河南省信阳市固始县2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

这是一份河南省信阳市固始县2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（ ）
A．10B．12C．16D．20
3．已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
4．已知直线l：的倾斜角为，则（ ）
A．1B．C．D．
5．已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（ ）

A．B．C．D．3
6．已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
8．过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ）

A．2B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点
10．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆
D．若，则是椭圆，其焦点在轴上
11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点到平面的距离为定值
C．当时，点在以的中点为端点的线段上
D．当时，平面
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知实数满足，则的最小值是 ．
13．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 .
14．已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)（1）计算： ；
（2）若 ，则x的值为_____；
（3）若 ，求正整数n．
16．(15分)已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
17．(15分)椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2)求的面积．
18．(17分)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点．
(1)求直线的方程；
(2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：．
19．(17分)如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
固始县2024-2025学年一高二高联考上期期末考试
高二数学试题参考答案
1．C
【解析】依题意存在实数，使得，根据根据向量相等得到方程组，解得即可；
2．D
【解析】根据椭圆定义进行求解.
3．D
【解析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
4．C
【解析】利用直线倾斜角求出斜率，然后根据一般式方程的斜率形式列方程求解即可.
5．B
【解析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得.
7．C
【解析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率.
10．AD
【解析】把已知方程变形，结合四个选项中的条件依次判断得答案．
11．BCD
【解析】对于A，由即可判断；对于B，由和平面即可判断；对于C，分别取和的中点和，由即即可判断；对于D，先求证平面，接着即可求证平面，进而即可求证平面.
12．
【解析】方程可化为，所以是以为圆心，半径为的圆上的点，与的距离是，所以的最小值是.故答案为：

13．4
【解析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4.
14．
【解析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．
15．（1）. (3分)
（2）依题意，，则，，
整理得：，而，所以. (4分)
（3）
，
因此，即，所以. (6分)
16．（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以. (6分)
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或. (9分)
17．（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
所以，离心率. (7分)
（2）由（1）知，直线的方程为，

由消去得：，解得，
所以的面积. (8分)
18．（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，则，所以抛物线的方程为，(2分)
当斜率存在时，设过点的直线的方程为，因为直线与抛物线相切，则联立得，，由解得，，
所以直线的方程为.(3分)
当直线斜率不存在时，满足过点的直线与抛物线相切，故过点与抛物线相切的直线方程为或 (3分)
（2）因为直线不与轴垂直，则直线的方程为，根据题意如图所示：

由得，因为点为抛物线C上的点，设，(3分)
由，则为的中点，则，因为轴，且直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，则
得，由得，(3分)
由，所以为的中点，即.(3分)
19．
（1）证明：在中，因为，，，
所以，
所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.(4分)
（2）由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则即令，则，，所以，
所以点到平面的距离. (6分)
（3）假设存在，设，则，
所以，
设平面DHP的一个法向量，因为，
所以即令，则，，
所以，
设平面的一个法向量，因为，EF=(2,0,0)，
所以即令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，即. (7分)