湖北省武汉市2024_2025学年高一数学下学期期末考试试卷解析版

这是一份湖北省武汉市2024_2025学年高一数学下学期期末考试试卷解析版，共18页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数，所以．
故选：C.
2. 若，且三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. -3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由点，可得向量，
因为三点共线，可得，则，所以．
故选：A.
3. 已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的性质，求得，再由为锐角，结合余弦定理，求得的范围，即可求解.
【详解】设三角形为，且，
由三角形的几何性质，可得，
由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角，
则，即，解得
；，即，解得，
综上可得，，即的取值范围为.
故选：C.
4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】因为，可得，所以，
则向量在上的投影向量为.
故选：D
5. 若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A中，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，所以A错误；
对于B中，由线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，所以B正确；
对于C中，由线面垂直的性质，垂直于同一直线的两个平面平行，所以C错误；
对于D中，在空间中垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，所以D错误．
故选：B.
6. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案.
【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，，
则为异面直线与所成的角（或补角），
因为，，所以，
所以异面直线与所成角为．
故选：D.
7. 已知角，且，则（ ）
A. 2B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】由，求得，再由，求得，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为，可得，则，
可得，即，
又由，即，
可得，
等式两边同时除以，可得，
则 ．
故选：B.
8. 已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，得到，，则，得到时，取得最大值，进而求得的值，得到答案.
【详解】设圆O的半径为，以为原点，方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，设，
因为，所以，
所以，，
所以，其中，
当且仅当时，取得最大值，
此时1，
则．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C．
【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误；
对于D，若，则，故D正确；
故选：BD．
10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数为奇函数D. 函数在区间上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的部分图象，
可得，且，可得，所以．
又由，所以，
所以，因为，所以，
即，所以A正确；
对于B中，由，且，
因为不恒为0，所以B错误；
对于C中，将函数的图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，所以C正确；
对于D中，当，可得，
因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以D正确.
故选：ACD．
11. 如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（ ）
A. 当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直
B. 存在某个位置，使
C. 当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为
D. 当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取的中点，证得平面，又由， 证得平面，证得平面，故平面，可判定A正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，证得，进而可判定B错误；根据题意，得到平面平面时，此时四棱锥体积最大，可判定C正确；求得二面角—DE—B的平面角 ，得到，在中，利用余弦定理，可判定D正确.
【详解】对于A中，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面，
又因为分别为和的中点，所以， 同理可得平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
所以与平面垂直的直线必与直线垂直，所以A正确；
对于B中，假设存在某个位置，使，连接，取的中点，
连接，可得，又因为，，
所以平面，因为平面，所以，必有，
但，两者不等，所以不可能有DE，所以B错误；
对于C中，由是等腰直角三角形，则到的距离是，
当平面平面时，此时四棱锥体积最大，
点到平面的距离为，所以C正确；
对于D中，由，且，可得二面角—DE—B的平面角，
当二面角—DE—B的大小为时，即 ，
因为，所以为等边三角形，可得，
又由，所以异面直线与所成得的角，
即为直线与所成得的角，即，
则，所以D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人是男生，据此估计该校高一男生有______人.
【答案】390
【解析】
【分析】根据给定条件，求出分层抽样的抽样比，进而求得答案.
【详解】依题意，分层抽样的抽样比为：，所以该校高一男生的人数估计为：.
故答案为：390
13. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，则.
故答案为：.
14. 正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据台体的体积公式可得，即可根据勾股定理求解第一空，根据外接球的性质，结合勾股定理可求解半径，由表面积公式求解第二空.
【详解】如图，连接，则底面，
由题意可得，，该正四棱台的体积，，
连接，故；
设，
则，，
由，解得，
，即球的半径，
球的表面积为．
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中为虚数单位．
（1）若复数为实数，求实数值；
（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，由复数为实数，列出方程，即可求解；
（2）由复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由复数，，可得，
因为复数为实数，所以，解得.
【小问2详解】
解：由复数，
因为复数对应的点在第一象限，则满足，解得，
所以的取值范围是.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是以PA为斜边的等腰直角三角形，是以PC为斜边的等腰直角三角形，F、G、H分别是PB、CD、PA的中点．
（1）求证：平面
（2）求直线PB与平面ABCD所成角．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而证明线面平行；
（2）证明线面垂直，所以直线PB与平面ABCD所成角即为，并求出各边长，求出，即直线PB与平面ABCD所成角.
【小问1详解】
连接，

因为为中点，为的中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面；
小问2详解】
连接，由题，，且平面，，
所以平面，
所以直线在平面内的射影为直线，
所以直线PB与平面ABCD所成角即为，
在菱形ABCD中，，所以，
在中，，
所以在中，，所以该三角形为一个等腰直角三角形，
所以，即直线PB与平面ABCD所成角.
17. 在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且．
（1）求角；
（2）若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，可得，求得，即可求解；
（2）在中，由余弦定理，求得或，分类讨论，分别求得的长，进而求得三角形的周长.
【小问1详解】
因为
由正弦定理得，即，
因为，可得，则，所以.
【小问2详解】
在中，因为，
由余弦定理得，
即，解得或，
当时，，
则，即，此时周长；
当时，
则，即，此时周长为，
综上所述，的周长为或.
18. 在正方体中，是棱的中点，是正方体棱上的一动点．
（1）若为线段上的动点，求的最小值；
（2）证明：平面平面；
（3）若为线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）应用展开图得出距离和最小；
（2）先应用线面垂直判定定理得出得，进而应用面面垂直判定定理证明；
（3）应用面面垂直性质定理得出平面，结合二面角定义得出为平面与平面的夹角，最后应用余弦定理结合值域求解.
【小问1详解】
将平面展开到平面，

则，仅当共线时等号成立，
所以的最小值为
小问2详解】
连

由图，平面，平面，所以
因为四边形为正方形，所以，平面，
由线面垂直的判定定理可得平面，平面，所以
同理可得，平面，
故平面；
又因为 平面，故平面平面
【小问3详解】
过点作，交于点，

所以，
则平面即为平面，平面即为平面，
则平面平面，
且平面，则平面，
且平面，则，
可知为平面与平面的夹角，
因为为线段上的动点，所以为线段上的动点，
在正方体，结合对称性可知：
当为线段中点时，取到最大值，取到最小值，
此时，则；
当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值；
综上所述：，
所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围
19. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为．
（1）已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；
（2）已知，设（），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求；
（3）已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）求出函数的“和谐向量”向量，利用向量的模长公式，结合三角函数的有界性求解即可；
（2）设，利用平面向量的线性运算，结合两角和的正弦公式求解即可；
（3）由（1）知，当时，最小，此时，令，利用数量积的坐标运算，可得，导出矛盾即可得到答案.
【小问1详解】
所以函数的“和谐向量”向量，
，
因为，所以，
所以的取值范围为
【小问2详解】
设，
则，
所以
，
此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中，
所以，即，所以，
所以的最大值，
所以
【小问3详解】
由（1）知，当时，最小，此时，
所以，
设，令，
则，
因为，
所以，即，
所以 ，所以，即，
而，则，此时，等式不成立，
所以在的图象上不存在一点，使