初中数学实数单元测试课时训练

这是一份初中数学实数单元测试课时训练，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章 实数 单元测试卷 2025—2026 学年北师大版数学八
年级上册
考试时间：100 分钟 满分：100 分
一、选择题（共 10 题；共 30 分）
1 ．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列二次根式中，与、2 是同类二次根式的是( )
A ． B ．、 C ．、 D ． 、/28
, a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )
A ．1 和 2 B ．2 和 3 C ．3 和 4 D ．4 和 5
4 ．计算 的值等于 ( )
A ．6 B ．- 6 C ． D ．
5 ．已知a, b 为有理数，且满足等式 则a + b 的值为( ).
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
6 ．有下列各数：0.5 ，3.1415 ， ， ， ， ，2.3030030003 （相邻两个 3 之间 0 的个 数逐次增加 1），其中无理数有( )
A ．3 个 B ．4 个 C ．5 个 D ．6 个
7 ．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式 可 以化简为( ).
A ．2c - a B ．2a - 2b C ．-a D ．a
8 ．规定用符号[m]表示一个实数 m 的整数部分，例如 按此规律 =( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
9 ．如图，在Rt△AOB 中，上BAO = 90° , AB = 1，点 A 恰好落在数轴上表示-2 的点上，以 原点 O 为圆心，OB 的长为半径画弧交数轴于点 P，使点 P 落在点A 的左侧，则点 P 所表 示的数是( )
A ．-、 B ． ·、 C ．- ·、 D ．
10．如图，在数轴上，-1和3 对应的点分别为 A、B，点 A 是线段BC 的中点，则点 C 所对 应的实数为( )
A ．1 - B ．-1- C ． - 2 D ．-2 -
二、填空题（共 8 题；共 24 分）
11 ．已知某正实数的平方根是a + 2 和7 - 2a ，那么这个正实数是 ．
12 ．若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
13 ．若 ·、ia + 2 与 b - ·、i2 互为相反数，则ab = ．
14 ．若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为 ．
15 ．长方形的长为2 ，宽为 J5 ，则长方形的面积为 ．
16 ．满足 < x < 的整数 x 是 ．
17 ．已知 a ，b 是一个等腰三角形的两边长，且 a ，b 满足 则此等腰
三角形周长为 ．
18．如图，△ABC 的边 BC 在数轴上，点 B 对应的数字是 1，点 C 对应的数字是 2， c ，从而得出 a＋b＜0 ，c－a＞0 ，b＋c< 0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知：b＜a＜0＜c ， b > c
:a＋b＜0 ，c－a＞0 ，b＋c＜0
=-a + (a + b) + (c - a ) - (b + c) =-a + a + b + c - a - b - c
= -a
故选 C．
【点睛】此题考查的是利用数轴判断字母和式子的符号、二次根式的化简和绝对值的化简， 掌握数轴上的点所表示的数从左至右逐渐变大、二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题 的关键．
8 ．D
【分析】估算出 的取值范围可以得到答案．
解
所以 故选 D.
【点睛】此题考查了估算无理数的大小， 注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进 行计算．估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
9 ．A
【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系，任意一个实数都可以用数轴上的 点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．依据勾股定理即可得到OB 的长，进 而得出OP 的长，即可得到点 P 所表示的数．
【详解】解：∵ Rt△AOB 中，上BAO = 90。，AB = 1 ，AO = 2 ，
又∵ OB = OP ，
又∵点 P 在原点的左边， :点 P 表示的数为 ， 故选 A．
10 ．D
【分析】本题主要考查数轴上表示的数以及中点的定义，熟练掌握数轴上两点之间的距离计 算是解题的关键．由点 A 是线段BC 的中点，得到AC = AB ，即可得到答案．
【详解】解：设点 C 所对应的实数为x ， Q 点 A 是线段BC 的中点，
: AC = AB ，
Q -1和3 对应的点分别为 A 、B，
: AC = -1- x, AB = - (-1) = +1，
:-1- x = +1，
解得x = -2 - ，
故选：D．
11 ．121
【分析】本题主要考查了平方根的概念， 根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互 为相反数得到a + 2 + 7 - 2a =0 ，则 a =9 ，进而可得 a + 2 = 11 ，若两个实数 a 、b 若满足
a2 = b ，那么 a 就叫做 b 的平方根，据此可求出这个正实数．
【详解】解：∵一个正实数的平方根是a + 2 和7 - 2a ，
: a + 2 + 7 - 2a = 0 ， : a = 9 ，
: a + 2 = 11 ，
:这个数为112 = 121， 故答案为：121．
12 ．x ≥ 2
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这 一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于 x 的不等式，求解不等式得到x 的取值范围．
【详解】解：∵二次根式 \在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于0 ， : x - 2 ≥ 0 ，
解不等式得：x ≥ 2 ．
故答案为：x ≥ 2 ．
13 ．-2、/2
【分析】本题考查了非负数的性质， 熟练掌握几个非负数的和为0 ，则这几个非负数分别等
于0 ，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值， 再计算即可．
【详解】解：Q Sa + 2 和 b - ·、i2 互为相反数，
: a + 2 = 0 ，b - = 0 ， : a = -2 ，b = 、 ，
: ab = -2 ．
故答案为：-2、/2 ．
14 ．0 或 1
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可得出答案．
【详解】解：根据算术平方根的定义，一个数的算术平方根是它本身，则这个数是 0 或 1． 故答案为：0 或 1．
15 ．2
【分析】本题考查二次根式的应用， 解答本题的关键明确长方形的面积= 长× 宽．根据长方
形的面积= 长× 宽，代入数据计算即可．
【详解】解：∵长方形的长为2 ，宽为 ， :长方形的面积为
故答案为：2 ．
16 ．2
【分析】根据整数的平方值来确定两个无理数之间的整数值． 【详解】∵ < < < <
即1< < 2 < < 3 ，
:满足 < x < 的整数 x 只有 2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了估计无理数的整数值，解题的关键是利用整数的平方数来确定无理数的 取值范围．
17 ．7 或 8
【分析】根据算术平方根和平方的非负性， 求出 a 和 b 的值，再根据三角形三边之间的关系 以及等腰三角形的定义，即可解答，
本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义， 解题的关键是掌握几个非负数相加和为 0，则这几个非负数分别为 0；三角形两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：∵ ·/2a - 6 + (8 - 4b)2 = 0 ， : 2a - 6 = 0 ，8 - 4b = 0 ，
解得：a = 3 ，b = 2 ，
当 a 为腰长时，该等腰三角形三边为 3 、3 、2， ∵ 3 - 3 < 2 < 3 + 3 ，
:该等腰三角形存在，
:此等腰三角形的周长= 3 + 3 + 2 = 8 ；
当 b 为腰长时，该等腰三角形三边为 3 、2 、2， ∵ 3 - 2 < 2 < 3 + 2 ，
:该等腰三角形存在，
:此等腰三角形的周长= 3 + 2 + 2 = 7 ；
综上：此等腰三角形的周长为 7 或 8．
故答案为：7 或 8．
18 ．
【分析】在 Rt△ABC 中应用勾股定理可得 故可得 即可得 到点 D 所表示的数．
【详解】解：∵点 B 对应的数字是 1，点 C 对应的数字是 2，
: BC = 1，
∵∠ACB ＝90° , AC＝2，
:点 D 所表示的数为
故答案为：1 - ．
【点睛】本题考查勾股定理、数轴上表示数，根据勾股定理求得 AB 的长度是解题的关键．
1 5 11 1
19 ．（1） ·、 ；（2） 、 ；（3） 、 ；（4）- + 3
6 4 6 2
【分析】（1）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案；
（2）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案；
（3）根据二次根式除法和加减法运算的性质计算，即可得到答案；
（4）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案．


【点睛】本题考查了二次根式的知识； 解题的关键是熟练掌握最简二次根式、二次根式混合 运算的性质，从而完成求解．
20 ．(1) a = 5 ，b = 2 ，c = 3
(2) ±4
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出 a、b，估算出 \ 的范围即可求出 c；
（2）将 a、b 、c 的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）∵ 5a + 2 的立方根是 3 ，3a + b -1 的算术平方根是 4，
: 5a + 2 = 27 ，3a + b -1 = 16 ，
: a = 5 ， b = 2 ，
∵ < < ，
: 3 < < 4 ，
∵c 是、 的整数部分，
: c = 3．
（2）将 a = 5 ，b = 2 ，c = 3 代入得：3a - b + c = 16 ， : 3a - b + c 的平方根是 ±4 ．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义， 属于基础题型，熟练掌握这三者 的概念是关键．
21 ．
(2) 0
【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，进而得到AC 的长，然后根据两点间的距离求出C 点所表示的数即可；
（2）根据题意，求出 n ，再将 m ，n 的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可得 : AC = AB = 、 ，
: m = 1- ，
故答案为：1 - ；
（2）解：∵ < < ，
: 2 < < 3 ，
: -3 < - < -2 ，
: -2 < 1- < -1，
: n 为不超过m 的最大整数，
: n = -2 ，
: m2 + mn - n2 = (1- )2 - 2(1- )- (-2)2
= 6 - 2 - 2 + 2 - 4
= 0 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，无理数大小估算，不等式的性质， 代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键．
22 ．(1) 、
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查的是算术平方根的应用， 二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解 题意是关键；
（1）设正方形的边长为 xdm ，可得 x2 = 5 × 7 ，再解方程即可；
（2）由两个正方形的边长分别为： /8 和 ·、，再用两个正方形的边长之和与 7 作比较即可
得出结论．
【详解】（1）解：设正方形的边长为 xdm ， : x2 = 5 × 7 ，而 x > 0 ，
: x = 、 ，
:正方形的边长为dm ；
（2）不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：J8 和-/18 ，
: + = 2 + 3 = 5 = > 7 ，
:两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
23 ．(1)8
(2) 5
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算：
（1）先估算出 4 < < 5 ，再参照小明的做法求出 m 和 n，代入 m - n + J17 计算即可；
（2）先估算出1 < 34 < 2， 再参照小明的做法求出 3/4 的整数部分和小数部分，即可求出x ，
y 的值，将x ，y 的值代入中计算求解即可．
【详解】（1）解：Q < < ，
: 4 < < 5 ，
: 、/17 的整数部分为4 ，
: J17 小数部分为 - 4 ．
: m = 4 ，n = - 4 ，
: m - n + = 4 - ( - 4)+ = 8 ， 故答案为：8；
（2）解：Q < < ， : 1< < 2 ，
: 的整数部分为1，小数部分为 3/4 -1．
Q 4 + = x + y ，即 2 + = x + y ，其中x 是整数，且0 < y < 1，
: x = 2 +1 = 3 ，y = -1； : x + (y +1)3
= × 3 + ( -1+1)3
= 1+ ( )3
= 1+ 4
= 5 ，
故答案为：5 ．
24 ．(1) - 2 ， +
(2)31
(3) -1
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究， 熟练掌握分母有理 化是解答的关键．
（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简 x、y，再代值求解即可；
（3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 解
故答案为： - 2 ， + ；
解
: x - y = 3 - 2 - (3 + 2) = -4 ，xy = (3 + 2)(3 - 2) = 1， : (x - y )2 - xy
= 31 ；
解
= -1．