精品解析：广东省八校联盟2025-2026学年高三上学期开学质量检测（一）数学试题及答案

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1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. 3D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算先求复数，再利用即可求解.
【详解】由可得，故，
故选：A．
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合A和集合B，再利用集合的交集定义求解．
【详解】由题得，集合，
集合，
所以．
故选：D．
3. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果.
【详解】，求导得在上恒成立，
则，因为，所以要使得不等式恒成立，
则.
故选：C．
4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得出三角函数的周期，然后求出结果即可.
【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即，
解得，又，故其最小值为.
故选：B．
5. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数对数的转化先表示，利用换底公式化简，进而比较与的大小，利用简单的放缩即可比较与1的大小，进而求解.
详解】由，，得，，
又，即有，
所以，因此，所以．
故选：D．
6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正弦定理和三角函数的性质求出角，再利用三角形面积公式和角平分线性质建立关于边的方程，进而求出的值.
【详解】依题意，，
由正弦定理得.
移项可得.
所以.
所以，因为，所以，
两边同时除以，可得，即，所以.
由三角形面积公式可得，即，化简可得①.
因为，所以.
又因为平分，根据角平分线定理得，
即，所以②.
由①②解得
故选：B
7. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解.
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径．
因为到直线的距离，
当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离，
所以的最小值为．
故选：C．
8. 如图，在外接球体积为的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，且交于点F，当截得的较小部分的几何体的体积为时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体外接球体积可求出正方体棱长，然后结合图形和几何关系确定截面，根据较小几何体体积求出结果即可.
【详解】设正方体棱长为，则外接球半径为，所以，解得．
在上取一点，使得，连接，设，
由，可得平面为过，，三点的截面，．
，，
由题意知，整理为，解得或（舍），故．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中错误的是（ ）
A.
B. 当时，
C.
D. 随机变量落在与落在的概率相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正态分布的对称性可判断A，D；由方差的性质可判断B，当时，，利用正态分布的对称性即可判断C.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：当时，，故B错误；
对于C：当时，，，故C错误；
对于D：由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确．
故选：ABC．
10. 已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（ ）
A. C的实轴长小于2
B. C的渐近线方程可能为
C. C的离心率大于
D. C的焦距不可能为4
【答案】AC
【解析】
【分析】根据即可得，根据实轴的定义即可求解A，根据渐近线方程以及离心率公式即可求解BC，根据焦距求解D.
【详解】将代入可得，
对于A：，故，因此，所以实轴长为，则，故A正确；
对于B：渐近线方程为，若渐近线方程为，则，
结合可得，则，该方程无实数根，故渐近线方程不可能为，故B错误；
对于C：离心率为，故C正确；
对于D：若焦距为4，则，故，故D错误.
故选：AC
11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数的图象关于直线对称
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求出可判断A；利用，可判断B；利用，
可判断C；设，又， 得，可判断D．
详解】对于A，令，则，可得，
解得，故A正确；
对于B，由，可得，
所以函数的图象关于点中心对称，故B错误；
对于C，由可得，
所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，设①，
又②，由①②可得，
所以，即，
所以，所以，
，所以，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算先求，再由向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】因为，由题意得．
故答案为：.
13. 从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为________．
【答案】180
【解析】
【分析】由，知，必须同奇或同偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解.
【详解】由，知，必须同奇或同偶，
若，都为奇数，则有种选法；
若，都为偶数，则有种选法；
由分类加法计数原理知，满足题意的数组共有种.
故答案为：.
14. 已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】设，，当位于轴同侧时无解；当位于轴的不同侧时，，，联立求解即可.
【详解】设，，，则，，
结合抛物线定义，，
当位于轴的不同侧时，，
由，
整理可得，所以，，
所以，解得(负值舍)，此时的坐标为；
当位于轴同侧时，，此时无解.
故答案为：
【点睛】思路点睛：设出，，，则，，由，将其转化为直线与的斜率，建立关于的方程求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知数列的前n项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解；
（2）由（1）求出，再由裂项法求和即可证明．
【小问1详解】
由，则（n≥2），
两式左右分别相减得，即．
得，
则，，…，，，
将以上个式子相乘得．
上式对仍成立，所以．
【小问2详解】
，
∴．
故命题得证．
16. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上．
（1）若点是的中点，证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，需通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面，
（2）先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点，
所以，
又因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
如图，连接，易知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，可得，．
由，得，所以，进而．
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，
设二面角S-AC-P的平面角为θ，则，
故二面角的余弦值为．
17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
（1）当a=25时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；
（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值．
【答案】（1）（i）0.35；（ii）
（2）7．
【解析】
【分析】（1）（i）用频率代替概率即可；
（ii）先用频率代替概率得出科普过程性积分为的概率，再根据独立事件的乘法公式计算分布列，最后利用期望公式即可；
（2）先求出的最大值，再根据各分数段取最小值求得的平均分作为的最小值，根据即可求出.
【小问1详解】
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.35．
（ii）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，
X的所有可能值为6，7，8，
，，，
所以X的数学期望.
【小问2详解】
由表知，，则，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要使恒成立，当且仅当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，
则，解得，
所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7．
18. 如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积.
（3）在（2）的条件下证明：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用，直线的斜率为，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论；
（3）由（2）直接利用两点间的距离公式结合根与系数的关系证明.
【详解】（1）∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，
由，，得，
又，解得，，
∴椭圆的方程为；
（2）证明：直线的方程为，即，将其代入，
消去，整理得
设，.
∴，.
记的面积是，的面积是.
由题意，，
∵，
∴，
∵，.
∴的面积等于的面积；
（3）证明：由（2）知，，，，
∴，
，
，
.
19. 已知函数的导函数为．
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程；
（2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参；
（3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，则，
所以的图象在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由题知，，
因为有三个不同的零点，
所以方程有三个不等实根，
化简可得方程有三个不等实根，
即可看成直线与曲线有三个不同的交点，
，
所以当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图1所示，
所以数形结合可知，即实数的取值范围为．
【小问3详解】
由题知，，其定义域为，
则，
令，得或，
设，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减，
又当时，；当时，，且，
所以的大致图象如图2所示，
因为在定义域内有三个不同的极值点，
所以与有两个不同的交点，所以，
不妨设，则，
所以，所以
所以
，
令，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，
又，
所以，所以在上单调递增，
因为，
所以当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以实数的取值范围是．
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2