初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程练习题，共11页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
2．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝4
3．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
4．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．6
5．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1B．2C．22D．30
7．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）＝0的两根相等，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形
8．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为（ ）
A．8B．10或8C．10D．6或12或10
9．做一个矩形水池，长度每米造价270元，宽度是每米造价350元，已知长度与宽度的米数都应是10的整数倍，若预算10000元的建造费，可建成水池面积最大为 平方米．
10．若正整系数二次方程4x2+mx+n＝0有相异的两个有理根p，q，且p＞q，又方程x2﹣px+2q＝0与方程x2﹣qx+2p＝0有一公共根，则方程x2﹣px+2q＝0的另一根为 ．
11．已知关于x的方程（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
12．等腰三角形的腰和底边的长是方程x2﹣20x+91＝0的两个根，则此三角形的周长为 ．
13．等腰△ABC的一边BC的长为6，另外两边AB，AC的长分别是方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 ．
14．解下列方程：
（1）用直接开平方法解方程：（x﹣1）2＝4
（2）用配方法解方程：x2﹣4x+1＝0
（3）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0
（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
15．已知 x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由．
16．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
17．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
18．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．
19．设方程x2+kx﹣2＝0和方程2x2+7kx+3＝0有一个根互为倒数，求k的值及两个方程的根．
20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
21．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
答案
1．解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝2．
故选：B．
2．解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：A．
3．解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
4．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
5．解：设有n个点时，
＝21
n＝7或n＝﹣6（舍去）．
故选：C．
6．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，
∴α2＝2α+4
∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6
＝α•（2α+4）+8β+6
＝2α2+4α+8β+6
＝2（2α+4）+4α+8β+6
＝8α+8β+14
＝8（α+β）+14＝30，
故选：D．
7．解：原方程整理得（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0，
因为两根相等，
所以△＝b2﹣4ac＝（2b）2﹣4×（a+c）×（a﹣c）＝4b2+4c2﹣4a2＝0，
即b2+c2＝a2，
所以△ABC是直角三角形．
故选：C．
8．解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或x＝4，
当三边是2，4，4时，周长是10；
当三边是2，2，4不能构成三角形，应舍去；
当三边都是2时，周长是6；
当三边都是4时，周长是12．
此三角形的周长为10或6或12，故选D．
9．解：假设矩形的长为x米，宽为y米，根据题意可列出方程得：
270x+350y≤10000
∵长度与宽度的米数都应是10的整数倍，
∴当x＝20，y＝10；当＝30，y＜10 （不合题意舍去）
当x＝10，y＝20，
∴当x＝20，y＝10时符合要求，水池面积最大为20×10＝200平方米．
故填：200
10．解：设方程x2﹣px+2q＝0与方程x2﹣qx+2p＝0的公共根为a，则，
∴（p﹣q）（a+2）＝0，
又∵p＞q，∴p﹣q≠0，即a+2＝0，
∴a＝﹣2，代入到x2﹣px+2q＝0得22+2p+2q＝0，
∴p+q＝﹣2，
又∵4x2+mx+n＝0有相异二有理根p，q，
∴p+q＝，
∴m＝8，而△＝m2﹣16n＞0，
∴82﹣16n＞0，n＜4，
∵n为正整数，且△＝m2﹣16n＝82﹣16n＝16（4﹣n）为完全平方数，所以4﹣n＝1，得n＝3，
由于，
解得（舍去）或，
∴，
设方程x2﹣px+2q＝0的另一根为β，则（﹣2）β＝﹣3，
∴β＝．
故
11．解：∵方程（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+1＝0有两个实数根，
∴a≠±1，
设方程（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根分别为α、β，
又∵方程（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根互为倒数，
∴αβ＝＝1，
解得a＝±，
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4×（a2﹣1）
＝（1﹣）2﹣4×1
＝﹣2﹣1＜0，
∴a＝﹣时方程（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+1＝0无解，
因此a＝﹣舍去，
∴a＝．
故填空答案为a＝．
12．解：解方程x2﹣20x+91＝0得：x1＝13，x2＝7，
（1）腰是13，底边时7时，周长＝13+13+7＝33；
（2）腰是7，底边时13时，周长＝7+7+13＝27；
这2种情况都符合三角形的三边关系定理，都能构成三角形．因此周长是：33或27．
13．解：∵方程x2﹣8x+m＝0有两个根，
∴△＝（﹣8）2﹣4m≥0解得m≤16，
由根与系数的关系可得：AB+AC＝8，AB•AC＝m，
∵等腰△ABC的一边BC的长为6，
∴AB，AC的长分别是4、4或2、6或6、2，
当AB，AC的长分别是4、4时，即方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实根，此时△＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16；
AB，AC的长分别是2、6或6、2时，即方程x2﹣8x+m＝0有两个不相等的实根，此时△＝（﹣8）2﹣4m＞0，AB•AC＝2×6＝m，解得m＝12．
∴m的值为12或16．
14．解：（1）∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1．
（2）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x+4＝3，
∴（x﹣2）2＝3，∴，
∴．
（3）∵3x2+5（2x+1）＝0，
∴3x2+10x+5＝0，
∴a＝3，b＝10，c＝5，b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40，
∴，
∴．
（4）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
∴移项，得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0，
∴．
15．解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k≥0，且4k≠0，
解得k＜0；
（2）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×12﹣9×＝2﹣，
若2﹣＝﹣成立，
解上述方程得，k＝，
∵（1）中k＜0，（2）中k＝，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值．
16．解：（1）△＝（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）
＝4k2﹣12k+9﹣4k2+4
＝﹣12k+13，
∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根，
∴﹣12k+13＞0，
解得，k＜，又k﹣1≠0，
∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵k是符合条件的最大整数，
∴k＝0，
x2﹣4x＝0，
x＝0或4，
当x＝0时，x2+mx﹣1＝0无意义；
当x＝4时，42+4m﹣1＝0
m＝．
17．解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
18．解：（1）设售价应为x元，依题意有
1160﹣≥1100，
解得x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）＝12（元），
由题意得：
1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]＝3388，
设m%＝t，化简得50t2﹣25t+2＝0，
解得：t1＝，t2＝，
所以m1＝40，m2＝10，
因为m＞10，
所以m＝40．
答：m的值为40．
19．解：设a是方程x2+kx﹣2＝0的根，则是方程2x2+7kx+3＝0的根，
∴①a2+ka﹣2＝0，②+3＝0，
由②，得3a2+7ka+2＝0，③
由①，得ka＝2﹣a2，代入③，得
3a2+7（2﹣a2）+2＝0，
∴4a2＝16，∴a＝±2．
代入①，得，或．
当时，方程①变为x2﹣x﹣2＝0，根为2和﹣1，方程②变为2x2﹣7x+3＝0，根为和3；
当时，方程①变为x2+x﹣2＝0，根为﹣2和1，方程②变为2x2+7x+3＝0，根为﹣和﹣3．
20．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
21．解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：≥10%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，
m2﹣5m﹣6＝0，
m1＝6，m2＝﹣1（舍）．