江西省景德镇市昌江区景德镇一中2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

这是一份江西省景德镇市昌江区景德镇一中2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初二（1）班上学期期末数学试卷
一、选择题
1 ．若正比例函数y= ax(a ≠0) 与反比例函数y = (b ≠0) 的图象有两个交点，其中一个交点 的坐标为(-2, -1)，则另一个交点的坐标为 ( )
A ．(1, 2) B ．(2, -1) C ．(-1, 2) D ．(2,1)
2 ．已知函数 其中相同的函数是 ( )
A ．①与② B ．①与③ C ．④与② D ．③与④
3．如图，抛物线y=x2+1 与双曲线 的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式
0 的解集是( )
A．x＞1 B．x＜ -1 C ．0＜x＜1 D ． -1＜x＜0
4 ．如图，点 A ，B 在反比例函数 的图象上，点 C，D 在反比例函数 的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为 1 ，2 ，△OAC 与△ABD 的面积之和
为 ，则 k 的值为( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．
5 ．已知A(-3, 0)、B (0, -4)，P 为双曲线 0) 上的任意一点，过点 P 作PC 丄 x 轴于 点 C，PD 丄 y 轴于点 D ．四边形ABCD 面积 S 的最小值为( )
A ．22 B ．23 C ．24 D ．26
6 ．如图，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x ＝1，与 x 轴的一个交点坐标为(－1， 0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程 ax2＋bx＋c ＝0 的两个根是 x1 =-
1，x2 ＝3 ；③3a＋c＞0；④当y＞0 时，x 的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0 时，y 随 x 增 大而增大．其中结论正确的个数是( )
A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个
二、填空题
7 ．已知公式cs (a + β) = csa cs β - sina sin β ,那么 cs 75° = ；
8 ．若x、y 为实数，且 则3x + 4y =
9 ．已知一组数据x1, x2, … , x6 的方差为 则关于数据
x1 + 1, x2 + 1,… , x6 +1 的平均数为 ；
10 ．设f (x) 为一次函数，满足：f (0) = -1 ，f (f (0)) = -2 ，则 f (2019) = ；
11 ．若正六边形T1 内接于圆 O，正六边形T2 外切于圆 O，则T1 与T2 的面积比为 ；
12 ．如图，在平面直角坐标系中，RtΔOAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为 点C 的坐标为，点 P 为斜边OB 上的一个动点，则PA + PC 的最小值为 ．
13 ．如图，ΘO 与 Rt△ABC 的斜边 AB 相切于点 D，与直角边 AC 相交于点 E，且 DEⅡBC．已知 AE ＝2 、 ，AC＝3 、 ，BC＝6，则ΘO 的半径是 .
14．已知关于x 的二次函数y = 3x2 - 6mx + 4m2 + 2m + 2, ，其中m 为实数，当－2≤x ≤1 时，y 的最小值为 4，满足条件的 m 的值为 或 ；
15 ．在四边形ABCD 中，上A : 上B : 上C : 上D = 9 :12 :10 :17 ，AB = BC ，CD = 2 ．则 BC = ；
16 ．已知 当x, a 变化时，y 的最小值是
三、解答题
17 ．杭州跨海大桥海天一洲观景平台景色优美，如图 1 ．现测量人员在船上测量观光塔高 PQ，在海上的 D 处测得塔顶P 的仰角上PDF 为80° ,又测得塔底座边沿一处C 的仰角
上CDH 为30° , C 处的海拔高度CB = 12 米，到中轴线PQ 的距离CE 为 10 米，测量仪的海 拔高度 AD = 2 米， DF 丄 CB 于H ，交PQ 于F ，求观光塔的海拔高度PQ ．（精确到 0.1 米， tan 80° ≈ 5.7 ，sin80° ≈ 0.98 ，cs80°≈0.17 ， ≈ 1.73)
18 ．如图，点A(m, m + 1) ，B(m + 3, m -1) 都在反比例函数 的图像上．
(1)求 m ，k 的值；
(2)若 M 为 x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A 、B 、M、N 为顶点的四边形是平行四边形， 求直线MN的函数表达式．
19 ．已知 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程4kx2 - 4kx + k +1 = 0 的两个实数根．
x x
(1)是否存在实数 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说 明理由；
(2)求使 1 + 2 - 2 的值为整数的实数 k 的整数值． x2 x1
20 ．在锐角 △ABC 中，AD ^ BC ，D 为垂足，DE ^ AC ，E 为垂足，DF 丄 AB ，F 为垂 足．O 为△ABC 的外心，求证：
(1) △AEF ∽△ABC ；
(2) AO 丄 EF ．
21 ．如图（1），已知抛物线 y = ax2 + bx + 2 与 x 轴相交于点A(x1 , 0) 、B (x2 , 0)(x1 < x2 ) ，且
x1 、x2 是方程x2 - 3x - 4 = 0 的两根，与y 轴相交于点 C．连接AC 、BC ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①请说明点 C 在以AB 为直径的ΘM 上，并直接写出ΘM 与抛物线的另一交点坐标；
(3)如图②点 P 是线段AB 上的动点，过 P 作DP Ⅱ BC 交AC 于 D，连接 CP ．求△CDP 的 最大面积；
(4)如图③若平行于 x 轴的动直线 l 与线段AC 交于点 E，与线段 BC 交于 F．点 Q 是 x 轴上 的动点．问：是否存在直线 l，使△EFQ 是等腰直角三角形？若存在，请求出 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由．
22 ．如图 1，关于 的二次函数 y=－x2 +bx+c 经过点 A（－3,0），点 C（0,3），点 D 为二次 函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 轴的距离相等，若存在求出点 P，若不存在请 说明理由；
（3）如图 2 ，DE 的左侧抛物线上是否存在点 F，使 2S△BCF =3S△EBC ，若存在求出点 F 的坐
标，若不存在请说明理由．
1 ．D
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点坐标的求法，解题的关键是求得解析式后再 联立方程组即可求出交点坐标．将交点坐标代入解析式中，求出 a，b 的值，然后再联立方 程组求另一个交点坐标．
【详解】解：将 (-2，-1)代入y = ax 中，即 ， :正比例函数为： ，
将 代入 0) 中，即b = 2 ， :反比例函数为： ，
联立方程组 即
整理得：x2 = 4
解之得：x1 = 2, x2 = -2 ，
将x1 = 2 代入正比例函数 中， 解得y1 = 1
:另一个交点的坐标为(2,1)
故选：D．
2 ．D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件，根据各函数中自变量 所在式子的形式，先化简再分别确定取值范围，由此得到答案
解 中x ≥ 0 ；
中x ≠ 0 ；
中 x 可以是任意数；
④ y = x = x 中 x 可以是任意数；
故选：D
3 ．D
【分析】把 A 点的横坐标 1 代入抛物线y＝x2＋1，求出点 A 的坐标，代入 中求的值，
再求式 的解集，确定不等式 的解．
【详解】解：当 x ＝1 时，y＝x2＋1 ＝2， :A（1 ，2），
y＝x2＋1 关于 x 轴的对称的函数关系式为y ＝-x2-1， k＝xy ＝1×2 ＝2 ，即 ，
:由图象及对称性可得与y ＝-x2-1 交点横坐标为：x ＝-1 ， 由图象可知，不等式 的解集就是 的解集， 得出：-1＜x＜0．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系．关键是根据题意求反比例函数解析式， 求出二次函数与反比例函数解析式和为 0 时 x 的值．
4 ．B
【分析】首先根据 A,B 两点的横坐标，求出 A,B 两点的坐标，进而根据 AC//BD// y 轴,及反 比例函数图像上的点的坐标特点得出 C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形 的面积公式表示出 S△OAC,S△ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，列出方 程，求解得出答案.
把 x=1 代入 得：y=1, :A(1,1),把 x=2 代入y = 得： ,
∵AC//BD// y 轴,
×1,
又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，
解得：k=3;
故答案为 B.
【点睛】:此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征， 熟练掌握反比例函数 k 的几何意义是解本题的关键.
5 ．C
【分析】本题考查了几何图形与函数结合的最值问题，通过设点 P 坐标，分解四边形为多 个三角形是解题的关键．将四边形ABCD 的面积表示为关于点 P 横坐标的函数，再利用不 等式性质求最小值．
【详解】解：设点 P 的坐标为 Q PC 丄 x 轴、PD 丄 y 轴，
QA(-3, 0), B (0, -4)，
:OA = 3, OB = 4 ，
: S四边形ABCD = S△AOD + S△DOC + S△BOC + S△AOB = +
当且仅当 = · 时，取等号）
9 9 9
\ x x x
:x - 2× × + ≥ 0 ，即 x + ≥ 6 ，
: S四边形ABCD ≥ 2 × 6 +12 = 24 ，
: 当 ，即 x =3 时，四边形ABCD 面积 S 的最小值为 24， 故选：C．
6 ．B
【详解】解：∵抛物线与 x 轴有 2 个交点， :b2 -4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1，而点（ -1 ，0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（3 ，0）， :方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1= -1，x2=3，所以②正确；
,即 b= -2a，而 x= -1 时，y=0，即 a -b+c=0， :a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与 x 轴的两点坐标为（ -1 ，0），（3 ，0）， :当 -1＜x＜3 时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1，
:当x＜1 时，y 随 x 增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线 向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物 线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2 -4ac >0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2 -4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2 -4ac 1，根据函数的增 减性，即可得出答案．
【详解】解：原式变形为 y = 3(x - m)2 + m2 + 2m + 2 ，
:对称轴为x = m ，
Q 二次函数当-2 ≤ x ≤ 1 时，y 有最小值为 4， : ①当-2 ≤ m ≤ 1时，
当x = m 时，y 有最小值为 4，
:m2 + 2m + 2 = 4 ，
解得：m1 = -1+ , m2 = -1- (舍去)， ②当m < -2 时，
当x = -2 ，y 有最小值为3× (-2)2 - 6m× (-2)+ 4m2 + 2m + 2 = 4 ， 化简整理得2m2 + 4m + 5 = 0 ，
解得： ，m2 = -1
③当m > 1时，
当x = 1 ，y 有最小值为3× 12 - 6m× 1+ 4m2 + 2m + 2 = 4 ， 化简整理得4m2 - 4m +1 = 0 ，
解得：
满足条件的 m 的值为 或
故答案为：-1+ ；- ．
15 ．
【分析】设上A = 9x° , 则上B = 12x° , 上C = 10x° , 上D = 17x° , 先由四边形内角和定理求得
上A = 9x° = 67.5° , 上B = 12x° = 90° , 上C = 10x° = 75° , 上D = 17x° = 127.5° ,连接 AC ，延 长AD 、BC 相交于 F，过点 D 作DE 丄 AC 于 E，求得上DCE = 上BCD - 上ACB = 30° , 利用 直角三角形的性质和勾股定理求得DE = 1 ，CE = · , 再证明CF = AC ，设AB= BC = y ，则 CF = AC = y ，AE = y - ，BF = (1+ )y ，然后证明 △AED∽△FBA ，得
即 求出y 值即可．
【详解】解：∵ 上A : 上B : 上C : 上D = 9 :12 :10 :17 ，
:设上A = 9x° ,则 上B = 12x° , 上C = 10x° , 上D = 17x° ,
: 9x +12x +10x +17x = 360
解得：x = 7.5
: 上A = 9x° = 67.5° , 上B = 12x° = 90° , 上C = 10x° = 75° , 上D = 17x° = 127.5° , 连接AC ，延长 AD 、BC 相交于 F，过点 D 作DE 丄 AC 于 E，如图，
∵ AB = BC ，ÐB = 90° , : 上BAC = 上ACB = 45° ,
: 上DCE = 上BCD - 上ACB = 30° , 上DAC = 上BAD - 上BAC = 22.5° ,
∵ DE 丄 AC ，
: 上DEC = 90° ,
: CE = = ，
∵ 上AFB = 90° - 上BAC = 22.5° , : 上AFB = 上DAC ，
: CF = AC ，
设AB = BC = y ，则 ∵ 上AFB = 上DAC ，上AED = 上ABC = 90° ,
: △AED∽△FBA ，
解得
故答案为
【点睛】本题考查多边形内角和定理， 直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与 性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键，难度较大，属中 考常考试题目．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股
定理，根据题意可得y 表示的是点(çè x, ÷到点(a, - -a 1) 的距离，则y 的最小值可以表示为函
数 上的一点到到函数y= - -x1 上一点的距离的最小值，设直线y = -x + b 与函数y = 有且只有一个交点，则可得到y = -x + b = -x - 4 ；设直线y= -x - 4 和直线y= - -x1 分别交 y 轴于B、A，直线y= -x - 4 与x 轴交于D，可证明 △BOD 是等腰直角三角形，得到上OBD = 45° , 过点 A 作AC 丄 BD 于 C，则△ABC 是等腰直角三角形，可求出AC = ，由于直线y= - -x 1 与直线y= -x - 4 平行，则直线y= -x - 4 上一点到直线y= - -x1 上一点的距离的最小值为
,据此可得答案．
:y 的最小值可以表示为函数y = 上的一点到函数y= - -x1 上一点的距离的最小值，
设直线y = -x + b 与函数y = 有且只有一个交点， 联立 得：x2 - bx + 4 = 0 ，
: Δ = (-b)2 - 4× 4 × 1 = 0 ，
: b = ±4 ；
当b = -4 时，y = -x + b = -x - 4 ，
如图所示，设直线y= -x - 4 和直线y= - -x1 分别交y 轴于 B、A，直线 y= -x - 4 与 x 轴交 于 D，
: A (0, -1)，B (0, -4)，D (-4, 0) ， :OD = OB = 4，AB = 3 ，
: △BOD 是等腰直角三角形， : 上OBD = 45° ,
如图所示，过点 A 作AC 丄 BD 于 C，则△ABC 是等腰直角三角形， : AC = BC ，
: AB = = AC = 3 ，
:直线y= - -x1 与直线y = -x - 4 平行，
:直线y= -x - 4 上一点到直线y= - -x1 上一点的距离的最小值为 ，
3 2
.
故答案为：
2
17 ．157.6m
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 首先利用锐角三角函数关系得出DH 的高，进而求出PF 的高，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：AD = BH = 2m ，CH = BC - BH = 10m ，则 EC = CH ，故四边 形CHFE 是正方形，
Q 上CDH = 30° ,
解得： ，
解得：PF ≈ 155.6 ，
故PQ = PF + 2 = 157.6(m) ．
答：观光塔的海拔高度PQ 为157.6m ．
18 ．(1) m = 3 ，k = 12
【分析】（1）求 m 、k 两个未知字母，把A 、B 两点代入反比例函数即可；
（2）按图中所给情况，M 、N 有可能都在坐标轴的正半轴，也有可能在坐标轴的负半轴， 因此要分类讨论，平移应找到对应点，看是如何平移得到．求出直线MN的函数表达式，需 求出A ，B 两点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可知，m (m + 1) = (m + 3)(m - 1) ，解得 m = 3 ，
: A(3, 4) ，B(6, 2) ，
:k = 4 × 3 = 12 ；
（2）解：存在两种情况，如图：
①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M1 点坐标为(x1 , 0)， N1 点坐标为(0, y1 ) ，
Q 四边形AN1M1B 为平行四边形，
:线段N1M1 可看作由线段AB 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到的， （也可看作向下平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位得到的）
由（1）知 A 点坐标为(3, 4) ，B 点坐标为(6, 2) ，
:N1 点坐标为(0, 4 - 2) ，即N1 (0, 2) ，
M1 点坐标为(6 - 3,0) ，即M1 (3,0) ，
设直线M1N1 的函数表达式为y = k1x + 2 ， 把x = 3 ，y = 0 代入，
解得 ，
:直线M1N1 的函数表达式为
@当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时， 设M2 点坐标为(x2 ，0) ，N2 点坐标为(0, y2 ) ，
Q AB Ⅱ N1M1 ，AB Ⅱ M2N2 ，AB = N1M1 ，AB = M2N2 ，
:N1M1 Ⅱ M2N2 ，N1M1 = M2N2 ，
: 四边形N1M2N2M1 为平行四边形，
: 点M1 、M2 与N1 、N2 关于原点O 成中心对称， :M2 点坐标为(-3, 0) ，N2 点坐标为(0, -2) ，
设直线M2N2 的函数表达式为y = k2x - 2 ， 把x = -3 ，y = 0 代入，
解得
:直线M2N2 的函数表达式为 ．
③ AB 为对角线时，平行四边形不存在．
综上所述，直线MN的函数表达式为 或
【点睛】本题考查求函数解析式， 反比例函数图象性质，平行四边形的性质，平移的坐标变 换规律．平行四边形从动态来看也可以是由一条线段平移得到的是解题的关键．
19 ．(1)不存在满足条件的 k 值，理由见解析
(2) k= - 2 ，-3 或-5
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系， 代数式的推理变形过程是 解答本题的关键．
（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得 x1 + x2 = 1 ， 然后 把x1 + x2 ，x1x2 的值代入 中，即可求得 k 的值；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得 根据 + - 2 的值为 整数，以及 k 的取值范围即可确定 k 的值．
【详解】（1）Qx1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程4kx2 - 4kx + k +1 = 0 的两个实数根，
: (2x1 - x2 )(x1 - 2x2 )=2x12 - 4x1x2 - x1x2 +2x22
= 2(x1 + x2 )2 - 9x1x2
解方程得 k = ，
QΔ=16k2 - 4× 4k(k + 1) = -16k > 0 ， :k < 0 ，
这与k = 矛盾，
:不存在这样 k 的值；
由 得
x2 x1 x1x2

x x
Q 1 + 2 - 2 的值为整数，
x2 x1
即 的值为整数，
:k +1=1或-1，或 2 ，或 -2 ，或 4 ，或 -4 ， 解得k=0 或-2 ，1 ，-3 ，3 ，-5 ，
Q k < 0 ，
:k= - 2 ，-3 或-5 ．
20 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定， 以及圆周角定理，综合性较强，有利于同学们 综合能力的提高．
（1）利用直角三角形相似，得出有关比例式，再利用两边对应成比例，且夹角相等，可以 证明．
（2）利用圆周角定理以及（1）中结论，要证垂直，应证另两角互余即可． 【详解】（1）证明：Q AD 丄 BC ，DE 丄 AC ，DF 丄 AB ，
:Rt △ADB∽Rt △AFD ，Rt △ADC∽Rt △AED ，
即：AD2 = AB . AF ， 即：AD2 = AE . AC ， : AB . AF = AE . AC ，
即： ，
又Q 上BAC = 上BAC ， :△AEF∽△ABC ；
（2）证明：连接 AO 并延长到eO 上一点M ，连接 BM ， Q AM 是圆的直径，
:上ABM = 上M + 上BAM = 90° ,
又Q 上C + 上CAD = 90° , 上C = 上M，
:上BAM = 上CAD ， Q△AEF ∞△ABC ， :上C = 上AFE ，
:上AFE + 上BAM = 90° ,
即：AO 丄 EF ．
(2)见解析，(3, 2)
(3)
( 2 ö ( 8 ö ( 2 ö
(4)存在，点 Q 的坐标为çè - 7 , 0,÷ 或 çè7 , 0,÷ 或 çè 3 , 0,÷
【分析】（1）先解一元二次方程，求出 x1 、x2 的值，从而求得点 A、B 的坐标，再用待定系 数法求解即可；
（2）作 eM ，连接 CM ，先求得 从而求得CM = ， 即可判定点 C 在eM 上，再利用圆与抛物线的对称性求出圆与抛物线另一交点坐标即可；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明 上ACB = 90° , 从而证明 上PDC = 上PDA = 上ACB = 90° ,
得到S△CDP = PD . CD ，设P(m, 0)，则 AP = m +1，再证明 △APD ∽△ABC ，得到
= = ，即 = = ，从而求得 得出S△ 然后利用二次函数 的最值求解即可；
（4）分三种情况：①当EQ 丄 EF ，且 EQ = EF 时，@当FQ 丄 EF ，且FQ = EF 时，③当 EQ 丄 FQ ，EQ = FQ 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：: x2 - 3x - 4 = 0 ，
: (x +1)(x - 4) = 0 ，
解得：x1 = -1 ，x2 = 4 ， : A (-1, 0) ，B (4, 0) ，
把A(-1, 0) ，B (4, 0) 分别代入y = ax2 + bx + 2 ，得
í ,解得：
（2）解：如图①,连接CM ，
对于 令 x = 0 ，则 y = 2 ，
: C (0, 2) ，
: A (-1, 0) ，B (4, 0) ， : AB = 5 ，
: AB 是ΘM 的直径，
:点 C 在以AB 为直径的ΘM 上；
:抛物线的对称轴为直线x = ，
: M (çè , 0÷在直线x = 上，
:ΘM与抛物线的交点关于直线x = 对称，
:点C(0, 2) 关于直线x = 对称点坐标为(3, 2)， :ΘM 与抛物线的另一交点坐标为(3, 2)．
（3）解：由（2）知：A (-1, 0) ，B (4, 0) ，C (0, 2)
: AC2 + BC2 = 25 = AB2 : 上ACB = 90°
: DP ⅡBC
: 上PDC = 上PDA = 上ACB = 90°
设P(m, 0)，则 AP = m +1， : DP ⅡBC
:△APD ∽△ABC
AD AP PD
: = =
AC AB BC
= -
:- < 0
:当m = 时， S△CDP 有最大值，最大值为 ．
即△CDP 的最大面积为 ．
（4）解：设直线 AC 解析式为y = k1x + b1 ， 把A(-1, 0) ， C (0, 2) 代入，得
解得 :直线AC 解析式为y = 2x + 2 ， 设直线BC 解析式为y = k2x + b2 ， 把B(4, 0) ，C (0, 2) 代入，得
解得 ， :直线BC 解析式为 ， 设E(s, 2s + 2)，
∵ EF Ⅱ x 轴，
:点 E 与点 F 纵坐标相同，
:把y = 2s + 2 代入 得
解得x = -4s ，
: F (-4s, 2s + 2)
: EF = -4s - s = -5s 分三种情况：
①当EQ 丄 EF ，且 EQ = EF 时，如图，
∵EQ 丄 EF ，E (s, 2s + 2)， : Q(s, 0) ，QE = 2s + 2 ， : 2s + 2 = -5s
解得：
@当FQ 丄 EF ，且FQ = EF 时，如图，
同理：Q (-4s, 0) ，FQ = 2s + 2 ，
∵FQ = EF
: 2s + 2 = -5s 解得：
③当EQ 丄 FQ ，EQ = FQ 时，如图，
过点 Q 作QD 丄 EF于 D， ∵EQ = FQ
: ED = DF
:D 是EF 的中点，
∵ FQ2 + EQ2 = EF2
化简得9s2 - 32s -16 = 0
解得： s2 = 4 不符合题意，舍去，
( 2 ö ( 8 ö ( 2 ö
综上，存在直线 l，使△EFQ 是等腰直角三角形，点 Q 的坐标为çè - 7 , 0,÷ 或 çè7 , 0,÷ 或 çè 3 , 0,÷ . 【点睛】本题考查解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次 函数的性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与 性质，此题属二次函数综合题目，综合性强，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键．
22 ．y= －x2 －2x+3；P1 （－1 ， －1）P2 （－1，－ －1）；（ , ）.
【分析】试题分析： 将 A（－3,0）C（0,3）代入二次函数解析式利用待定系数法求出 b 和 c 的值，得出函数解析式；当点 P 在∠DAB 的角平分线上时，作 PM丄AD，设 P（－ 1 ，y0 ）， 则 PM=PD·sin∠ADE= （4－y0 ），PE= y0 ，根据 PM=PE 得出 y 的值，当点 P 在∠DAB 的外角平分线上时，利用同样的法则求出 y 的值；根据题意得出△BCF 的面积，过 F 作
FQ丄x 轴交 BC 的延长线于 Q，根据S△FBC =S△FBQ - S△ 设点 F（x0 ，－ x02 -2x0 +3）和点 Q（ x0 ，－3x0 +3）的坐标，然后根据 FQ 的长度求出 x0 的值，从而得出 点 F 的坐标.
试题解析：（1）将 A（－3,0）C（0,3）代入 y=－x2 +bx+c 得： 解得：
:y= －x2 －2x+3
（2）、存在
当点 P 在∠DAB 的角平分线上时，作 PM丄AD，设 P（－1 ，y0 ），则 （4－y0 ），PE= y0
解得：y0 = －1
当点 P 在∠DAB 的外角平分线上时，作 PN丄AD，设 P（－1，y0 ），则 PN=PD·sin∠ADE= （4－y0 ），
PE= －y0 ∵PM=PE : v5 （4－ y0 ）= －y0 解得：y0 = - ·、i5 －1
5
:点 P 的坐标为P1 （－1 ， ·、 －1）P2 （－1，－ －1）.
、S△EBC =3 又 2S△BCF =3 S△EBC : S△ 过 F 作 FQ丄x 轴交 BC 的延长线于 Q，
则S△FBC =S△FBQ - S△ 的解析式为：y=－3x+3 设 F（ x0 ，－ x02 －2x0 +3） 则 Q（ x0 ，－3 x0 +3）
:－3 x0 +3+ x02 +2 x0 －3=9 : x02 － x0 －9=0 : x0 = ，（ 舍去）
:点 F 的坐标为 .
考点：二次函数的综合应用.
【详解】