2024-2025学年上海市长宁区复旦中学七年级（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2024-2025学年上海市长宁区复旦中学七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图中，不是同位角的是
A．B．
C．D．
2．（3分）若，则下列不等式不一定正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，在△中，点在边上，，，则的度数为
A．B．C．D．
4．（3分）用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是
A．2.5B．5C．D．
5．（3分）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若，则的度数为
A．B．C．D．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
8．（2分）若、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形．
9．（2分）三角形的三边分别为5，，9，则的取值范围是 ．
10．（2分）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是，底面半径之比是，那么这个圆柱和圆锥的高之比是 ．
11．（2分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么 度．
12．（2分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
13．（2分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 ．
14．（2分）如图，在△中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ．
15．（2分）关于的不等式组有5个整数解，那么的取值范围是 ．
16．（2分）如图，在等边的，边上各取一点，，使，，相交于点，则 度．
17．（2分）如图，在△中，，点，分别是△边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ．
18．（2分）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．△绕着点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，当旋转时间为为 秒，△有一边与边平行．
三、解答题（19-21每题6分；22-23每题7分；24-25每题8分；26题10分，共58分）
19．（6分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组，并写出它的非负整数解．
20．（6分）如图，点、、分别在、、上，是等边三角形，且，是等边三角形吗？试说明理由．
21．（6分）一个圆柱形木块切成四块（如图①，表面积增加；切成三块（如图②，表面积增加；削成一个最大的圆锥（如图③，体积减少了多少立方厘米？取
22．（7分）如图，在△中，，点，点分别在边，上，满足，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
23．（7分）如图1，，于点，点是线段上的一点，若，．
（1）判断与的关系是 ．
（2）如图2，若点在线段的延长线上，过点在的另一侧作，并保持，，连接，，，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
24．（8分）如图，在等腰△中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）试说明的理由．
25．（8分）根据三角形全等知识易证：△中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮给每位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的△”的纸张，是△的中线，他们进行如下操作：
（1）如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，小亮在上取一点，将△沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ．
26．（10分）如图，已知在中，，，，射线，点为射线上的动点（点不与点重合），联结，将线段绕点顺时针旋转角度后，得到线段，联结、．
（1）试说明的理由；
（2）延长交射线于点，在点的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含的代数式表示）；
（3）当时，，，过点作垂直射线，垂足为，那么 （用含、的代数式表示）．
参考答案
一、单选题（每题3分，共18分）
1．（3分）下列图中，不是同位角的是
A．B．
C．D．
解：．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
．由图可知，，不是同位角，故符合题意．
故选：．
2．（3分）若，则下列不等式不一定正确的是
A．B．C．D．
解：、，
，正确，不符合题意；
、，
，正确，不符合题意；
、，
，正确，不符合题意；
、，
不一定大于，原变形错误，符合题意，
故选：．
3．（3分）如图，在△中，点在边上，，，则的度数为
A．B．C．D．
解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
4．（3分）用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是
A．2.5B．5C．D．
解：设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长可得：
，
解得．
故圆锥的底面半径为2.5．
故选：．
5．（3分）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
解：，
，
的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，
，，
，，
，
．
故选：．
6．（3分）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若，则的度数为
A．B．C．D．
解：四边形是长方形，
．
，．
，
点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点，
，．
．
故选：．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 “面积相等的两个三角形全等” ．
解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”，
故答案为：“面积相等的两个三角形全等”．
8．（2分）若、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 等边 三角形．
解：，
，，
，
这个三角形一定是等边三角形，
故答案为：等边．
9．（2分）三角形的三边分别为5，，9，则的取值范围是 ．
解：三角形的三边分别为5，，9，
，即．
故答案为：．
10．（2分）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是，底面半径之比是，那么这个圆柱和圆锥的高之比是 ．
解：设圆柱的底面圆半径为，高为，圆锥底面圆半径为，高为，
圆柱和圆锥的体积之比是，
，
，
，
故答案为：．
11．（2分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么 90 度．
解：如图，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
12．（2分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
解：6个边长相等的正方形的组合图形，如图，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
13．（2分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 圆上的点到圆心的距离相等 ．
解：由题意可知，用到的数学公理是：圆上的点到圆心的距离相等．
故答案为：圆上的点到圆心的距离相等．
14．（2分）如图，在△中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 7 ．
解：由条件可知，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：7．
15．（2分）关于的不等式组有5个整数解，那么的取值范围是 ．
解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
关于的不等式组有5个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
16．（2分）如图，在等边的，边上各取一点，，使，，相交于点，则 60 度．
解：如图，在等边中，，．
在与中，
，
，
．
，
．
故答案为：60．
17．（2分）如图，在△中，，点，分别是△边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ．
解：连接，
是△的外角，是△的外角，，，
，，
，，
．
故答案为：．
18．（2分）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．△绕着点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，当旋转时间为为 4.5或13.5或16.5 秒，△有一边与边平行．
解：如图所示，，
，
从顺时针旋转的时间为；
如图所示，，
，
从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，
所需时间为；
如图所示，，过点作，
，
，，
，
从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，
所需时间为；
如图所示，，
，
从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，故此种情况不符合题意，舍去；
如图所示，，设，交于点，
，
，
，
△绕点顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为，故此种情况不符合题意，舍去；
综上所述，当或或时，△有一边与边平行，
故答案为：4.5或13.5或16.5．
三、解答题（19-21每题6分；22-23每题7分；24-25每题8分；26题10分，共58分）
19．（6分）（1）解不等式：；
（2）解不等式组，并写出它的非负整数解．
解：（1）去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，；
（2），
解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解为：0，1．
20．（6分）如图，点、、分别在、、上，是等边三角形，且，是等边三角形吗？试说明理由．
解：是等边三角形，
理由：是等边三角形，
，
，
，
，，，
，
是等边三角形．
21．（6分）一个圆柱形木块切成四块（如图①，表面积增加；切成三块（如图②，表面积增加；削成一个最大的圆锥（如图③，体积减少了多少立方厘米？取
解：该圆柱形一个底面积为，
，，，
底面半径为，直径为，
该圆柱形高为
答：体积减少了．
22．（7分）如图，在△中，，点，点分别在边，上，满足，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【解答】（1）证明：在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
由（1）得：△△，
，
，
即，
，
，
即，
．
23．（7分）如图1，，于点，点是线段上的一点，若，．
（1）判断与的关系是 且 ．
（2）如图2，若点在线段的延长线上，过点在的另一侧作，并保持，，连接，，，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
解：（1）且，理由如下：
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
且．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
且．
24．（8分）如图，在等腰△中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）试说明的理由．
解：（1）△是等腰三角形，，
，
过点作的垂线，垂足为，
；
（2）在等腰△中，，为中线，
，，
，，
，
又，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
25．（8分）根据三角形全等知识易证：△中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮给每位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的△”的纸张，是△的中线，他们进行如下操作：
（1）如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，小亮在上取一点，将△沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ．
解：（1）；理由如下：
是△的中线，，
，，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）由（1）知△△，
，，，
，
同理，，，
将△沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，
，，
设，则，
平分，
，
，
，
在△中，，
，
解得，，
，
，
故答案为：．
26．（10分）如图，已知在中，，，，射线，点为射线上的动点（点不与点重合），联结，将线段绕点顺时针旋转角度后，得到线段，联结、．
（1）试说明的理由；
（2）延长交射线于点，在点的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含的代数式表示）；
（3）当时，，，过点作垂直射线，垂足为，那么 （用含、的代数式表示）．
【解答】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转角度后，得到线段，
，，
，
，
又，
；
（2）解：的大小不发生变化，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
故答案为：．