2025_2026学年浙江省宁波海曙储能学校丽园校区九年级上册数学开学考试卷

这是一份2025_2026学年浙江省宁波海曙储能学校丽园校区九年级上册数学开学考试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
储能丽园 2025 学年第一学期九年级作业检查数学试题
总分：100 分 时间：90 分钟
一、单选题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分）
1 ．下列函数中，为二次函数的是( )
A ． B ．y = 3 (x -1)2 C ．y = ax2 + bx + c D ．y = -3x
2 ．已知ΘO 的半径是 5 ，OP = 4 ，则点 P 与ΘO 的位置关系是( )
A ．点 P 在圆上 B ．点 P 在圆内 C ．点 P 在圆外 D ．不能确定
3 ．将抛物线y = 2 (x -1)2 + 3 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的 新抛物线的表达式为( )
A ．y = 2(x + 1)2 + 2 B ．y = 2(x - 3)2 + 4
C ．y = 2(x + 1)2 + 4 D ．y = 2(x - 3)2 + 2
4 ．已知点A(0, y1 ) 和点B(3, y2 ) 在二次函数y = (x -1)2 的图象上，则y1 与y2 的大小关系是 ( )
A ．y1 > y2 B ．y1 = y2 C ．y1 < y2 D ．无法确定
5．如图，在已知的 △ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B 、C 为圆心，以大于BC 的长 为半径作弧，两弧相交于点 M、N；@作直线MN 交AB 于点 D，连结CD ，若CD = AD ， 上B = 25° ,则下列结论中错误的是( )
A ．上ACB = 90° B ．上CAD = 65°
C ．上ACD = 50° D ．点 D 为△ABC 的外心
6 ．如图，将 △ABC 绕点B 顺时针旋转90° 得到 △DBE ，点A ， C 的对应点分别为点D ，E ， AC 的延长线分别交BD ，DE 于点F ，G ，下列结论一定正确的是( )
A ．BF = DF B ．上CBD = 上EBD C ．CB PDE D ．AG 丄 DE
7．二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与x 轴交于点(1, 0) ，(-3, 0)，则关于x 的方程ax2 + bx + c = 0 的解为( )
A ．x1 = 1 ，x2 = 3 B ．x1 = -1 ，x2 = -3
C ．x1 = -1 ，x2 = 3 D ．x1 = 1 ，x2 = -3
8 ．如图，在边长为3cm 的正方形ABCD 中，动点 P 从点A 出发沿 A→B 的方向以 1 cm/s 的 速度运动；同时，动点 Q 从点 D 出发沿 D→C→B 的方向以2cm/s 的速度运动．当点 Q 到达 点 B 时，点 P ，Q 同时停止运动．设△APQ 的面积为y（ cm2 ），运动时间为 x（s ），下列 能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是( )
B．
A．
C．
D．
9．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为直线x =1 ，与 x 轴的一个交 点为(-2, 0) ．则下列结论：① abc > 0 ；②2a + b = 0 ；③9a + c < 3b ；④方程ax2 + bx + c = 0 的两根为x1 = -2 ，x2 = 4 ．其中正确的结论是( )
A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④
10 ．如图，已知点 A ，C，D 在ΘO 上，点 B 在ΘO 内， ÐB 和Ð C 均为直角，AB = 2 ， BC = 6 ，CD = 4 ，则ΘO 的半径为( )
A ．5 B ． C ．2 D ．
二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）
11 ．二次函数y = -2x2 的图象的开口向 ．
12 ．一个圆的半径为3cm ，则此圆的最大弦长为 cm ．
13 ．二次函数y = 6 (x + 3)2 - 5 ，当 x > -3 时，y 随x 的增大而 ．
14 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0 ，7），点 B 的坐标为（0 ，3），点 C 的坐标为（3 ，0），那么△ABC 的外接圆的圆心坐标为 ．
15 ．如图，把抛物线y= x2 平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(-2, 0) 和原点，它的顶点 为P ，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，二次函数y = ax2 - 7ax + 6a(a > 0) 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交y 轴于点 C，ΘP （P 在第一象限）恰好经过 A 、B 、C 三点，且AB 的弦心距为 则 a 的值为 ．
三、解答题（共 6 小题，52 分、17 、18 题 6 分，19 、20 题 8 分，21 、22 题 12 分）
17 ．已知抛物线y = ax2 经过点A(-2, -8) ．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)判断点B(1, 4) 是否在此抛物线上．
18 ．如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上 （每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出△ABC 向上平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90 。后得到的△A2B2C2．
19 ．如图，OA = OB ，AB 交ΘO 于点 C，D ，OE 是半径，且OE 丄 AB 于点 F．
(1)求证：AC = BD ．
(2)若OF = 2EF ，CD = 8 ，求ΘO 直径的长．
20．某公司销售一种商品，成本为每件 30 元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量y （件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y 与 x 之间的函数关系式___________；
(2)设该公司销售这种商品每天获利 w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大 利润是多少元？
21 ．已知抛物线y = ax2 - 2ax + c 的图象经过点(-1,0) 和(0,3) ．
(1)求这条抛物线的表达式；
销售单价 x/元
…
40
60
80
…
每天销售数量y/件
…
80
60
40
…
(2)求这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)当-2 ≤ x ≤ t 时，函数的最大值为m ，最小值为 n ，若 m - n = 9 ，求 t 的取值范围．
22 ．综合与实践 【问题情境】
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形 ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．
【操作发现】
（1）当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图2 ，线段DG 与BE 之间的数量关系是______；直线DG 与BE 的夹角度数为______；
【深入探究】
（2）如图 3 ，若四边形 ABCD 与四边形AEFG 都为菱形，且AB = 2AE ，
上DAB = 上GAE = 60° , 猜想DG 与BE 的数量关系与直线DG 与BE 的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，AB = 2 ，在菱形AEFG 绕点A 旋转过程中，直接写出线段CE 的最小值．
1 ．B
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键；
一般地，形如y = ax2 + bx + c (其中a ≠ 0 )的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可．
是一次函数，故本选项不符合题意；
B. y = 3 (x -1)2 展开后为y = 3x2 - 6x + 3 ，是二次函数，故本选项符合题意；
C. y = ax2 + bx + c ，未明确 a ≠ 0 ，若 a =0 则不是二次函数，故本选项不符合题意；
D. y = -3x 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B．
2 ．B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关 键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：QΘO 的半径是 5 ，OP 的长为 4 ，4 < 5 ， : 点P 在圆内．
故选：B
3 ．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题， 先把原抛物线解析式化为顶点式，再根 据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线y = 2 (x -1)2 + 3 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度， 得到的新抛物线的函数表达式为y = 2 (x -1+ 2)2 + 3 -1 ，即 y = 2(x +1)2 + 2 ，
故选：A．
4 ．C
【分析】此题考查了二次函数的性质 ．把点的坐标代入函数解析式求出y1 = (0 -1)2 = 1， y2 = (3 -1)2 = 4 ，即可得到答案．
【详解】解；∵点A(0, y1 ) 和点B(3, y2 ) 在二次函数y = (x -1)2 的图象上，
: y1 = (0 -1)2 = 1 ，y2 = (3 -1)2 = 4 ， : y1 < y2 ，
故选：C
5 ．C
【分析】本题考查的是作图- 基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角 和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，故
BN = CN ，上B = 上BCD ，故可得出上CDA 的度数，根据CD = AD 可知上DCA = 上CAD ，故可 得出上CAD 的度数，进而可得出结论．
【详解】解：Q 由题意可知直线MN 是线段BC 的垂直平分线， :BD = CD ，上B = 上BCD ，
Q 上B = 25° ,
:上B = 上BCD = 25° ,
:上CDA = 25° + 25° = 50° . QCD = AD ，
:B 正确，C 错误；
QCD = AD ，BD = CD ，
: CD = AD = BD ，
: 点D 为△ABC 的外心，故 D 正确；
Q 上ACD = 65° , 上BCD = 25° ,
:上ACB = 65° + 25° = 90° ,故 A 正确． 故选：C．
6 ．D
【分析】本题考查的知识点是旋转的性质， 三角形内角和定理，平行线的判定方法，解题关 键是熟练掌握旋转性质．
根据旋转的性质得到AB = DE ，BC = BE ，上A = 上D ，上ACB = 上DEB ，上ABD = 上CBE = 90° , 结合三角形内角和定理可判定D 选项；根据平行线的判定可确定C 选项；结合图示可判定A ， B 选项；由此即可求解．
【详解】解：Q将 △ABC 绕点B 顺时针旋转90° 得到 △DBE ，
: AB = BD ，BC = BE ，上A = 上D ，
上ACB = 上DEB ，上ABD = 上CBE = 90° ,
在 △ABF 和 △DGF 中，
上A + 上AFB + 上ABF = 上D + 上DFG + 上DGF = 180° , Q 上A = 上D ，上AFB = 上DFG ，
:上ABF = 上DGF = 90° ,
: AG 丄 DE ，:D 选项正确；
当BC 丄 AC 时，上ACB = 上BCF = 上DGF = 90° ,此时BC Ⅱ DE ， Q上ACB 的度数未确定，
:CB 不一定平行DE ，:C 选项错误，不符合题意； 已知上CBE = 上CBD + 上EBD = 90° ,
但无法确定上CBD 与上EBD 的数量关系，:B 选项错误，不符合题意； 已知BD = AB ，若BF = DF ，则 ，
Q BF 与AB 的数量关系无法确定，
:BF 不一定等于DF ，
:A 选项错误，不符合题意． 故选：D ．
7 ．D
【分析】根据二次函数与 x 轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二 次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，即为所对应的方 程的根是关键．
【详解】解：Q 二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点(1, 0) ，(-3, 0)，
:关于 x 的方程ax2 + bx + c = 0的解为x1 = 1 ，x2 = -3 ， 故选：D．
8 ．B
【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的 关键。
根据点 Q 所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。
【详解】解：。当点 Q 在CD 上时，如图
有
此时y 与 x 之间的函数为一次函数．
②当点 Q 在CB 上时，如图
:DQ = 6 - 2t ，
（ < t < 3 ）．
此时y 与 x 之间的函数为二次函数．
综上所述，符合当0 ≤ t ≤ 时， 图像为一次函数； 时， 图像为二次函数，只有 B 选 项．
故选 B．
9 ．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线与x 轴的交点：把求二次函数
y = ax2 + bx + c(a ，b ，c 是常数，a ≠ 0) 与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次 方程，且两交点为抛物线上的对称点．熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 利用抛物线开口方向得到a > 0 ，利用抛物线的对称轴得到 b= -2a < 0 ，利用抛物线与y 轴 的交点位置得到c < 0 ，则可对。进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；找图形中x = -3 时对应的y 的值即可对③进行判断；观察图形与x 轴的交点的横坐标与对称性可对④进行
判断．
【详解】解：① Q抛物线的开口向上，
:a > 0 ，
:b = -2a < 0 ，
Q抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， :c < 0 ，
:abc > 0 ，故①正确．
②∵ b = -2a ，
:2a + b = 0 ，故②正确．
③由图象得：x = -3 时，y > 0 ，
:9a - 3b + c > 0 ，
:9a + c > 3b ，故③错误．
④根据对称性可知抛物线与x 轴另一交点为(4, 0) ，
:方程ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = -2 ，x2 = 4 ，故④正确． 综上，正确的是①②④ .
故选：D．
10 ．C
【分析】过点 O 作OE 丄 CD 于点 E，延长 AB, EO ，二线交于点 F，得到四边形 BCEF 是矩 形，设OF= x 则OE = 6 - x ，连接 OA, OC ，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：过点 O 作OE 丄 CD 于点 E，延长 AB, EO ，二线交于点 F， ∵ ÐB 和Ð C 均为直角，
:四边形BCEF 是矩形，
: 上F = 90° , BC = EF ，BF = CE ， ∵ AB = 2 ，BC = 6 ，CD = 4 ，
设OF = x 则OE = 6 - x ， 连接OA, OC ，
: OA2 = AF2 + OF2 , OC2 = CE2 + OE2 ， : OA = OC ，
: AF2 + OF2 = CE2 + OE2 ， : 42 + x2 = 22 + (6 - x )2 ， 解得x = 2 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程， 熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
11 ．下
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 解题关键是掌握二次项系数a 决定抛物线的开 口方向和大小，当a > 0 时，抛物线开口向上；当a < 0 时，抛物线向下开口．由-2 < 0 即可 判断开口方向．
【详解】解：二次函数 y = -2x2 ，-2 < 0 ， 则图象的开口向下，
故答案为：下
12 ．6
【分析】根据圆的基础知识可得，圆的最大弦长即直径，由此即可求解． 【详解】解：圆的直径是过圆心的弦，
:圆的直径的长是圆的最大弦长， :圆的半径为3cm ，
:圆的直径为6cm ，即最大弦长为 6cm ， 故答案为：6 ．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的弦与直径的关系是解题的关键．
13 ．增大
【分析】本题考查了二次函数的性质， 由二次函数的解析式可得二次函数的开口向上，对称 轴为直线x = -3 ，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数y = 6 (x + 3)2 - 5 ，
:二次函数的开口向上，对称轴为直线x = -3 ，
:当x > -3 时，y 随x 的增大而增大， 故答案为：增大．
14 ．(5 ，5)
【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案． 【详解】∵B(0 ，3) ，C(3 ，0)，
:在网格中，BC 可以看作边长为 3 的正方形的对角线，
根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出 AB 、BC 的垂直平分线，交于点 E， 则点 E 即为外接圆的圆心，如图所示，
∵A(0 ，7) ，B(0 ，3)， :点E 纵坐标为 5，
:由图可得，E(5 ，5)．
故答案为：(5 ，5)．
【点睛】本题考查了坐标与图形， 三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关 键．
15 ．1
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接QO ，PO ，根据图 形平移的性质可知S阴影 = S△OPQ ．
【详解】如图所示，连接QO ，PO ，
根据图形平移的性质可知S阴影 = S△OPQ ， 设抛物线m 的表达式为y = (x - h)2 + k ，
抛物线m 经过点A(-2, 0) 和原点，则抛物线m 的对称轴为h = -1 ，
将(-2, 0) 代入y = (x +1)2 + k ，得 k = -1 ， 所以，点P 的坐标为(-1, -1)，
将x = -1 代入抛物线y= x2 ，得 y = 1， 所以，点Q 的坐标为(-1,1) ，
所以，S阴影 = S△OPQ = 1， 故答案为：1．
16 ． 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由y = ax2 - 7ax + 6a 得出A(1, 0) ，B (6, 0) ，C (0, 6a )，即可得 AB = 5 ，过P 作PD 丄 AB 于D ，连接PA ，PB ， PC ，再根据圆的性质得PB = PA = PC ，再由垂径定理得 再由AB 的 弦心距为 得 进而可得点 P 的坐标，由勾股定理得 再由 PC2 = PA2 列等式方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵ y = ax2 - 7ax + 6a = a (x -1)(x - 6) 的图象交 x 轴于 A ，B 两点，交y 轴于点 C，
: A(1, 0) ，B (6, 0) ，C (0, 6a )， : AB = 5 ，
如图，过P 作PD 丄 AB 于D ，连接PA ，PB ，PC ，
∵ΘP （P 在第一象限）恰好经过 A 、B 、C 三点， : PB = PA = PC ，
∵ AB 的弦心距为AB ，
∵ PB = PA = PC ， : PC2 = PA2 ，
解得 ，
故答案为： 或 ．
17 ．(1) y = -2x2
(2)不在
【分析】本题考查二次函数 y = ax2 的性质：
（1）把 A(-2, -8) 代入线y = ax2 求出 a 的值即可；
（2）在 y = -2x2 中，令x =1 ，求出对应的 y 值，即可判断． 【详解】（1）解：把 A(-2, -8) 代入线y = ax2 得：-8 = 4a ，
解得a = -2 ，
:y = -2x2 ；
（2）解：在 y = -2x2 中，令x =1 ，得 y = -2 ≠ 4 ， : 点B(1, 4) 不在此抛物线上．
18 ．（1）如图所示：△A1B1C1 ，即为所求；见解析；（2）如图所示：△A2B2C2 ，即为所求， 见解析．
【分析】（1）根据网格结构找出点 A,B,C 平移后的对应点 A1 ，B1 ，C 1 连接即可
（2）根据网格结构找出点 A,B,C 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到的 A2，B2 ，C2，连接即可 【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点睛】此题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，熟练掌握作图的操作是解题关键 19 ．(1)见解析
(2)ΘO 的直径是
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）垂径定理，得到CF = DF ，等腰三角形三线合一AF = BF ，即可得出结论；
（2）连接OC ，设ΘO 的半径是 r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：: OE 丄 AB ，且OE 过圆心 O
: CF = DF ，
: OA = OB ，OE 丄 AB ， : AF = BF ，
: AF - CF = BF - DF ， : AC = BD ；
（2）解：连接OC ，设ΘO 的半径是 r，
∵ OF = 2EF ，OF + EF = OE = r ，
∵ CD = 8 ，
∵在Rt△OCF 中，CO2 = CF2 + OF2 ，
或
20 ．(1) y = -x +120
(2)当销售单价是 75 元时，最大日利润是 2025 元
【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函 数解析式．
（1）设y 与 x 之间的函数关系式为y = kx + b ，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答；
（2）根据总利润= 单个利润× 总销量列出函数解析式，然后由二次函数的性质以及自变量 的取值范围求出函数最值．
【详解】（1）解：设 y = kx + b ，
把(40,80) ，(60, 60) 代入y = kx + b 中得：
í
l60
ì80
= 40k + b
= 60k + b
,
ìk = -1
lb = 120
解得： í ,
: y = -x +120 ；
故答案为：y = -x +120 ；
（2）解：由题意得：
w = (x - 30)y = (x - 30)(-x +120) = -x2 +150x - 3600 = - (x - 75)2 + 2025 ， ∵ a = -1 < 0 ,抛物线开口向下，
:当x = 75 时，w 最大= 2025 元，
:当销售单价为 75 元时，每天获利最大，最大利润是 2025 元．
21 ．(1) y = -x2 + 2x + 3
(2)对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1, 4)
(3)1≤ t ≤ 4
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．
（1）依据题意，抛物线 y = ax2 - 2ax + c 的图象经过点(-1, 0) ，(0, 3) ，从而可得 a + 2a + c = 0 ，且 c =3，可得a 的值，进而可得函数的表达式；
（2）将函数的表达式转化为顶点式，即可得抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）依据题意，由y = -x2 + 2x + 3= -(x -1)2 + 4 ，得当x =1 时，y 取最大值为 4，再结合t ≤ 1 和t > 1分别进行讨论，同时结合m - n = 9 即可判断得解．
【详解】（1）解：Q抛物线y = ax2 - 2ax + c 的图象经过点(-1, 0) ，(0, 3) ，
: a + 2a + c = 0 ，且 c = 3，
: a = -1 ．
:这条抛物线的表达式为y = -x2 + 2x + 3 ；
（2）解：Q y = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4 ，
:这条抛物线的对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1, 4) ；
（3）解：Q y = -x2 + 2x + 3= -(x -1)2 + 4 的对称轴为直线x = 1 ，
分以下两种情况：
①当t ≤ 1 时，
又∵ -2 ≤ x ≤ t ≤ 1，
:当-2 ≤ x ≤ t ≤ 1时， y 随x 的增大而增大， : 当x = t 时，y 取最大值为-t2 + 2t + 3 = m ； 当x = -2 时，y 取最小值为-4 - 4 + 3 = n ．
又∵ m - n = 9 ，
:-t2 + 2t + 3 - (-5) = 9 ．
:t2 - 2t +1 = 0 ． 解得t = 1．
②当t > 1时，
: 当x =1 时，y 取最大值为-12 + 2 + 3 = 4 = m ；
当x = -2 到对称轴的距离大于x = t 到对称轴的距离时，即t -1 ≤ 1- (-2) ，此时1< t ≤ 4 ， 当x = -2 时，y 取最小值为-4 - 4 + 3 = -5 = n ，此时 m - n = 9 ，符合题意．
当x = -2 到对称轴的距离小于x = t 到对称轴的距离时，即t -1 > 1- (-2) ，即 t > 4 ， 当x = t 时，y 取最小值为-t2 + 2t + 3 = n ．
又∵ m - n = 9 ，
:n = -5 ．
:-t2 + 2t + 3 = -5 ．
:t = -2 或t = 4 ，不合题意．
综上，若m - n = 9 ，则1≤ t ≤ 4 ．
22 ．（1）DG = BE ，90° ；（2） DG = BE ；直线DG 与BE 的夹角度数为60° ；理由见解析；
（3）线段CE 的最小值为2 3 -1 ．
【分析】（1）由四边形 ABCD 和四边形AEFG 是正方形，得AG = AE ，AD = AB ，
上GAE = 上DAB = 90° , 证明 △GAD≌△EAB (SAS )，得出DG = BE ，上ADG = 上ABE ，延长BE 交GD 于点M ，交 AD 于点N ，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
（2）由四边形ABCD 和四边形AEFG 是菱形，得AG = AE ，AD = AB ，上GAE = 上DAB = 60° , 证明 △GAD≌△EAB (SAS )，得出DG = BE ，上ADG = 上ABE ，延长BE 交GD 于点H ，交AD 于点T ，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
（3）如图 4 ，由于菱形 AEFG 绕点A 旋转，所以点E 的运动轨迹，是以点A 为圆心，半径
为AE = 1 的圆，连接圆心点A 与圆外一点C ，当点 E 在AC 上时，线段CE 取得最小值，连 接BD ，交AC 于点O ，根据菱形的性质得到上OAB = 30° , 上AOB = 90° , AC = 2AO ，根据
勾股定理得到OA = = ，求得 AC = 2OA = 2 ，于是得到结论．
【详解】（1）Q 四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
: AG = AE ，AD = AB ，上GAE = 上DAB = 90° ,
: 上GAE - 上DAE = 上DAB - 上DAE ，
:上GAD = 上EAB ，
在 △GAD 和 △EAB 中，
ï
í上GAD = 上EAB ， ïlAD = AB
ìAG = AE
: △GAD≌△EAB (SAS )，
:DG = BE ，上ADG = 上ABE ，
如图2 ，延长 BE 交GD 于点M ，交 AD 于点N ，
Q 上DNM = 上ANB ，上ABN+ 上ANB = 90° ,
: 上DNM + 上ADG = 90° ,
:上DMN = 90° ,
:直线DG 与BE 的夹角度数为90° , 故答案为：DG = BE ，90° ;
（2）DG = BE ；直线 DG 与BE 的夹角度数为60° ；理由如下： Q 四边形ABCD 和四边形AEFG 是菱形，
: AG = AE ，AD = AB ，上GAE = 上DAB = 60° ,
: 上GAE - 上DAE = 上DAB - 上DAE ，
:上GAD = 上EAB ，
:在 △GAD 和 △EAB 中，
: △GAD≌△EAB (SAS )，
:DG = BE ，上ADG = 上ABE ，
如图3 ，延长 BE 交DG 的延长线于点H ，交 AD 于点T ，
Q 上DTH = 上ATB ，上H + 上DTH + 上ADG = 180° , 上DAB + 上ATB + 上ABT = 180°
: 上H = 上DAB = 60° ,
:直线DG 与BE 的夹角度数为60° ;
（3）如图 4 ，∵ CE ≥ AC - AE
:当点E 在AC 上时，线段CE 取得最小值， 连接BD ，交 AC 于点O ，
Q 四边形ABCD 是菱形， ÐDAB = 60° ,
:上OAB = 30° , 上AOB = 90° , AC = 2AO ， Q AB = 2 ，
: AC = 2OA = 2 ，
: CE = AC - AE = 2 -1，
即线段CE 的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题， 考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和 性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．