重庆市西北狼教育联盟2026届高三上学期开学学情诊断数学试卷（Word版附解析）

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一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 已知复数 满足 （其中 i 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题 ， ，则 是（ ）
A ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. －7 B. 7 C. －5 D. 5
4. 若一组样本数据为 ， ， ，另一组样本数据 ， ， 的方差
为 8，则 ， ， 这组数据的方差为（ ）
A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
5. 已知 是减函数，则函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
8. 已知定义域均为 函数 ， 满足 ， ， ，若
，则下列说法错误的是（ ）
A. 图象关于 y 轴对称 B. 为 的一个周期
C. D.
二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知在 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 只有第 3 项的二项式系数最大
C. 的系数为 D. 各项系数之和为
10. 某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由 6 人组成的一支队伍参加一项游
戏．甲班的队伍由 2 个女生和 4 个男生组成，乙班的队伍由 4 个女生和 2 个男生组成，为了增加游戏的趣
味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以 分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男
生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以 表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列
结论正确的是（ ）
A. 事件 与事件 互斥 B. 事件 与事件 B 相互独立
C. D.
11. 已知函数 ，则（ ）
A. ，使得 为单调函数
B. ， 图象恒有对称中心
C. 当 时，
D. 若 ， ， 是方程 的三个不同的根，则
三．填空题：本题共 3 小题，共 15 分．
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12. 已知幂函数 在 上是减函数，则实数 ______．
13. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着
中华文化的丰富内涵．现从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加围棋比赛，则所选 3 人中至多有 1 名女生
的概率为______．
14. 已知 ，则 的最小值为______．
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ，其中 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，
奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了 200 份试卷进行调查，这 200 份试卷的成绩（卷面共
100 分）频率分布直方图如图所示.
（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；
（2）将此次竞赛成绩 近似看作服从正态分布 （用样本平均数和标准差 分别作为 的近似
值），已知样本的标准差 .现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取 100 人，记这 100 人中知识竞赛
成绩超过 88 分的学生人数为随机变量 ，求 的数学期望；
（3）从得分区间 和 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10 份试卷，再从这 10 份样本中随机
抽测 3 份试卷，若已知抽测的 3 份试卷来自于不同区间，求抽测 3 份试卷有 2 份来自区间 的概率.
参考数据：若 ，则 ，
.
17. 已知函数 ．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程；
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（2）求 的单调区间；
（3）若 ，使 成立，求 的取值范围．
18. 电影《哪吒 2》上映以来引起了全社会甚至全世界 关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热
门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100 分）之间可能存在一定的
关系，以下是随机抽取的 6 个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
线上宣传投入金额 （万元） 20 30 40 50 60 70
游客满意度评分 （分） 60 65 70 78 80 85
（1）根据表中所给数据，用相关系数 加以判断 与 两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；
（2）《哪吒 2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决
赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为 ；
①当 时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为 ，求 的分布列和期望；
②甲以 获胜的概率为 ，求 的最大值．
参考公式：相关系数 ，参考数据： ．
19. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数 ，若存在正数 m， 满
足 ， ，则称 具有性质 T．已知二元函数
．
（1）若 恒成立，求 a 的取值范围．
（2）已知正数 m， 满足 ．
（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）证明： 具有性质 T．
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