2024北京海淀高三（上）期中数学试卷（教师版）

这是一份2024北京海淀高三（上）期中数学试卷（教师版），共10页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2024.11
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）若复数满足，则
（A）（B）
（C）（D）
（3）若，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知，则
（A）1 （B）
（C）（D）
（5）下列不等式成立的是
（A）（B）
（C）（D）
（6）若为增函数，则的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
（7）若向量，，则下列等式中，有且仅有一组实数使其成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是
（A）由上图推测，甲地的绿化好于乙地
（B）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
（C）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
（D）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等
（9）设无穷等差数列的前项积为. 若，则“有最大值”是“公差”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（10）已知数列满足（），，则
（A）当时，存在使得
（B）当时，存在使得
（C）当时，存在正整数，当时，
（D）当时，存在正整数，当时，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知，则 ．
（12）在平面直角坐标系中，角的终边经过点.若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则 ．
（13）如右图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则______,______.
（14）已知函数（，）满足恒成立.
①的取值范围是______；
②若，则的最小值为_____.
（15）已知函数，其定义域记为集合，，给出下列四个结论：
①且；
②若，则；
③存在，使得；
④对任意，存在使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知无穷等比数列的前项和为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
（17）（本小题14分）
设函数（），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若在(0，m)上有且仅有两个极大值点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：将的图象向右平移各单位长后所得的图象关于原点对称；
条件③：对于任意的实数，的最大值为4.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
已知函数.曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值.
（19）（本小题13分）
如图所示，某景区有，两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口，游客服务中心在点处，已知，，，.
（Ⅰ）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为 3 km. 若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员用与处的工作人员能否用对讲机正常通话？
（Ⅱ）已知一点处接受到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比. 欲在路段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使得，请判断该选址是否符合要求？
（20）（本小题15分）
已知函数，.
（Ⅰ）若在处取得极大值，求的值；
（Ⅱ）求的零点个数.
（21）（本小题15分）
对于行列的数表，定义变换：任选一组，其中，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表.
（Ⅰ）已知对依次进行4次变换，如下：
，
直接写出的值；
（Ⅱ）已知，.是否可以依次进行有限次变换，将变换为B？说明理由.
（III）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为？若可以，求的最小值；若不可以，说明理由.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C（2）A（3）D（4）B （5）B
（6）B（7）B（8）C（9）A （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（ 11 ）1 （12） （13） （14）
（15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：
（Ⅰ）当时，，
因为是等比数列，所以.
又因为，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
因为，且，{ 或者}
所以是以为首项，为公比的等比数列；


.
（17）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）条件①
，
所以，
所以.
解得.
条件②：
,
所以的图象向右平移后所得图象关于原点对称.
所以，即，
计算得.
经验证：.
条件③：,
所以 其中 .
由题意可知，即，
因为，
所以.
（Ⅱ）
当时取得极大值, 即 .
因为在上有且仅有两个极大值点,
所以仅有符合题意,
所以.
（18）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）

依题意 解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
法一：，
令，解得或，的变化情况如下表：
由表格可知，有极小值，
因为当时，，
所以最小值为.
法二：，因为，
要求最小值，只需考虑，

令，解得或，随变化如下表：
由表格可知，有极小值，
此时，极小值即为最小值，所以有最小值.
（19）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）因为，所以为锐角,
所以，
在△中，，
所以，
因为，
所以处工作人员用对讲机能与处工作人员正常通话.
（II）方法一：
由余弦定理，=，
因为，所以，
所以的长为点与直线上所有点的距离的最小值，
所以点选址符合要求.
方法二：
假设上的点接收景点入口处对讲机的信号最强，则，
所以，
又因为选址D满足，
所以点选址符合要求.
（20）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）的定义域为.
，
因为是的极大值点，
所以，即，解得或.
当时，当变化时，的变化情况如下表：
此时是的极小值点，不符合题意.
当时，当变化时，的变化情况如下表：
此时是的极大值点，符合题意.
因此，，此时.
（Ⅱ）（1）时，当变化时，的变化情况如下表：
，因此时，.
又，因此在上有且仅有一个零点.
因此的零点个数是.
（2）当时，对任意，，在上是增函数.
又，因此的零点个数是.
（3）当时，当变化时，的变化情况如下表：
，因此时，.
又，因此在上有且仅有一个零点.
因此的零点个数是.
综上，时，的零点个数是.
（21）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）.
（Ⅱ）不可以，理由如下：
由题可知每次变换，数表中所有数的和增加或减少5.
因为中所有数的和为0，所以其经过有限次变换后各数和为5的倍数.
而中所有数的和为9，不符合，故无法通过有限次变换，将变换为B.
（III）可以，且的最小值为400.
当所选时，所有加1的变换与减1的变换次数之差设为；
当所选且或者且时，所有加1的变换与减1的变换次数之差设为；
当所选时，加1的变换与减1的变换次数之差设为.
考虑变换对上述三部分各数之和的影响，可知
解得：
所以.
其中符合题意的400次变换构造如下：
当所选时，各进行一次减1的变换；
当所选或时，各进行10次加1的变换；
当所选时，进行100次减1的变换.
0
+
0
极小值
极大值
0
+
极小值
极大值
极小值
极大值
极小值
极大值
极小值
极大值
极小值