湖南省衡阳市2024_2025学年高二数学下学期7月期末考试试卷含解析

这是一份湖南省衡阳市2024_2025学年高二数学下学期7月期末考试试卷含解析，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在中，，，则A的大小可能为（ ）
A.B.C.D.
2.设集合，则a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.若为定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A.的最小值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最大值为2
4.关于复数，下列判断正确的是（ ）
A.z的实部为8B.z为纯虚数C.z的虚部为6D.z为实数
5.若，则（ ）
A.B.C.D.
6.设，，，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.将曲线向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A.B.的最小正周期为2
C.曲线关于直线对称D.曲线关于点对称
10.已知，则（ ）
A.B.
C.D.
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，位于第二象限的点M在C上，且的周长为12，线段与y轴交于点H.若，则（ ）
A.C的焦距为4B.C的实轴长为C.C的离心率为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.样本数据5，6，6，7，8，9，5的中位数为______．
13.已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______．
14.在一个棱长为10dm的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______dm．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立．
（1）在前两个球发完后，求甲共得1分的概率；
（2）设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望．
16.（15分）
如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点．
（1）若，证明：．
（2）设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值．
17.（15分）
在数列中，，且．
（1）求的通项公式．
（2）证明：．
（3）若数列中存在两项，，使得，则称为的等项数对．证明：的等项数对唯一．
18.（17分）
已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动．
（1）求C的方程．
（2）若直线AB的方程为，求内切圆的半径r．
（3）设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19.（17分）
已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数．
（1）写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且．
高二数学试卷参考答案
1.A 因为，所以，所以A的大小可能为．
2.A 依题意可得，解得．
3.B 由为定义在R上的奇函数，得，则，解得，则的最小值为．
4.D 因为，所以z为实数．
5.A 因为，所以．
故．
6.D ．
7.C 不妨假设，，该椭圆的离心率为，解得或，因为，所以，所以．
8.B 当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种；当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种．故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为．
9.BD 由图象变换可得，则的最小正周期，A错误，B正确．，，C错误，D正确．
10.ACD 令，得，A正确．
令，得，B错误．
因为，所以，C正确．
对两边同时求导，得，令，得，D正确．
11.ACD 易得，则，，A正确．因为的周长为12，所以，由，得，，设，，D正确．设，则，由等面积法可得，即，解得，由，整理可得，因为，所以解得，则C的实轴长为，B错误．C的离心率，C正确．
12.6 样本数据5，6，6，7，8，9，5按照从小到大的顺序排列为5，5，6，6，7，8，9，则所求样本数据的中位数为6．
13.；1 由圆C的方程，得，即，所以圆C：的半径为，则点到直线的距离，得．
设切点为，．由，得，得，因为，所以．设，则，当时，，当时，，所以，所以．
14. 记该正四面体为四面体PABC，铁球的最大半径为rdm，当铁球的半径最大时，把四个铁球的球心两两相连，此时构成一个棱长为2rdm的正四面体．设I为正三角形的中心，连接，则dm，正四面体的中心O到底面ABC的距离为dm．又O也是正四面体PABC的中心，所以O到底面ABC的距离为dm，即，解得．
15.解：（1）设“第i（，2，3）个球甲发球成功”，“‘第i（，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得1分”，
则，且与相互独立，与相互独立，与互斥，
所以．
（2）X的可能取值为，0，3，6．
，
，
，
．
X的分布列为
故．
16.（1）证明：连接BD，，
因为，底面ABCD为矩形，所以底面ABCD为正方形，所以．
在直四棱柱中，底面ABCD，则．
因为，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则，，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
因为，，
所以，
所以点F到平面的距离，
解得或．
17.（1）解：因为，，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，得．
（2）证明：设，
则，
则，
所以．
（3）证明：由（1）知，，
当时，，当时，，
所以，注意到，
，，，，，
所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为．
18.解：（1）因为抛物线C：经过点，所以，
解得或，
又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为．
（2）设，．
由得，则
则，．
因为点到直线AB的距离，
所以的面积，
所以．
（3）因为EF平分，所以，
设，，
则，
因为，所以，
整理得，
则，即．①
将代入，得，
则
代入①可得，
因为，所以，即，
所以直线AB过定点．
19.（1）解：因为，，所以在处的二阶拟合函数．
设，则，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，即，
所以对恒成立．
（2）解：根据（1）中的方法，同理可得对恒成立，
由（1）可知，则，
所以当时，对恒成立，则对恒成立．
设，当时，，
设，则，
所以在上单调递减，则，
所以，这与题意矛盾，所以．
（3）证明：因为，
所以，则，
则，
因为，所以有两个零点．
构造函数，
则，所以在R上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
不妨设，，则，，所以．X
0
3
6
P