2025-2026学年上海市嘉定一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市嘉定一中高二（上）开学数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法中正确的是( )
A. 已知a=(1,−3),b=(2,−6)，则a与b可以作为平面内所有向量的一组基底
B. 若两非零向量a、b满足a与b共线，则a在b方向上的投影为|a|
C. 若两非零向量a、b满足|a+b|=|a−b|，则a⊥b
D. 平面直角坐标系中，A(1,1)、B(4,2)、C(5,0)，则△ABC为锐角三角形
3.设M=i+i2+i3+⋯+i2005，N=i⋅i2⋅i3⋯i2005，i为虚数单位，则M与N的关系是( )
A. M+N=0B. MND. M=N
4.如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①OA⋅OD越来越小；②|OA+OB+OC+OD|保持不变.它们成立的情况是( )
A. ①②都正确
B. ①②都错误
C. ①正确，②错误
D. ①错误，②正确
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.|(3−4i)4|=______．
6.函数f(x)=sin2x−cs2x的最小正周期是______．
7.已知A(1,1)，B(4,0)，点P在线段AB延长线上，且|AP|=2|PB|，则点P的坐标为______．
8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1= 2，则点A到平面A1BD1距离为 ．
9.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱A1B1的中点，则CE与平面AA1B1B所成角为______(用反三角函数表示)．
10.已知P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的任意一点，则AP⋅AB的取值范围是______．
11.已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有______条.
12.若存在区间[a,b](a，b∈R)使得函数f(x)=sinx−12在此区间上仅有两个零点，则b−a的取值范围是______．
13.函数y=sin2x+2csx在区间[−2π3,a]上的值域为[−14,2]，则a的取值范围是 ．
14.设z1、z2、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，z=32(1+ 3i)，若|z1|=1，z2=z1z，z3=z2z，则四边形OABC的面积为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知复数z满足z(1+i)=2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为OZ．
(1)求|z+3−4i|；
(2)若向量OZ绕O逆时针旋转π2得到OZ′,OZ′对应的复数为z′，求z⋅z′．
16.(本小题14分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为A1B、AC的中点．
(1)证明：MN//平面BCC1B1；
(2)求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．
17.(本小题14分)
市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，∠ABC=2π3，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为∠ACD=π3，A、B、C、D在同一平面内，路宽AD=24米，设∠BAC=θ(π12≤θ≤π6).
(1)求灯柱AB的高ℎ=ℎ(θ)；
(2)市政部门应该如何设置θ的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？(结果精确到0.01)
18.(本小题18分)
已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点．
(1)若PC=−(PA+PB)，求△PAB的面积；
(2)若PB⋅PC=0，求|PB|+|PC|的最大值；
(3)求2PA⋅PB+PA⋅PC的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.625
6.π
7.(7,−1)
8. 63
9.arctan2 55
10.[−12,32]
11.3
12.[2π3,10π3)
13.[0,2π3]
14.15 32
15.(1)由z(1+i)=2i得：z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，
∴|z+3−4i|=|4−3i|= 42+(−3)2=5．
(2)又z=1+i，由复数的几何意义，
得向量OZ=(1,1)绕原点O逆时针旋转π2得到的OZ′=(−1,1)，
则OZ′−对应的复数为z′=−1+i，则z⋅z′=(1+i)⋅(−1+i)=−2．
16.(1)证明：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，分别取BC，BB1的中点E，F，连接EF，EN，FM，
因为M、N分别为A1B、AC的中点，所以MF//A1B1，
且MF=12A1B1，NE//AB且NE=12AB，
又因为AB//A1B1且AB=A1B1，
所以MF//NE且MF=NE，
即四边形MNEF是平行四边形，故MN//EF，
因为MN⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，
所以MN//平面BCC1B1．
(2)连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，
因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，故A 1B1⊥BC1，
又因为四边形BCC1B1是正方形，则BC1⊥B1C，
而A1B1∩B1C=B1，且A1B1，B1C⊂平面A1B1CD，
故BC ​1⊥平面A1B1CD，
所以∠OA1B即A1B与平面A1B1CD所成角，
设正方体的棱长为2，则A1B=2 2,BO= 2，
在Rt△A1BO中，sin∠OA1B=BOA1B=12，则∠OA1B=30°，
即A1B与平面A1B1CD所成角的大小为30°．
17.(1)在△ACD中，∠CDA=θ+π6，
由ADsin∠ACD=ACsin∠CDA，得AC=AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=16 3sin(θ+π6)，
在△ABC中，∠ACB=π3−θ，
由ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，得ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)．
(2)△ABC中，
由BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，得BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，
∴AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ=16sin2θ+8 3，
∵π12≤θ≤π6，π6≤2θ≤π3，
∴当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8 3≈21.86．
故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．
18.解：(1)由三角形ABC是边长为2的等边三角形，
则S△ABC= 34×22= 3，
又P为△ABC的重心，S△PAB=13S△ABC=13× 3= 33；
(2)由于PB⋅PC=0，
即PB⊥PC，
则|PB|2+|PC|2=|BC|2=4，
由(|PB|+|PC|2)2≤|PB|2+|PC|22，
则|PB|+|PC|≤ 2 |PB|2+|PC|2=2 2，
当且仅当|PB|=|PC|= 2时取到等号，
故|PB|+|PC|的最大值为2 2；
(3)以BC的中点O为原点，OC，OA分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，
设P(x,y)，易知A(0, 3)，B(−1,0)，C(1,0)，
则2PA⋅PB+PA⋅PC=2(−x, 3−y)⋅(−1−x,−y)+(−x, 3−y)⋅(1−x,−y)，
化简得2PA⋅PB+PA⋅PC=3x2+x+3y2−3 3y=3(x+16)2+3(y− 32)2−73，
故2PA⋅PB+PA⋅PC的最小值为−73，当且仅当x=−16y= 32时取到等号．