甘肃省武威第六中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷含答案解析

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1．C
【分析】由交集的定义求解即可．
【详解】由题意可得.
故选：C．
2．D
【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标.
【详解】依题意，，
所以复数对应点坐标为，该点在第四象限.
故选：D
3．D
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，将化“弦”为“切”，代入的值即得．
【详解】∵角的终边经过点，∴，
∴
故选：D.
4．C
【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可.
【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应，
所以选项ABD均不符合.
故选：C.
5．C
【分析】根据余弦定理即可得出答案.
【详解】在中，设，，，
所以由余弦定理得，
因为为的内角，所以.
6．A
【分析】根据向量的数量积可求的值.
【详解】,
故选：A.
7．A
【分析】根据古典概型的概率公式求解．
【详解】由统计表可知，共抽取了50名学生，阅读时间少于4小时有人，
所以随机抽取1名学生，估计阅读时间少于4小时的概率为.
故选：A.
8．B
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得.
【详解】因为，
在中，，
在中，，，
则，
由正弦定理得，则，
所以，
即镇国寺塔的高度约为35.48m．
故选：B.
9．AC
【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC.
【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确；
对于B选项，因为，所以，故B错误；
对于C选项，因为，所以，故C正确；
对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误．
故选：AC．
10．BCD
【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案.
【详解】由题意还图可得
对于A，由，则，故A错误；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，由，，则两两异面，故C正确；
对于D，取的中点为，连接，如下图：
由分别为的中点，则，
所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面，
易知，，则面积为，故D正确.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】根据题意，结合三角函数取值范围、二倍角公式、两角和差公式、同角三角函数关系等知识，即可得出结果.
【详解】对于A，因为，，
所以，所以，
所以，即，故A正确；
对于B，又，，则，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，，
.
故选：ABD.
12．
【分析】根据向量坐标运算得，再利用向量垂直的坐标表示即可得到答案.
【详解】因为向量，，所以，
又因为，则，解得.
故答案为：.
13．0
【分析】根据两角和的正切公式求，再利用正切表示所求式子，即可求解.
【详解】，
则.
故答案为：0
14．
【分析】解法一：通过计算边长，借助于勾股定理可得，取PA的中点，连接OB，OC，易得，即可得到点为三棱锥的外接球球心，求出其半径即得其表面积；解法二：将三棱锥补形成一个长方体，根据长方体的体对角线长即三棱锥的外接球直径，求出其半径即得其表面积.
【详解】
解法一：如上图，因为，
则可得，
由，可得．
取PA的中点，连接OB，OC，易得，
所以点为三棱锥的外接球球心，且球的半径，
故该三棱锥外接球的表面积为.
解法二：由已知及法一分析，可将三棱锥补形成长方体，如上图所示，
则三棱锥的外接球直径即长方体的体对角线长.
因，则长方体的体对角线，
所以三棱锥外接球的半径，故该三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案；
（2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果；
【详解】（1）因为，，
所以，.
所以
.
（2）
.
16．(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角.
（2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
则，而，所以.
（2）由（1）知，而，由正弦定理得，
由，得，则，
，
所以的面积.
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可.
（2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案.
【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点，
又因是的中点，故得，
又因平面，平面，所以平面．
（2）如图，连接，由（1）得是中点，
因为，所以，
又因为底面是正方形，且为对角线，所以，
又因为平面，所以平面
所以直线与平面所成角为，
因为在中， ，则，
故，即直线与平面所成角的大小为．
18．(1)
(2)
(3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
（3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，
可得，解得.
（2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为，
所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人.
（3）解：成绩来自的学生人数为人，记为，
成绩来自的学生人数为人呢，记为，
则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点，
设“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则，其中含了9个样本点，
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率.
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果；
（2）①首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果；②利用面积分割法结合余弦定理得，利用①的结论求解即可.
【详解】（1），
所以函数的相伴向量.
（2）①由题知，
由，得，
又，所以，即，所以，
又，由正弦定理，得，，
即，
因为，所以，即，
所以，即的取值范围为；
②由余弦定理得，即，
因为，所以，
所以，
由①知，所以，
所以内切圆半径的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
C
A
A
B
AC
BCD
题号
11









答案
ABD