湖南省2024_2025学年高一数学下学期期末考试试卷含解析

这是一份湖南省2024_2025学年高一数学下学期期末考试试卷含解析，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
得分：
一、选择题（本大题要 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意的）
1. 若 ，则 （ ）
A 12 B. 1 C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的模直接计算即可.
【详解】由题可知： .
故选：D
2. 若 ，则 （ ）
A. －16 B. －15 C. －14 D. －13
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数运算性质直接计算即可.
【详解】由 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
3. 若命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】得到 ，然后根据小充分大必要进行判断即可.
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【详解】由题可知： ： ，
所以 ，
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
4. 函数 图象的对称中心坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以 为整体，结合正切函数的对称中心运算求解.
【详解】令 ，解得 ，
所以函数 图象的对称中心坐标为 .
故选：C.
5. 如图，在棱长均为 2 的正四面体 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ， 所成角的
余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】分别计算 ，然后可得 ， 所成角的余弦值为 ，直接计算即可.
【详解】由题可知： ，
所以 ， 所成角的余弦值为 ，
故选：A
6. 若函数 的图象如图，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像可知函数为偶函数，以及函数图像始终在 轴上方，判断即可.
【详解】由图形判断函数的定义域为 ，且为偶函数，
对 A， ，故错误；
对 C， ，故错误；
对 B， ，
当 且始终是正数，故正确；
对 D， ，
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当 ，但 可以为负数，所以不符合要求，故错误.
故选：B
7. 已知某大厂的甲、乙车间生产的圆钢数之比为 ，现在要对甲、乙两个车间生产这种圆钢的直径进行
误差抽检，具体要求为按比例分层抽检 50 根，若抽检的甲、乙车间圆钢的直径误差的平均值分别为
，误差的方差分别为 ，则可以估计甲、乙车间的总体误差的方差约
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照分层抽样的方差计算公式计算即可.
【详解】由题可知：总体误差的平均数为
总体误差的方差为： .
故选：C
8. 如图，已知球 的半径为 1，两个大圆面 ， 互相垂直， ，若平面
与平面 的夹角为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】作出辅助线， ⊥平面 ， ⊥ ，由余弦定理和勾股定理求出各边长，求出
，求出 ，利用 得到 ，进而求出正切值.
【详解】过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
因为两个大圆面 ， 互相垂直，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理得
，
故 ，
由勾股定理得 ，
又 ，由勾股定理逆定理得 ⊥ ，
故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
故 ，
，
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故 ，故 .
故选：A
二、选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的 8 名同学第 19 题的得分情况如下：7，9，5，8，5，3
，3，3，第二组的 8 名同学第 19 题的得分情况如下：8，10，6，9，6，4，4，4，则（ ）
A. 第二组的平均数比较大 B. 两组的中位数之差的绝对值为 1
C. 两组的众数相等 D. 两组的极差相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平均数，中位数，众数，极差定义分别计算判断各个选项即可.
【详解】在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的 8 名同学第 19 题的得分情况如下：3，3，3，5
，5，7，8，9，第二组的 8 名同学第 19 题的得分情况如下：4，4，4，6，6，8，9，10，
第一组和第二组的平均数分别是 ，第二
组的平均数比较大，A 选项正确；
第一组和第二组的中位数分别是 5，6，所以中位数之差的绝对值为 1，B 选项正确；
第一组和第二组的众数分别是 3，4，不相等，C 选项错误
第一组和第二组的极差分别是 相等,D 选项正确；
故选：ABD
10. 若将 4 张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为 1，高均为 2 的一个密闭圆锥和一
个密闭圆柱、上下底面半径分别为 ，高为 2 的一个密闭圆台及直径为 2 的一个球（不考虑损耗），则体
积与其表面积之比最大的是（ ）
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A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
【答案】AC
【解析】
【分析】分别计算圆锥，圆柱，圆台，球的体积表面积，并求得体积与表面积之比，进行判断即可.
【详解】圆锥的体积为： ，表面积为： ，
所以 ，
圆柱的体积为： ，表面积为： ，
所以 ，
圆台的体积为： ，
表面积为： ，
所以 ，
球的体积为： ，
表面积为： ，
所以 ，
所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大.
故选：AC
11. 在 中，三个角 所对的边分别为 ，其外接圆的半径为 ，若 ，则（ ）
A. 的面积为 B.
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C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理、三角形面积公式结合条件 可判断 A；由余弦定理结合 ，利用基本
不等式可得 ，从而得到 的范围即可判断 B；利用基本不等式及条件 得到
，即可判断 C；设 ，则 ， ，代入 ，解得 的范围即可判断 D.
【详解】对于 A，在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 的面积为 故 A 正确；
对于 B，在 中，由余弦定理，得 ，当且仅当 时等
号成立，又因为 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，即 ，仅当 时等号成立，又
，所以 ，故 C 不正确；
对于 D，设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，解得 .
即 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 从 1，2，3，5 这四个数中随机取出 2 个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为______．
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【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】先求出从四个数中随机取两个不同数的所有可能情况，再找出它们差的绝对值为质数的情况.
【详解】从 1，2，3，5 这四个数中随机取出 2 个不同数，共有 种，所有可能的组合及其差的绝对值
为：
若取 和 ， ， 不是质数；
若取 和 ， ， 是质数；
若取 和 ， ， 不是质数；
若取 和 ， ， 不是质数；
若取 和 ， ， 是质数；
若取 和 ， ， 是质数；
满足它们差的绝对值为质数的组合为 、 、 ，共 3 种， 该事件概率为 .
故答案为： .
13 若 或 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合交集的定义求解即可.
【详解】由 可知，集合 包含所有的偶数，
用为 为偶数，又 或 ，
所以集合 中的元素都为奇数，所以 .
故答案为：
14. 若方程 在 上有唯一解 ，则 的值为______．
【答案】 ##
【解析】
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【分析】把方程变形（同构化），然后利用函数的单调性，化简方程，再由方程根的概念求解．
【详解】因为方程 在 上有唯一解 ，
所以
所以 ，其中 ，
设 ，
在 上单调递增；
所以 ，所以
故答案为： .
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用 计算即可；
（2）根据 ，得到 ，计算即可.
【小问 1 详解】
由 ，则 ，
又 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 ，所以 ，
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又 ，所以 ，
则 或
即 或
16. 在直三棱柱 中，已知 为 的中点， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，证明： 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，根据两平面平行的判定定理证明平面 平面 ，
再由两平面平行的性质定理即可证明 平面 ；
（2）由线面垂直的判定定理证明即可.
【小问 1 详解】
如图，取 中点 ，连接 ， ，因为 为 的中点，所以 ，
因 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ；
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【小问 2 详解】
如图，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 为正方形，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
17. 已知 均为第一象限的角，且
（1） 的值；
（2） 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，然后根据两角和的正弦公式计算即可；
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（2）先计算 ，然后利用二倍角的余弦公式计算即可.
【小问 1 详解】
由 均为第一象限的角， ，
所以 ，
所以 ，
所以
【小问 2 详解】
，
所以 ，
所以
18. 如图，在平面四边形 中，已知 ， 交于 ， ， ， ，
且 ，令 ， ．
（1）判断： 是否成立？请说明理由；
（2）求 的值；
（3）证明：当 时， 位于 外接圆的内部．
【答案】（1）成立，理由见解析
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（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理计算判断即可；
（2）利用正弦定理可得 ，然后判断即可；
（3）根据（2）的条件直接证明即可.
【小问 1 详解】
成立，理由如下；
由题可知： ， ，设 ，
所以 ，
所以
所以
【小问 2 详解】
在 中， ，
在 中， ，
由（1）可知 ， ，所以 ，
则 或 ，
当 ，即 时，所以 ；
当 时，所以 ，则 ，所以 与 矛盾，
所以
【小问 3 详解】
要证明 位于 外接圆的内部，即证明
第 14页/共 18页
由（2）可知 ，所以
19. 在不透明 甲袋中装有相同的 6 个红色的乒乓球，其中 个球上标有数字 个球上标有数字
个球上标有数字 3，在不透明的乙袋中装有相同的 3 个白色的乒乓球，其中 个球上标有数字
个球上标有数字 ， 个球上标有数字 3．
（1）若 ，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率；
（2）若 ，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为 ，再从乙袋中有
放回地随机摸出两个球，记下数字之和为 ，求 的概率；
（3）若 ，将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取 2 个小球，每
次取 1 个，记事件 第一次取到的是红球 ，事件 第二次取到了标记数字 1 的球 是否相
互独立?请说明理由．
【答案】（1）
（2） （3）是
【解析】
【分析】（1）设 为从甲袋摸出的球的数字， 为从乙袋摸出的球的数字，先求出各自的分布列，然后
利用独立事件和互斥事件概率公式计算得到；
（2）先求出 的分布列，然后比较并利用独立事件概率公式计算得到；
（3）直接分析可得到 ,利用全概率公式计算得到 ,然后利用独立事件概率定义验
证.
【小问 1 详解】
给定 ， .
甲袋：6 个红球，其中标数字 1 球有 2 个，标数字 2 的球有 2 个，标数字 3 的球有 2 个.
乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 1 个，标数字 3 的球有 1 个.
设 为从甲袋摸出的球的数字， 为从乙袋摸出的球的数字.
， ， .
， ， .
第 15页/共 18页
摸出两个球数字相等的概率为：
【小问 2 详解】
给定 ， ， ， .
甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 4 个，无标数字 3 的球.
乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 0 个，标数字 3 的球有 2 个.
从甲袋有放回摸两个球，数字和 ：
， .
的分布：
，
，
.
从乙袋有放回摸两个球，数字和 ：
， ， .
的分布：
，
，
。
和 独立，求 ：满足 的组合：
： ，
： ，
： ，
： ，
第 16页/共 18页
： .
总和：
【小问 3 详解】
给定 ， ， ， .
甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 4 个，无标数字 3 的球.
乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 2 个，无标数字 3 的球.
将乙袋球倒入甲袋后，总球数 9 个：标数字 1 的球有 个，标数字 2 的球有 个.
事件定义： ：第一次取到红球（红球共 6 个）， ：第二次取到标数字 1 的球（标数字 1 的球共 3 个）.
计算概率： ,
：第二次取到标数字 1 的球，由全概率公式：
，此时剩余标数字 1 的球有 2 个，总球 8 个，故 .
，此时剩余标数字 1 的球有 3 个，故 。
：第一次取到红球且第二次取到标数字 1 的球.
有序抽取，总可能结果数： .
有利结果：
第一次取标数字 1 的红球（有 2 个），第二次取标数字 1 的球（剩余 2 个标数字 1 的球）：
种.
第一次取标数字 2 的红球（有 4 个），第二次取标数字 1 的球（剩余 3 个标数字 1 的球）：
种.
总和： 种.
验证独立性：
第 17页/共 18页
因为 ，所以事件 和 相互独立.