八年级上册（2024）1.3 证明精品课后复习题

这是一份八年级上册（2024）1.3 证明精品课后复习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.车库的电动门栏杆如下图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是 ( )
A. 150°B. 180°C. 270°D. 360°
2.如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠2比∠1大6∘，则∠2的度数为( )
A. 108∘B. 114∘C. 118∘D. 122∘
3.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是 ( )
A. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠1
4.如图，∠AOB=70∘，点M，N分别在OA，OB上运动(不与点O重合)，ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数( )
A. 变大B. 变小C. 等于55∘D. 等于35∘
5.如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)18°(即∠A=18°)，飞到了C地，经B地的导航站测得∠ABC=10°.此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地.则这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为( )
A. 38°B. 28°C. 18°D. 8°
6.一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你!这个人字架中的∠3=110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
7.如图，在△ABC中，外角∠ACD=103°，∠B=58°，则∠A的度数是( )
A. 43°
B. 45°
C. 53°
D. 57°
8.如图，△ABC中，若∠B=∠C，BD=CE，CD=BF，则∠EDF=( )．
A. 90°−∠AB. 90∘−12∠AC. 180°−2∠AD. 45∘−12∠A
9.在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O.设∠BOC=β，则∠A=( )
A. 180°−βB. 90°−β2C. 180°−2βD. 180°−β2
10.如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB/​/CD，下列结论： ①∠A=∠ABC; ②∠BEC=90∘+∠ABD; ③∠A=∠D; ④2∠BEC−∠A=180∘，其中所有正确结论的序号是( )
A. ① ②B. ③ ④C. ① ② ④D. ① ② ③ ④
11.有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为( )
A. 144°B. 84°C. 74°D. 54°
12.如图，▵ABC绕点A旋转得到▵ADE，点D正好落在BC上，AE//BC.若∠CAD=15∘，则∠E等于( )
A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 40∘
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.将一副三角尺按如图所示的方式放置.若∠1=90∘，则∠2的度数为 °．
14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，∠BAC=75°，则∠C的度数为______．
15.下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110 ∘，则图中∠D应 (填“增加”或“减少”) 度．
16.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
命题“若a是自然数，则代数式5a+25a+1+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．
18.(本小题8分)
在△ABC中，∠ACB=90°.点D在边BC上.且∠BAD=∠CAD.点E在射线AD上，∠BCE=12∠ACB．
(1)如图，当点E在线段AD上时，若∠B=30°，求∠AEC的度数．
(2)求∠AEC与∠B的数量关系．
19.(本小题8分)
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC=∠ACE．
(1)求证：AB//CE;
(2)若∠A=50°，求∠E的度数．
20.(本小题8分)
如图，▵ABC中，D为AC边上一点，过D作DE//AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA=∠A．
(1)求证：DE平分∠CDF；
(2)若∠C=80 ∘，∠ABC=60 ∘，求∠G的度数．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠B=50°，∠CAE=24°，求∠AED和∠ACB的度数．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=∠ACB，M，N为BC上两点，且∠BAM=∠CAN，∠MAN=∠AMN，求∠MAC的度数．
23.(本小题8分)
阅读与思考．
请认真阅读.并完成相应的问题：
(1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，∠ACB=90°.则∠A= ______，∠B= ______；
(2)如图2，在(1)基础上，作△ABC中AB边上的高CD，请判断△ACD和△BCD是不是“友爱三角形”，并说明理由．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
25.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AC和边AB上(点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合)，且AD=AE．
(1)判断∠ADB与∠AEC之间的数量关系，并说明理由;
(2)求证：△BCO是等腰三角形;
(3)若△BCO是锐角三角形，请直接写出∠BDC度数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】如图，过点B作BF//AE， 因为CD//AE，所以BF//CD， 所以∠BCD+∠CBF=180°. 因为AB⊥AE， 所以AB⊥BF， 所以∠ABF=90°， 所以∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°．
2.【答案】D
【解析】解：如下图所示，
∵AB/​/CD，
∴∠4=∠5(两直线平行，内错角相等)，
∵长方形纸条折叠如图所示，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠3+∠5=2∠5，
∵∠2+∠5=180°，
∴∠1=2(180°−∠2)=360°−2∠2，
∵∠2比∠1大6°，
∴∠1=∠2−6°，
∴∠2−6°=360°−2∠2，
∴∠2=122°，
故选：D．
首先利用平行线的性质和折叠的性质得出∠1=2(180°−∠2)=360°−2∠2，由已知∠1=∠2−6°，然后得到∠2−6°=360°−2∠2，即可求出∠2．
本题考查了平行线和折叠的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】D
【解析】∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠AME=∠EMN=12∠AMN，∠MNF=∠FNO=12∠MNO．
又∵∠AMN是△MNO的外角，
∴∠AMN=∠MNO+∠O，
即2∠EMN=2∠MNF+∠O，
∴∠EMN=∠MNF+12∠O.
又∵∠EMN是△MNF的外角，
∴∠EMN=∠MNF+∠F，
∴∠MNF+∠F=∠MNF+12∠O，
∴∠F=12∠O=12×70∘=35∘．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠BCD是△ABC的外角，
∴根据三角形外角的性质，∠BCD=∠A+∠B=18°+10°=28°．
∴这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为28°．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论．
本题主要考查了三角形外角性质，关键掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠3=110°，
∴∠4=180°−∠3=70°，
∴∠1−∠2=∠4=70°．
故选：C．
由平角定义求得∠4，再根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，可知∠1−∠2=∠4，即可得出答案．
本题主要考查的是三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，要求能够灵活使用．
7.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，外角∠ACD=103°，∠B=58°，
∴∠ACD=∠A+∠B，即103°=∠A+58°，
∴∠A=45°．
故选：B．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底角与顶角的关系，根据全等三角形对应角相等推出∠EDF=∠B是解题的关键.利用边角边证明得到△BDF与△CED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFD=∠CDE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠EDF=∠B，然后根据等腰三角形顶角与底角的关系即可得解．
【解答】
解：在△BDF与△CED中，
BD=CE∠B=∠CCD=BF，
∴△BDF≌△CED(SAS)，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠CDF=∠B+∠BFD，
∠CDF=∠EDF+∠CDE，
∴∠EDF=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠B=12(180°−∠A)=90°−12∠A，
∴∠EDF=90°−12∠A．
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠BOC=β，
∴∠CBO+∠BCO=180°−β，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，
∴∠ABC=180°−2∠CBO，∠ACB=180°−2∠BCO，
∴∠ABC+∠ACB=360°−2(∠CBO+∠BCO)=360°−2×(180°−β)=2β，
∴∠A=180°−(∠ABC−∠ACB)=180°−2β，
故选：C．
由三角形内角和定理，可得∠CBO+∠BCO=180°−β，再根据三角形外角的定义和角平分线的定义，得到∠ABC+∠ACB=2β，即可求出∠A的度数．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，平行线的性质等有关知识．
由角平分线的定义及三角形外角的性质可得12∠BAC=∠BDC，进而判定③；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD=90∘，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定①；利用得出分结论，计算2∠BEC−∠A，即可判断④．
【解答】
解：∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴∠ACD=∠DCF=12∠ACF=12∠ABC+12∠BAC，
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC=12∠ABC+∠BDC，
∴12∠BAC=∠BDC，即∠A=2∠D，故③错误；
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB，
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，
∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，
∵CD//AB，
∴∠CDB=∠ABD，
∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2∠D，
∵∠A=2∠D，
∴∠A=∠ABC，故①正确；
∵∠BEC=90°+∠ABD，
∴2∠BEC−∠A=2×(90°+∠ABD)−∠A
=180°−2∠ABD−∠A
=180°−∠ABC−∠A
又∠ABC=∠A，
∴2∠BEC−∠A=180°，故④正确，
综上，正确的结论有：①②④，
故选C．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，三角形的外角性质.根据正多边形的内角与外角，求出正五边形和正六边形的内角的度数，即∠ABC、∠ABE和∠E的度数；再根据各角之间的关系求出∠CBE和∠BAC的度数；然后根据三角形的外角性质求出∠DCB的度数；最后利用四边形的内角和为360°求出∠ADE的度数．
【解答】
解：∵正五边形的每一个内角的度数为：180°−360°÷5=108°，即∠ABC=108°，
正六边形的每一个内角的度数为：180°−360°÷6=120°，即∠ABE=∠E=120°，
∴∠CBE=∠ABE−∠ABC=120°−108°=12°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=(180°−108°)÷2=36°，
∴∠DCB=∠BAC+∠ABC=36°+108°=144°，
在四边形DCBE中，
∠ADE=360°−∠DCB−∠CBE−∠E=360°−144°−12°−120°=84°．
故选B．
12.【答案】B
【解析】设∠E=x，∵▵ABC绕点A旋转得到▵ADE，点D正好落在BC上，∴∠C=∠E=x，∠BAD=∠CAE，AB=AD．∵AE//BC，∴∠CAE=∠C=x，∴∠BAD=x．∵AB=AD，∠ADB=∠CAD+∠C=15∘+x，∴∠B=∠ADB=15∘+x.在▵ABD中，215∘+x+x=180∘，解得x=50∘，即∠E=50∘．
13.【答案】75
【解析】略
14.【答案】35°
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和．作出辅助线是解答本题的关键．
先在AC上截取AE=AB，连接DE.想办法求出∠B：∠C的值即可解决问题．
【解答】
解：在AC上截取AE=AB，连接DE，
∵∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED，BD=DE
又∵AB+BD=AC，
∴CE=BD=DE
∴∠C=∠EDC，
∴∠B=∠AED=2∠C
∴∠B：∠C=2：1，
∵∠BAC=75°，
∴∠B+∠C=180°−75°=105°，
∴∠B=70°，∠C=35°，
故答案为：35°．
15.【答案】减小
10

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理得到∠DGF的度数；利用∠EFD=110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】
解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB=180°−50°−60°=70°，
∴∠ECD=∠ACB=70°．
∵∠DGF=∠DCE+∠E，
∴∠DGF=70°+30°=100°．
∵∠EFD=110°，∠EFD=∠DGF+∠D，
∴∠D=10°．
而图中∠D=20°，
∴∠D应减小10°．
故答案为：减小，10．
16.【答案】55°
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE． 求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠2=∠ABD=30°，
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°．
故答案为55°．
17.【答案】是真命题，证明如下：原式=55a2+3a+1.因为a是自然数，所以代数式5a2+3a+1是自然数，所以代数式5a+25a+1+3的值是5的倍数．
【解析】略
18.【答案】105°；
∠AEC=90°+12∠B或∠AEC=12∠B
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠BCE=12∠ACB，
∴CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=180°−90°−30°=60°，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CAE=12∠BAC=30°，
∴∠AEC=180°−30°−45°=105°；
(2)当E在线段AD上时，如图，
∵∠ACB=90°,∠BCE=12∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°，
设∠B=α，则∠BAC=180°−90°−α=90°−α，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CAE=12∠BAC=45°−12α，
∵∠AEC=∠BCE+∠ADC=∠BCE+∠B+∠BAD=90°+12∠B，
∴∠AEC=180°−45°+12α−45°=90°+12α，
即∠AEC=90°+12∠B；
当E在线段AD延长线上时，如图，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD+∠BAD=180°−∠ADB，
∴∠AEC+∠BCE=180°−∠CDE，
∴∠ABD+∠BAD=∠AEC+∠BCE，
即∠B+45°−12∠B=∠AEC+45°，
∴∠AEC=12∠B．
综上所述，∠AEC=90°+12∠B或∠AEC=12∠B．
(1)根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；
(2)分为当E在线段AD上时及当E在线段AD延长线上时，两种情况进行讨论，根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及图形中角的和差关系进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和是180°是解题的关键．
19.【答案】解：(1)证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ACE，
∴∠ABC=∠ECD，
∴AB//CE．
(2)∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠ECD−∠EBC=12∠ACD−12∠ABC=12∠A=25∘．

【解析】略
20.【答案】【小题1】
证明：∵DE//AB，
∴∠A=∠CDE，∠DFA=∠FDE，
∵∠DFA=∠A，
∴∠CDE=∠FDE，
∴DE平分∠CDF；
【小题2】
解：∵∠A+∠C+∠ABC=180 ∘，∠C=80 ∘，∠ABC=60 ∘，
∴∠A=180 ∘−60 ∘−80 ∘=40 ∘，
∵∠DFA=∠A，
∴∠GFB=∠DFA=40 ∘，
∵∠G+∠GFB=∠ABC，
∴∠G=∠ABC−∠GFB=60 ∘−40 ∘=20 ∘．

【解析】1.
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．
由平行线的性质得到，∠A=∠CDE，∠DFA=∠FDE，等量代换可得∠CDE=∠FDE，即可得解；
2.
根据三角形的内角和求出∠A=40 ∘，即得∠DFA=40 ∘，根据对顶角相等得到∠GFB=40 ∘，再根据三角形的外角定理求解即可．
21.【答案】∠AED=66°，∠ACB=82°．
【解析】解：∵CD是边AB上的高，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵AE平分∠CAB，∠CAE=24°，
∴∠CAE=∠DAE=24°，
∴∠CAB=48°，
∴∠AED=90°−∠DAE=90°−24°=66°，
∵∠B=50°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠B
=180°−48°−50°
=82°．
根据三角形的角平分线可知∠CAE=∠DAE=24°，再利用三角形内角和是180°求解，得到答案．
本题考查三角形外角性质和三角形内角和定理，找到角之间的关系进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：设∠BAM=∠CAN=α，∠MAN=∠AMN=β，
则∠BAC=∠ACB=2α+β，∠MAC=α+β．
在△ACM中，∠MAC+∠C+∠AMC=180∘，
∴α+β+2α+β+β=180∘，∴α+β=60∘，
∴∠MAC=α+β=60∘．

【解析】略
23.【答案】60°，30°；
△ACD和△BCD是“友爱三角形”，理由见解析．
【解析】(1)如图1，∵△ABC是“友爱三角形”，∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，
∴∠B=12∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠A=60°，∠B=30°，
故答案为：60°，30°．
(2)如图2，△ACD和△BCD是“友爱三角形”，理由如下：
由(1)知∠B=30°，∠A=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°−∠A=30°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−30°=60°，
∴∠B=12∠BCD，∠ACD=12∠A，
∴△ACD和△BCD是“友爱三角形”．
(1)由“友爱三角形”的定义得到∠B=12∠A，由直角三角形的性质得到∠B+∠A=90°，即可求出∠A=60°，∠B=30°；
(2)由直角三角形的性质得到∠B=12∠BCD，∠ACD=12∠A，判定△ACD和△BCD是“友爱三角形”．
本题考查直角三角形的性质，关键是掌握“友爱三角形”的定义，直角三角形的两锐角互余．
24.【答案】解：(1)证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，
AB=AE∠BAC=∠EAFAC=AF，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴EF=BC．
(2)∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠BAE=180°−65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．
【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．
(1)由旋转的性质可得AC=AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC；
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°−65°×2=50°，那么∠FAG=50°.由△ABC≌△AEF，得出∠F=∠C=28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=78°．
25.【答案】解：(1)∠ADB与∠AEC之间的数量关系为∠ADB=∠AEC；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC；
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB．
由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE，即∠OBC=∠OCB，
∴OC=OB，
∴△BCO是等腰三角形；
(3)∠BDC度数的取值范围为60°45°，
∴∠ABD