湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷-A4

这是一份湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷-A4，共23页。
A．B．C．D．
2．（3分）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．三角形具有稳定性
3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与△ABC全等的图形序号是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．只有②
4．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0D．x＞1
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．（3分）计算（﹣2xy2）3＝＝，其中第①步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则B．乘法分配律
C．积的乘方法则D．同底数幂的乘法法则
7．（3分）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b）B．（a+2 b）（2 b﹣a）
C．（﹣a+b）（b﹣a）D．（﹣a﹣b）（a+b）
8．（3分）已知分式为常数）满足表格中的信息，则ab的积是（ ）
A．﹣m﹣3nB．6C．4D．2
9．（3分）在平面直角坐标系中，将△ABC按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于x轴对称，第2次关于y轴对称，第3次关于x轴对称，⋯⋯，依次类推．若点，则将△ABC经过第2025次轴对称变换后所得的点A的对应点坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，边长为2a（a＞0）的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF交于点G，记四边形CFGE的面积为S，则S的值是（用含a的代数式表示）（ ）
A．a2B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置。
11．（3分）分解因式：ax+ay＝ ．
12．（3分）化简：＝ ．
13．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，将数0.000000007用科学记数法表示为 ．
14．（3分）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a8﹣2a6﹣10的值是 ．
15．（3分）关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论：
（1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6；
（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4；
（4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数．
其中正确结论的序号有 ．
16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是BC，AC上的动点，且AE＝CD，当AD+BE最小时，∠AEB的大小是 度．
三、解答题（共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）（1）计算：（2x）3（﹣5xy2）；
（2）计算：．
18．（8分）（1）因式分解：3ax2+6axy+3ay2；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）已知关于x的分式方程．
（1）若这个分式方程的解是x＝2，求b的值；
（2）若分式方程的解是非负数，直接写出b的取值范围．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB边上一点，AE＝AC．
（1）求证：DE＝DC；
（2）直接写出△BDE的周长是 ．
22．（10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
（1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求m的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值 ．
23．（10分）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为a，b的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出a，b的关系式为：
图1： ；
图2： ；
图3： ．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝ ；
②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝ ；
（2）若3a+2b＝8，ab＝2，则求a，b．
拓展延伸：
如图4，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABFG和正方形BCDE．若△ABC的面积为6，CF＝1，求正方形ABFG的边长．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，原点为O，一条直线交x轴负半轴和y轴正半轴于点A，B，点C在线段AB上，点D在线段OB上，线段CD的垂直平分线交OA于点E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）．
（1）若α＝30°，则解决以下问题：
①当点D与原点O重合，如图2，求证：AC＝BC；
②如图3，若DC∥OA，连BE，求证：AE＝BE；
（2）如图4，过点D作x轴的平行线，交AB于点F，求证：BF＝2AC．
2024-2025学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．（3分）汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据成轴对称的定义，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
汉字“最”，“汉”，“阳”无法沿着某条直线翻折，使其完全重合，
故ACD选项不符合题意．
汉字“美”沿着中心竖直方向的直线翻折，直线两边的部分可以完全重合，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对称轴的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
2．（3分）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．三角形具有稳定性
【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案．
【解答】解：安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形具有稳定性．
3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与△ABC全等的图形序号是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．只有②
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：根据SAS可证第②个三角形和△ABC全等，根据AAS可证第③个三角形和△ABC全等，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠0C．x＞0D．x＞1
【分析】根据分式的分母不为零解答即可．
【解答】解：由分式有意义的条件可知：x≠0，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6．（3分）计算（﹣2xy2）3＝＝，其中第①步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则B．乘法分配律
C．积的乘方法则D．同底数幂的乘法法则
【分析】根据积的乘方法则即可求得答案．
【解答】解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3，
其运算依据是积的乘方法则，
故选：C．
【点评】本题考查积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
7．（3分）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b）B．（a+2 b）（2 b﹣a）
C．（﹣a+b）（b﹣a）D．（﹣a﹣b）（a+b）
【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：A．（2a+b）（a﹣2b），只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．（a+2b）（2b﹣a）＝（2b+a）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．（﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）＝b2﹣2ab+a2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）已知分式为常数）满足表格中的信息，则ab的积是（ ）
A．﹣m﹣3nB．6C．4D．2
【分析】根据表格可知：当x＝﹣4时，分式无意义，列出关于m的方程，解方程求出m，再根据当x＝4时，，列出关于n的方程，解方程求出n，从而求出分式，然后把x＝a代入，求出a的值，再把a＝6代入，求出b，最后求出ab即可．
【解答】解：观察表格可知：当x＝﹣4时，分式无意义，
∴2×（﹣4）﹣m＝0，
﹣8﹣m＝0，
解得：m＝﹣8，
当x＝4时，，
∴4+n＝0，
∴n＝﹣4，
∴分式为，
∴当x＝a时，，
2a+8＝3a﹣12，
3a﹣2a＝8+12，
a＝20，
检验：当a＝20时，2a+8≠0，
∴a＝20是原分式方程的解，
当x＝6时，，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了求分式的值和分式无意义的条件，解题关键是熟练掌握分式无意义的条件．
9．（3分）在平面直角坐标系中，将△ABC按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于x轴对称，第2次关于y轴对称，第3次关于x轴对称，⋯⋯，依次类推．若点，则将△ABC经过第2025次轴对称变换后所得的点A的对应点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据点A的坐标，依次求出每次轴对称变换后所得对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A的坐标为（），
所以第1次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）；
第2次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）；
第3次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）；
第4次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）；
第5次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）；
…，
由此可见，从第1次轴对称变换开始，每经过四次轴对称变换，点A的对应点坐标循环出现，
又因为2025÷4＝506余1，
所以第2025次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）；
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、点的坐标变化规律及关于x轴、y轴对称的点的坐标，能根据题意得出从第1次轴对称变换开始，每经过四次轴对称变换，点A的对应点坐标循环出现是解题的关键．
10．（3分）如图，边长为2a（a＞0）的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF交于点G，记四边形CFGE的面积为S，则S的值是（用含a的代数式表示）（ ）
A．a2B．C．D．
【分析】连接EF，依题意得AE＝√5a，证明△ABE和△BCF全等得AE＝BF＝，∠BAE＝∠CBF，进而可证明AE⊥BF，根据三角形的面积公式求出BG＝，则GF＝，再由勾股定理求出EG＝，继而得S△CEF＝，S△GEF＝，然后根据S＝S△CEF+S△GEF即可得出答案．
【解答】解：连接EF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，边长为2a，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠ABC＝∠C＝90°，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴BE＝CE＝CF＝a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF＝，∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
即AE⊥BF，
∵S△ABE＝AE•BG＝BE•AB，
∴BG＝＝＝，
∴GF＝BF﹣BG＝＝，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴S△CEF＝CE•CF＝，S△GEF＝EG•GF＝＝，
∴S＝S△CEF+S△GEF＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置。
11．（3分）分解因式：ax+ay＝ a（x+y） ．
【分析】观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．
【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
【点评】此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
12．（3分）化简：＝ ．
【分析】首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案．注意运算结果需化为最简．
【解答】解：
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的加减运算法则．此题比较简单，注意通分，注意运算结果需化为最简．
13．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，将数0.000000007用科学记数法表示为 7×10﹣9 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（3分）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a8﹣2a6﹣10的值是 ﹣16 ．
【分析】根据题意，依次写出a1，a2，a3，…，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…，
所以；
当n＝6时，
．
当n＝8时，
，
所以a8﹣2a6﹣10＝36﹣2×21﹣10＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出是解题的关键．
15．（3分）关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论：
（1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6；
（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4；
（4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数．
其中正确结论的序号有 （1）（3）（4） ．
【分析】运用因式分解和整式乘法知识进行逐一计算、变形、求解．
【解答】解：（1）∵m+n＝﹣1，
∴n＝﹣m﹣1，
∴x2+mx+n
＝x2+mx﹣m﹣1
＝x2﹣1+mx﹣m
＝（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）
＝（x﹣1）（x+1+m），
∴二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1），
∴结论（1）正确；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2，
或x2+mx+n＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴m＝6或m＝﹣6，
∴结论（2）不正确；
（3）∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴m＝q﹣2，n＝﹣2q，
∴2m+n＝2（q﹣2）﹣2q＝2q﹣4﹣2q＝﹣4，
即2m+n＝﹣4，
∴结论（3）正确；
∵x2+mx+n
＝x2+mx++n﹣
＝（x+）2+n﹣，
∵（x+）2≥0，
∴当n﹣＞0，
即m2﹣4n＜0时，
无论x取何实数，x2+mx+n总是正数，
∴结论（4）正确，
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】此题考查了因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用因式分解和整式乘法知识．
16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是BC，AC上的动点，且AE＝CD，当AD+BE最小时，∠AEB的大小是 67.5 度．
【分析】过点C作CF⊥BC，且CF＝AB，连接DF，AF，设AF交BC于点H，证明△CFD和△ABE全等得DF＝BE，∠CDF＝∠AEB，则AD+BE＝AD+DF，根据“两点之间线段最短”得AD+DF≤AF，进而得当点A，D，F在同一条直线上时，AD+BE为最小，此时∠CDF＝∠CHF＝∠AEB，然后根据∠ACF＝135°，CF＝AB＝AC，∠CAF＝∠CFA＝22.5°，则∠CHF＝67.5°，由此即可得出答案．
【解答】解：过点C作CF⊥BC，且CF＝AB，连接DF，AF，设AF交BC于点H，如图所示：
∴∠FCD＝∠BAC＝90°，
在△CFD和△ABE中，
，
∴△CFD≌△ABE（SAS），
∴DF＝BE，∠CDF＝∠AEB，
∴AD+BE＝AD+DF，
根据“两点之间线段最短”得：AD+DF≤AF，
∴当点A，D，F在同一条直线上时，AD+DF为最小，即AD+BE为最小，
当点A，D，F在同一条直线上时，∠CDF＝∠CHF＝∠AEB，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，
∵CF⊥BC，
∴∠ACF＝135°，
∴CF＝AB＝AC，
∴∠CAF＝∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝22.5°，
∴∠CHF＝∠ACB+∠CAF＝45°+22.5°＝67.5°，
∴当AD+BE为最小时，∠AEB＝∠CHF67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，理解两点之间线段最短是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
三、解答题（共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）（1）计算：（2x）3（﹣5xy2）；
（2）计算：．
【分析】（1）利用幂的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝8x3•（﹣5xy2）＝﹣40x4y2；
（2）原式＝y2﹣y+．
【点评】本题考查完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（8分）（1）因式分解：3ax2+6axy+3ay2；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（2）1
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算和因式分解，解题的关键是掌握运算法则和完全平方公式．
19．（8分）已知关于x的分式方程．
（1）若这个分式方程的解是x＝2，求b的值；
（2）若分式方程的解是非负数，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据方程的解满足方程，代入即可；
（2）根据分式方程的解是非负数，可得出关于b的不等式，进而得出答案．
【解答】解：（1）将x＝2代入原方程得，
＝﹣1，
解得：b＝﹣3．
（2）解方程得，x＝，
∵分式方程的解是非负数，
∴≥0，且≠3，
解得：b≤3且b≠﹣6．
【点评】本题主要考查分式方程的解，利用方程的解满足方程得出关于b的方程是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB边上一点，AE＝AC．
（1）求证：DE＝DC；
（2）直接写出△BDE的周长是 7 ．
【分析】（1）先依据“SAS”判定△EAD和△CAD全等，进而根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先求出BE＝2，结合（1）的结论得BD+DC＝BD+DE＝5，由此可得出△BDE的周长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EAD和△CAD中，
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴DE＝DC；
（2）解：∵AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝2，BD+DC＝BC＝5，
∵DE＝DC，
∴BD+DC＝BD+DE＝5，
∴△BDE的周长为：BE+BD+DE＝2﹣5＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
22．（10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
（1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求m的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值 4480 ．
【分析】（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合商场首次购进甲、乙两种商品的件数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种商品每件的进价），再将其代入（x+8）中，即可求出乙种商品每件的进价；
（2）①利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值；
②设购入n件甲种商品，总费用为w元，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可找出w关于n的函数关系式，结合w的值与n无关，可求出m的值，再将其代入w中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是（x+8）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48（元）．
答：甲种商品每件的进价是40元，乙种商品每件的进价是48元；
（2）①根据题意得：（40+3m）×+（48﹣2m）×＝4500，
解得：m＝2．
答：m的值为2；
②设购入n件甲种商品，总费用为w元，
根据题意得：w＝（40+3m）n+（48﹣2m）（100﹣n）＝（5m﹣8）n+4800﹣200m，
∵w的值与n无关，
∴5m﹣8＝0，
解得：m＝，
∴w＝（5m﹣8）n+4800﹣200m＝（5×﹣8）n+4800﹣200×＝4480．
故答案为：4480．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出w关于n的函数关系式．
23．（10分）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为a，b的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出a，b的关系式为：
图1： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
图2： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；
图3： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝ 13 ；
②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝ 4 ；
（2）若3a+2b＝8，ab＝2，则求a，b．
拓展延伸：
如图4，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABFG和正方形BCDE．若△ABC的面积为6，CF＝1，求正方形ABFG的边长．
【分析】问题呈现：用代数式表示各个图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；
（1）①利用（m+n）2＝m2+n2+2mn代入计算即可；
②利用（x+y）2＝x2+2xy+y2代入计算即可；
（2）利用代入法进行计算即可；
拓展延伸：由题意得到ab＝12，a﹣b＝1，进而求出结果即可．
【解答】解：问题呈现：
图1中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，两个阴影正方形的面积分别为a2，b2，两个空白长方形的面积为2ab，
所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图2中大正方形的面积为a2，两个阴影正方形的面积分别为（a﹣b）2，b2，两个空白长方形的面积为2b（a﹣b）
所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
图3中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个空白长方形的面积为4ab，
所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（1）①∵mn＝4，m2+n2＝5，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝5+8＝13，
故答案为：13；
②∵x+y＝6，x2+y2＝28，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，
即36＝28+2xy，
∴xy＝4，
故答案为：4；
（2）∵3a+2b＝8，即b＝，又ab＝2，
∴a（8﹣3a）＝4，
解得a＝2或a＝，
当a＝2时，b＝1，
当a＝时，b＝3，
即a＝2，b＝1或a＝，b＝3；
拓展延伸：
设正方形ABFG的边长为a，正方形BCDE的边长为b，由题意得S△ABC＝ab＝6，即ab＝12，a﹣b＝CF＝1，
解得a＝4或a＝﹣3（舍去），
即正方形ABFG的边长为4．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，原点为O，一条直线交x轴负半轴和y轴正半轴于点A，B，点C在线段AB上，点D在线段OB上，线段CD的垂直平分线交OA于点E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）．
（1）若α＝30°，则解决以下问题：
①当点D与原点O重合，如图2，求证：AC＝BC；
②如图3，若DC∥OA，连BE，求证：AE＝BE；
（2）如图4，过点D作x轴的平行线，交AB于点F，求证：BF＝2AC．
【分析】（1）①当点D与原点O重合时，∠BAO＝∠COE＝α＝30°，得出AC＝OC，可证得△BOC是等边三角形，得出BC＝OC，即可证得结论；
②设线段CD的垂直平分线EF交AB于点F，连接DF，则CE＝DE，CF＝DF，EF⊥OA，再证得△CDE≌△CDF（ASA），△BED≌△BEF（SSS），即可证得结论；
（2）在BF上取点G，使∠EGA＝∠CAE＝α，连接EG、DG，则EG＝EA，过点D作∠HDF＝∠BFD＝α交AB于点H，则HD＝HF，∠DHG＝2α，利用直角三角形性质可得∠FBD＝∠BDH＝90°﹣α，推出BF＝2HB＝2HD，再证得△AEC≌△GED（SAS），得出∠EGD＝∠EAC＝α，DG＝AC，即可证得结论．
【解答】证明：（1）①当点D与原点O重合时，∠BAO＝∠COE＝α＝30°，
∴AC＝OC，
∵∠AOB＝90°，
∴∠CBO＝90°﹣30°＝60°，∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBO＝∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC，
∴AC＝BC；
②如图，设线段CD的垂直平分线EF交AB于点F，连接DF，
则CE＝DE，CF＝DF，EF⊥OA，
∴∠DCE＝∠CDE，∠BCD＝∠FDC，
∵DC∥OA，
∴∠DCE＝∠AEC，∠CDE＝∠DEO，∠BCD＝∠BAO，
∵∠BAO＝∠CDE＝α＝30°，
∴∠BAO＝∠AEC＝∠DEO＝∠FDC＝∠FCD＝∠DCE＝∠CDE＝30°，
∴AC＝CE，
又∵CD＝CD，
∴△CDE≌△CDF（ASA），
∴CE＝CF＝DE＝DE，
∵∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF＝EF，
∴∠ABO＝∠BDF＝60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF＝DF＝BD＝CF，
在△BED和△BEF中，
，
∴△BED≌△BEF（SSS），
∴∠EBD＝∠EBF＝∠ABO＝30°，
∴∠EBF＝∠BAO，
∴AE＝BE；
（2）如图，在BF上取点G，使∠EGA＝∠CAE＝α，连接EG、DG，则EG＝EA，
过点D作∠HDF＝∠BFD＝α交AB于点H，则HD＝HF，∠DHG＝2α，
∵∠BFD＝∠BAO＝α，
∴DF∥OA，
∴∠BDF＝∠BOA＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣α，∠BDH＝90°﹣∠HDF＝90°﹣α，
∴∠FBD＝∠BDH，
∴HD＝HB＝HF，
∴BF＝2HB＝2HD，
∵线段CD的垂直平分线交OA于点E，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC＝α，
∴∠CED＝180°﹣2α，
∵∠AEG＝180°﹣2α，
∴∠AEG＝∠CED，即∠AEC+∠CEG＝∠CEG+∠GED，
∴∠AEC＝∠GED，
在△AEC和△GED中，
，
∴△AEC≌△GED（SAS），
∴∠EGD＝∠EAC＝α，DG＝AC，
∴∠DGH＝∠EGD+∠AGE＝2α，
∴∠DGH＝∠DHG，
∴DG＝DH＝AC，
∴BF＝2AC．
x的取值
﹣4
4
a
6
分式的值
无意义
0
b
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
A
C
B
D
B
C
x的取值
﹣4
4
a
6
分式的值
无意义
0
b