（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题15 等差数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1869" 【题型一】等差数列概念及公式 PAGEREF _Tc1869 2
\l "_Tc12263" 【题型二】首项公差列方程型 PAGEREF _Tc12263 3
\l "_Tc4023" 【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型 PAGEREF _Tc4023 4
\l "_Tc18019" 【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型 PAGEREF _Tc18019 5
\l "_Tc14138" 【题型五】“高斯技巧”3：首尾和 PAGEREF _Tc14138 6
\l "_Tc8338" 【题型六】比值型1：首项公差不定方程 PAGEREF _Tc8338 7
\l "_Tc419" 【题型七】比值型2 ：双数等差中项型 PAGEREF _Tc419 8
\l "_Tc21777" 【题型八】比值型3：双数列下标不一致型 PAGEREF _Tc21777 9
\l "_Tc19736" 【题型九】比值型4：整数型 PAGEREF _Tc19736 11
\l "_Tc19328" 【题型十】前n，2n，3n项和应用 PAGEREF _Tc19328 13
\l "_Tc9341" 【题型十一】数列实际应用题 PAGEREF _Tc9341 14
\l "_Tc17878" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc17878 15
\l "_Tc8716" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc8716 18
\l "_Tc15638" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc15638 20
综述
1.等差数列有关公式：
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
2.等差数列常用结论：
若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：
(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；
(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；
(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；
(4)数列{eq \f(Sn,n)}是公差为eq \f(d,2)的等差数列，其通项公式eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))；
3.．等差数列与函数关系：
(1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)；
(2)经整理Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
【题型一】等差数列概念及公式
【典例分析】
已知数列，，均为等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果.
【详解】为等差数列，为等差数列，
的首项为，公差，
.
故选：C.
【变式训练】
1.若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（ ）
A．数列是公差为d的等差数列
B．数列是公差为cd的等差数列
C．数列是首项为c的等差数列
D．数列不是等差数列
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义，计算，由其结果即可判断出答案.
【详解】由题意可知，
所以数列是以cd为公差的等差数列，
故选:B．
2.在等差数列中，若公差为，、为数列的任意两项，则当时，下列结论：
①；②；③；④．
其中必定成立的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式依次讨论即可得答案.
【详解】解：由等差数列通项公式得，
所以，，，.
故②③④成立，①不成立.
故选：C
【题型二】首项公差列方程型
【典例分析】
在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．33B．30C．27D．24
【答案】A
【分析】用基本量表示题干条件，求出，即得解.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，解得 ，所以.故选：A

【变式训练】
1.已知是等差数列，，，则公差为（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】C
【分析】设的首项为，把已知的两式相减即得解.
【详解】解：设的首项为，根据题意得，
两式相减得.故选：C
2.等差数列满足，，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】由已知，利用等差数列的通项公式，可得关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，可得答案.
【详解】由，可得，解得，
代入，可得.故选：B.
3.在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】C
【分析】利用等差数列的下标和性质求得，进而得到a3＝10,求得公差，再求得首项，得到通项公式，然后解得.
【详解】由a1+a2+a321,得,a2a3＝70，∴a3＝10,∴公差
∴，
,解得故选：C.

【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型
【典例分析】
等差数列中，若，则（ ）
A．42B．45C．48D．51
【答案】C
【分析】结合等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意是等差数列，
，
.
故选：C

【变式训练】
1.在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
【答案】C
【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】由题设，，则，
所以.故选：C
2.等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=（ ）
A．45B．75C．180D．300
【答案】C
【分析】根据等差数列性质：若，则，运算求解.
【详解】∵{an}为等差数列，则，即
∴故选：C.
3.等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质可求.
【详解】因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
故选：C.
【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型
【典例分析】
.在等差数列中，已知前21项和，则的值为（ ）
A．7B．9C．21D．42
【答案】C
【解析】利用等差数列的前项和公式可得，即可得，再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，即，所以，
所以
，
故选：C
【变式训练】
1.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的求和公式计算
【详解】因为，所以．
故选：B
2.已知等差数列，其前项和为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可得，而由求和公式可得，代入可得答案．
【详解】由等差数列的性质可得，又，
所以，而故选：C．
3.设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．45C．D．90
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质及求和公式进行求解.
【详解】由等差数列的性质可得：，则.
故选：B
【题型五】“高斯技巧”3：首尾和
【典例分析】
已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12B．14
C．16D．18
【答案】B
【分析】根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.
又因为，所以n＝14.故选：B
【变式训练】
1.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．3B．5C．6D．10
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】因为数列为等差数列，
由，可得，，则.
故选：B.
2.等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ）
A．160B．180C．200D．220
【答案】B
【解析】把已知的两式相加得到，再求得解.
【详解】由题得，
所以.
所以.故选：B
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，am﹣1+am+am+1＝27，且Sm＝45，则m＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根据等差中项可得am＝9，再根据等差数列的求和公式可得结果.
【详解】由am-1+am+am+1＝27，得3am＝27，am＝9，
又Sm＝，
所以m＝9.故选：B．
【题型六】比值型1：首项公差不定方程
【典例分析】
设为等差数列的前项和，若，则________．
湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题
【答案】
【分析】先设等差数列的公差为，根据题意，得出首项和公差直接的关系，再由求和公式，即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，即，
所以.故答案为：.

【变式训练】
1.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，将都用表示出来，即可得出答案.
【详解】因为为等差数列，所以，则，所以，所以
故选：B.
2.设等差数列的前项和为.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的前项和公式，直接化简，即可求解.
【详解】由，得，即，所以.
故选：A
3.已知等差数列前n项和为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设及等差数列前n项和公式可得，求的数量关系，进而求即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由题设，，可得，∴.故选：D.
【题型七】比值型2 ：双数等差中项型
【典例分析】
设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.故选：B

【变式训练】
1.设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的前项和的性质可求的值.
【详解】,故选：D.
2.等差数列、的前项和为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差数列性质得解
【详解】 等差数列、的前项和为，，
由性质 得
又，故选：D.
3.设，分别是等差数列，的前项和，若，则
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【详解】试题分析：由，得 ，所以，故选A.
考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式.
【题型八】比值型3：双数列下标不一致型
【典例分析】
设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设，，由，直接计算即可.
【详解】设，，.则，，所以.故选：B.

【变式训练】
1.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列性质与前n项公式化简即可求解．
【详解】由．故选：D
2.已知均为等差数列的与的前n项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，由，，即可求解结果．
【详解】因为，又因为，
所以可设，，
则，
所以，即.故选：A
3.设等差数列，的前n项和分别是，若，则（ ）
A．1B． C． D．2
【答案】A
【分析】先由题设条件求得与的表达式，再求得与的表达式，即可求得结果．
【详解】由题设可令，，，
又当时，，，
，，.故选：A．
【题型九】比值型4：整数型
【典例分析】
已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为___________.
【答案】、、
【分析】利用等差数列前项和公式求得的表达式，结合为整数求得正整数的值.
【详解】由题意可得，
则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故答案为：、、
【变式训练】
1.已知等差数列和等差数列的前n项和分别为，且，则使为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2B．6C．4D．5
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质、等差数列前项和公式化简，进而求得符合题意的正整数的个数.
【详解】依题意，，
，
所以为整数的正整数为，共个.故选：C
2.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，_____，为整数的正整数的取值集合为_______．
【答案】 9
【分析】由等差数列的性质与前项和公式可得，然后利用整数知识可得的取值．
【详解】
，它为整数，
即（舍去）或或或或n,从而n
集合为
故为整数的正整数的取值集合为．
故答案为：9；．
3.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数k的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由等差数列的求和公式，得到，，求得，即可求解.
【详解】因为，所以，同理可得，
则，
当时，为整数，即满足条件的k的个数为5.
故选：C.
【题型十】前n，2n，3n项和应用
【典例分析】
在等差数列中，前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，设，可得，由等差数列的性质可知、、成等差数列，从而可得，化简可得结果
【详解】设，可得，
由等差数列的前项和的性质可知、、成等差数列，
则，解得，
因此，.故选：C.
【变式训练】
1.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】D
【分析】依据等差数列的性质去求的值
【详解】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20
故选：D
2.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和性质，求出，进而得到.
【详解】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，
即，
又因，，则解得，
因此.
故选：C.
3.已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
【答案】B
【分析】结合等差数列前项和的知识化简已知条件，从而求得正确答案.
【详解】依题意，等差数列的前n项和为且，
若，
，
，
.故选：B
【题型十一】数列实际应用题
【典例分析】
北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（ ）
A．782B．822C．780D．820
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.
【详解】设该数列为,
由题可知,数列是以为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,
所以所以
所以故选:B.
【变式训练】
1.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（ ）
A．5.5B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】由题意可得，解方程组求出，从而可求得答案
【详解】解：等差数列的公差为，由题意可得
，即，解得，
所以，
所以谷雨日影长为，
故选：D
2.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A．32石B．40石C．48石D．56石
【答案】B
【分析】由等差数列设甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量，，，，，根据已知条件列方程求参数a、d，即可求丁分得大米重量.
【详解】设甲，乙，丙，丁，戊所得大米分别为，，，，，
∴依题意，，即，
又，解得，
综上，可得，
∴丁分得大米重量为(石)，故选：B.
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．已知是等差数列，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】结合等差数列通项公式即可解决.
【详解】设等差数列的公差为 ，由得，，
则故选：B.
2．设等差数列的前项和为，若，则＝（ ）
A．60B．62C．63D．81
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式直接求解.
【详解】设等差数列的公差为,
由题可得,即,解得,
所以数列的通项公式,
所以.故选:C.
3．已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即 ，
根据等差数列的性质可知，
所以.故选:B.
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
所以，
又，
所以公差，
由得：，
故
故选：B
5．甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（ ）
A．21，28B．22，29C．23，39D．24，40
【答案】A
【分析】根据两位乘客的要求用数列的通项分别表示座位号特点，从而可得答案.
【详解】解：左侧窗口的座位号可以构成以1为首项，5为公差的等差数列，其通项为，
靠右侧窗口的座位号可以构成以5为首项，5为公差的等差数列，其通项为；
左侧过道的座位号可以构成以2为首项，5为公差的等差数列，其通项为，
右侧过道的座位号可以构成以3为首项，5为公差的等差数列，其通项为；
则符合甲旅客要求的是，；符合甲旅客要求的是，；
所以座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是21，28.
故选：A.
6．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．183B．125C．162D．191
【答案】D
【分析】设该数列为，先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得的值.
【详解】设该数列为，并设.
由，，，，…
可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为1，故，
故，
则，，，…，，()，
累加得，
即（显然，对于n=1也成立），故.
故选：D.
7．在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】设首项为，公差为，由已知有，所以可得的值．
【详解】解：为等差数列，设首项为，公差为，
由已知有，，
即．
故选：A．
8．已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（ ）
A．55B．50C．45D．10
【答案】A
【分析】由，，成等比数列，列出关系式，通过公差，解得首项，再利用求和公式即可得出．
【详解】∵，，成等比数列，
∴，可得，又等差数列{}的公差为1，
解得：，
则{}的前10项和．
故选：A．
9．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的下标性质将式子化为，再化为，进而得到，最后根据条件求得答案.
【详解】由题意，.
故选：C.
10．已知是数列的前n项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．325B．326C．327D．328
【答案】B
【分析】令，先求得，根据等差求和公式即可求解．
【详解】令，则，，
∴．
故选：B
培优第二阶——能力提升练
1．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36B．45C．63D．75
【答案】B
【分析】由等差数列的前项和性质可得成等差数列，进而可得结果.
【详解】因为为等差数列的前项和，
所以成等差数列，即成等差数列，
所以，解得，
故选：B.
2．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；
【详解】解：由，有，得．故选：A
3．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923B．6921C．8483D．8481
【答案】C
【分析】依题意数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出的取值范围，最后根据等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令，解得，
因此这个新数列的最后一项为，
设新数列的前n项和为，则．
故选：C．
4．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用及等差数列的性质进行求解.
【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D
5．数列{an}满足，且，是函数的两个零点，则的值为（ ）
A．4B．－4C．4040D．－4040
【答案】A
【分析】由题设可得+＝8，根据已知条件易知{an}是等差数列，应用等差中项的性质求.
【详解】由，是的两个零点，即，是x2－8x＋3＝0的两个根，
∴+＝8，又，即数列{an}是等差数列，
∴+＝8，故＝4.
故选：A.
6．已知数列的前n项和为，则______．
【答案】
【分析】利用求出，验证，即可求解.
【详解】当时，；
当时，．
不满足上式，所以．
故答案为：
7．等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
【答案】
【分析】证明得出，结合等差中项的基本性质可求得结果.
【详解】因为等差数列、的前项和分别为和，
则，
所以，.故答案为：.
8．已知为数列的前项和，数列是等差数列，若，，则___________.
【答案】
【分析】先求得的通项公式，由此求得，利用来求得.
【详解】设等差数列的公差为，则，所以，所以，由，可得.
故答案为：
9．正项等差数列的前和为，已知，则=__________.
【答案】45
【分析】根据题意可得，再根据，求得，再利用等差数列前n项和的公式即可得解.
【详解】解：由等差数列可得，
又，则，解得或，
又因为，所以，
所以.
故答案为：45.
10．已知等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】
【分析】由条件可得，然后可得，即可得到答案.
【详解】因为是等差数列的前项和，所以，即
所以
故答案为：
培优第三阶——培优拔尖练
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.
【答案】28
【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.
【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，
即有，则，因此，即，有，
于是得数列的通项为，，由得：，
所以数列的第10项是数列的第28项.
故答案为：28
2．若周长为15的三角形的三边成等差数列，最大内角为120°，则三角形的面积是__________．
【答案】
【分析】先求出三角形的三边分别为：3、5、7，即可求出三角形的面积.
【详解】设等差数列的公差为.
由周长为15的三角形的三边成等差数列，可得三边分别为.
由余弦定理得：，解得：.
所以三角形的三边分别为：3、5、7.
所以三角形的面积是.
故答案为：.
3．已知点P在双曲线上，分别是双曲线E的左、右焦点，若是的等差中项，且的面积为（c为双曲线E的半焦距），则双曲线E的离心率为__________．
【答案】##
【分析】设点P在第一象限，，则，由题意可得，从而可求得，然后在中利用余弦定理可求出，再利用同角三角函数的关系可得，再利用三角形的面积公式列方程可得，则有，从而可求出离心率.
【详解】设点P在第一象限，，则
因为是的等差中项，
所以，
所以，
则由余弦定理得，
因为，
所以，
因为的面积为，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以离心率故答案为：
4．若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是______________．
【答案】，
【分析】根据已知，利用等差数列的性质以及通项公式求解.
【详解】因为等差数列满足，
所以，所以，
又因为，
所以，即，所以，
所以，.
故答案为：，.
5．给出数列如下：，…，，…，则该数列的第2022项为_______.
【答案】
【分析】利用等差数列的前项和确定第2022项的取值即可.
【详解】由题意，数列中的项取完n时一共有
项，
则，，
，则，
当时，，即数列中的项从1取到63，并取完63时共有2016项，
当时，，数列中的项从1开始取完64时共有2080项，
故该数列的第2022项为64.
故答案为：64
6．设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．
【答案】①②
【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.
【详解】①当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；
②当时，；当时，，符合，所以，数列为等差数列；
③当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列；
④当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列.
故答案为：①②.
7．设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．
【答案】
【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解
【详解】不妨设的倾斜角为锐角向量与同向，
渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，，
，，
，
，，成等差数列，，，
在直角中，，由对称性可知：的斜率为，
，，（舍去）；
，，，
故答案为：
8．已知数列中，，，若，则______．
【答案】19
【分析】先由，
再求得，从而就容易求出结果了.
【详解】由，令，
数列是公差为1，首项为的等差数列，所以，
变形可得，由累加法得，所以，
所以，故数列是公差为的等差数列，
则的公差，所以．故答案为：19.
【点睛】关键点睛：求解本题的关键：（1）由得到，从而得到数列是等差数列；
（2）会利用累乘法得到，进而得到是等差数列．
9．已知数列，均为等差数列，且，，，，则________.
【答案】4
【分析】设，得出，令，可得构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值，得到答案.
【详解】由题意，设，
则，
令，可得构成一个等差数列，
所以由已给出的，，，
所以，可得，
所以，即.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及其应用，其中解答中，令，得到构成一个得出数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10．数列是公差不为零的等差数列,其前n项和为,若记数据的方差为,数据的方差为,则______.
【答案】4
【分析】由题意结合等差数列的和性质计算出第一组数据的平均数,然后计算出方差,再计算出第二组数据的平均数和方差,进而得到结果.
【详解】由题意,数列是公差不为零的等差数列,令其公差为,其前n项和为,
则数据的平均数为:,
其方差,
,则数列也为等差数列,
所以数据的平均数为:,
其方差为:

所以故答案为:
【点睛】本题结合等差数列的性质考查了方差的计算,在解题过程中灵活运用等差数列前n项和的性质是解题关键,另外在求解平均数和方差时一定要按照公式代入进行求解,本题较为综合,有一定的计算量.【提分秘籍】
基本规律
等差数列有关公式：
通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2)
【提分秘籍】
基本规律
等差数列基础思维：可以设首项a1与公差d为变量，列出关于首项a1与公差d的方程进行求解
【提分秘籍】
基本规律
高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+…+100的计算方法。它体现了一下几方面的等差数列思想
1.倒序求和思想。
2.等差中项思想
3.下标和思想：：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an
【提分秘籍】
基本规律
利用“高斯技巧”，可得等差数列奇数项和公式：
【提分秘籍】
基本规律
利用通项或前n项和公式，转化出关于首项和公差的比值关系（不定方程），代入即可化简求比值
【提分秘籍】
基本规律
双等差数列：
等差数列和的前项和分别为和，则
【提分秘籍】
基本规律
任一等差数列的前n项和，可以有函数关系：
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)。
所以，等差数列和的前项和分别为和，可以利用等差数列前n项和为一元二次型（既约型）
【提分秘籍】
基本规律
一般比值正数型，主要以分离常数为处理技巧。
【提分秘籍】
基本规律
等差数列前n项和有“分段等差”性质：
数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列
窗口
1
2
过道
3
4
5
窗口
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
…
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…
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