2024-2025学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点P(1,2)且倾斜角为π2的直线方程是( )
A. x=1B. x=2C. y=1D. y=2
2.在空间直角坐标系中，已知a=(−2,2,1)，b=(2,0,−1)，则2a−b=( )
A. (−2,4,1)B. (6,4,−3)C. (−6,4,3)D. (2,4,−1)
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，a2+a3=12，则S5=( )
A. 9B. 15C. 24D. 35
4.抛物线x2=4y的准线方程为( )
A. y=−2B. y=−1C. x=−2D. x=−1
5.已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，满足PF1⊥PF2，则|PF1||PF2|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知二面角α−l−β的大小为60∘，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于l.若AB=5，AC=3，BD=6，则CD的长为( )
A. 2 13B. 2 17C. 2 21D. 2 22
7.已知A，B为圆C:(x−m)2+y2=4上的两个动点，且|AB|=2 3，若直线y=2x−m上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是( )
A. [−2,2]B. [− 5, 5]C. [−2 3,2 3]D. [−2 5,2 5]
8.定义max{a,b}=a,a≥b,b,a1，a100a101>1，(a100−1)(a101−1)0,b>0)的渐近线方程为y=± 22x，点P(2,1)在双曲线C上．
(1)求C的方程;
(2)过点M(−1,0)的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1+k2=λk1k2恒成立?若存在，求λ的值;若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
已知{an}为等差数列，a2=6，a5=15，记bn=a3n(n∈N∗).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;
(2)在bn与bn+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，
(ⅰ)求数列{1dn}的前n项和Tn;
(ⅱ)在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于−1，到点F(1,0)的距离与到定直线x=a(a0)，
则(3−a)2+(1−b)2=r2,(3−a)2+(3−b)2=r2,
两式相减得8−4b=0，则b=2，又因为a+2b−9=0，
所以a=5，故所求圆C1的方程为(x−5)2+(y−2)2=5．
方法二：圆心C1线段MN的中垂线方程为y=2，
则圆心C1在直线y=2上，
也在直线C2N:x+2y−9=0上，
解得圆心C1(5,2)，
圆C1的半径r=|C1M|= 5，
圆C1的标准方程(x−5)2+(y−2)2=5．
16.(1)因为AB⊥AC，由已知得AA1⊥平面ABC，如图
建立空间直角坐标系，所以A1(0,0,3)，B(2,0,0)，C1(0,2,3)，E(1,0,0)，
所以A1B=(2,0,−3)，A1C1=(0,2,0)，
设平面A1BC1的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅A1B=0,m⋅A1C1=0即2x1−3z1=02y1=0，
取m=(3,0,2)，
因为CF=λCC1=(0,0,3λ)，
所以F(0,2,3λ)，EF=(−1,2,3λ)，
因为EF//平面A1BC1，
所以EF⋅m=−3+6λ=0，
则λ=12．
(2)因为λ=13，所以F(0,2,1)，AE=(1,0,0)，AE=(0,2,1)，
设平面AEF的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅AE=0,n⋅AF=0即x2=02y2+z2=0，
取向量n=(0,1,−2)．
设平面A1BC1与平面AEF所成角为θ，
则csθ=m⋅n|m|n=4 13× 5=4 6565．
所以平面AB1C1与平面DBE所成角的余弦值为4 6565．
17.
解：(1)由已知得ba= 22,4a2−1b2=1,解得a= 2，b=1，
所以双曲线C的方程为x22−y2=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my−1，
联立x22−y2=1,x=my−1,消x得(m2−2)y2−2my−1=0,m2−2≠0,Δ=4m2+4(m2−2)>0,y1y2=−1m2−2>0,
解得1