2025-2026学年湖南省永州市第一中学高二上学期入学考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省永州市第一中学高二上学期入学考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=− 3x+3的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.复数z=7i3+i的虚部为( )
A. 2110B. −2110C. 2110iD. −2110i
3.已知cs2α=18,α∈0,π2，则csα=( )
A. 34B. 74C. −34D. − 74
4.已知命题甲：“实数x，y满足yx=xy”，乙“实数x，y满足x2=y2”，则甲是乙的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知a=40.1,b=0.10.4,c=lg40.1，则( )
A. a>c>bB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b
6.将函数fx=cs2ωx+π−ωπ4ω>0的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若gx在区间π4,π上单调递减，则ω的最大值为( )
A. 14B. 12C. 34D. 1
7.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是( )
A. 采用第一种方案划算B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样D. 采用哪种方案无法确定
8.x表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f−2=−8，对于区间0,2上的任意x1,x2都有fx1+4−fx2+4x2−x1>0，若关于x的不等式fx≥6a2−19a对任意的x∈R恒成立，则a的最大值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=3,k,b=2,−1，则下列说法错误的是( )
A. 若a与b的夹角为钝角，则k>6
B. a的最小值为9
C. 与b共线的单位向量只有一个，为 22,− 22
D. 若a=3b则k=±6
10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有( )
A. 均值为101B. 极差为9
C. 方差为8D. 第60百分位数为101
11.阳马和鳖臑[biēnà]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱(图2，图3)，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开(图4)，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(图5).余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑(图6).若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是( )
A. 鳖臑中的四个直角三角形全等
B. 堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和
C. 鳖臑的体积等于阳马体积的一半
D. 鳖臑的内切球表面积为3−2 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若A，B，C三点共线，对任意一点O，有2OA−OC=2csα⋅OB(α为锐角)成立，则α= ．
13.若直线mx+m+2y−1=0与直线m−1x+my=0互相垂直，则m= ．
14.如图已知点A，B在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为4π，∠ASB=30°，若AB与截面SAO所成角为60°，则圆锥SO的侧面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l:kx−y+1+2k=0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)已知P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
16.(本小题15分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinAacsC−12b=csA 32b−asinC．
(1)求A；
(2)若b2+c2−a2=4，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图．

(1)求a；
(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题17分)
在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为α0