增函数
【答案】ACD
【解析】选项 A：的最小正周期 ,选项 A 正确；
选项 B：，将最低点代入得，得，，解得
，由于，故，，选项 B 错误；
选项 C：由选项 B 可知，，选项 C 正确；
选项 D：，当，，是增区间的一个子集，选
项 D 正确；
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10．已知正实数满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】选项 A：当，，成立，但是反之，不成立，如，
选项 A 错误；
选项 B：，选项 B 正确；
选项 C：由于，而，不一定可以得出，选项 C 错误
选项 D：，选项 D 正确；
11．设是是个随机试验中的两个事件，，，( )
A．事件相互独立 B．若，则
C． D．若，则必有
【答案】BCD
【解析】由条件，得 ,
由于 ,
不妨设，，于是 , ,
代入可得，
选项 A：，由于无法推断是否等于，
则事件相互独立无法确定，选项 A 错误；
选项 B：若，可解得，
，选项 B 正确；
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选项 C：，得，由于，
则，由于，得，则可以得到，
选项 C 正确；
选项 D：若，，即 ,
整理得 ,
将 , , ，代入
解得， , ,选项 D 正确；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．平面向量 , 满足，，，则 _______．
【答案】
【解析】，得得，；
13．已知等差数列的公差，若构成等比数列，则 _______．
【答案】
【解析】成等比，则，，由于，得，
于是；
14．在四棱锥中， , , , ,
且平面，过点的平面与侧棱 , , 分别交于点 , ， ,
若四边形为菱形，则 _______．
【答案】
【解析】
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根据题意：补全四边形，根据题意，易知是边长为的正三角形，为的中点，为线段上靠近
的四等份点，以为基底，平面 ,及其 ,则 , , 两两垂直，且
, ,不妨设，
则 ,过点的平面与侧棱 , , 分别交于点 , ， ,
设 , , ,则，
于是 , ，
，由于四边形为菱形，
则 ,可列方程组：，解得，
则 , , ,得 ,知
,于是 ;
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力。某省开
展年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括名经验丰富教师（年龄在岁及以上的教
师），名经验不丰富教师（年龄在岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种
情况，统计并得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
（2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取名教师，再从这名教师中随机抽取人进行调研，设抽
取的人中经验不丰富教师的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
【解析】（1）零假设为这次考核结果与经验丰富与否相互独立；
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
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根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即
能认为这次考核结果与经验丰富与否相互独立；
（2）根据题意，采用分层抽样的方法随机抽取名教师中，“经验丰富教师”有人，
“经验不丰富教师” 人，抽取的人中经验不丰富教师的人数为，
则服从超几何分布，且 , , ，
则的分布列为 , ，数学期望 ;
16．（15 分）如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足．
（1）证明：平面；
（2）若 , 平面， , ，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)如（图 1）所示，取棱的中点 ,则 , ,则，四边形为平行
四边形， , 平面；平面 ,则平面 ,在中， , 分别为线段 ,
的中点,则 ,同理可证明平面 ,
, 面 ,则面平面 , 平面，平面；
（2）由于平面， ,建立以为空间原点，分别为的空间直角坐标系，如图 2
所示：则 , , , ;
， , , ,设平面的法向量为，
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则 , ,得，不妨设，则，，则，，于是
，设直线与平面所成角为 ,则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17．（15 分）在中，，，．
（1）求角的大小；
（2）求；
（3）若线段上点满足，求的长．
【解析】（1）由于，切化弦得：，，
，由于 , ，
及其于是 , 解得 ,则角的大小；
（2）在中，由余弦定理：将，，代入，解得
，于是；
（3）由（2）知，，；
在中，，
,同理，
在中，由正弦定理： ,得 ;
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18．（17 分）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于两点，点，
当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线过点，求的面积；
（3）若直线平分，求直线的斜率．
【解析】(1)直线垂直于轴时，，根据抛物线的定义，解得，则抛物线的
标准方程；
(2)若直线过点（如图 18-1），直线过点 , ,此时，设，，联立方程
，消去得：，则，
解得，的面积；
（3）不妨设抛物线上的点，，，
则，由于三点均在直线上，则，得 …..①
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直线平分， , ，得 ,
，，，得，得 …..②，结合①
②得，于是；
19．（17 分）已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和．
（1）求实数的取值范围；
（2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求的最大值；
（3）若函数有三个零点，其中，证明：．
【解析】（1），显然，又因为在区间和各恰有一
个零点，则令在区间和各恰有一个零点，于是，解得，实
数的取值范围是；
（2）由（1）知，根据韦达定理；
，
在点处的切线斜率，
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由点斜式，
令，得，则，
于是，，令，，，令，得
，于是在上递增，上递减，；
故当时，的最大值为；
（3）记的导函数为，有，显然是增函数．
又时，，故存在，使得．当时，
单调递减；当时，单调递增．又时，
时，．
所以存在使得．
此时在和单调递增，在单调递减．
所以．
设曲线在点处的切线的方程为，则．
设函数．
，所以单调递减，又．
所以时，单调递增；所以时，单调递减；
故，有．
设直线与直线交点的横坐标为．
根据斜率，有．
相同地，设曲线在点处的切线的方程为，则．
设函数．由时，，可得．
设直线与直线交点的横坐标为，由．
的斜率，有．
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所以．
又，根据，有．
即，可得，所以．
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