数学八年级上册全等三角形单元测试习题

这是一份数学八年级上册全等三角形单元测试习题，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
同步达标测试题（附答案）
一、单选题（满分 24 分）
1 ．找出下列各组图中的全等图形( )
A ．②和⑥ B ．②和⑦ C ．③和④ D ．⑥和⑦
2 ．如图， △ABC ≌△DEF ，上A = 50° , 上B = 100° ,则 上F 的度数是( )
A ．30° B ．50° C ．60° D ．100°
3 ．如图，点B、C、D 在同一直线上，若 △ABC≌△CDE ，DE = 3 ，BD = 10 ，则 AB 等于 ( )
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
4 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° , 以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 O，作射线AO ，交 BC 于点 E ．已知CE = 4 ，AB = 7 ， △ABE 的面积为( )
A ．6 B ．11 C ．14 D ．28
5 ．阅读下列作图步骤：
①在OA 和OB 上分别截取OC ，OD ，使OC = OD ；
②分别以 C，D 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在Ð AOB 内交于点P；
③作射线OP ，连接 CP ，DP ，则 △OCP≌△ODP 的依据是( )
A ．SAS B ．AAS C ．ASA D ．SSS
6 ．如图，在 △ABC 中，点 D 在AC 上，点 E 在BC 上，连接BD 、DE ．若AB = EB ， AD = ED ，上A = 80° , 上BDC = 110° ,则 Ð C 的度数为( )
A ．30° B ．40° C ．45° D ．50°
7．如图，点B，C 是射线AM，AN 上的动点， Ð ACB 的平分线和上MBC 的平分线所在直线 相交于点 D，连接 AD ，若 上DAB = 30°, 上BDC 的大小为( )
A ．40° B ．50°
C ．60° D ．随 2 点B、C 的移动而变化
8 ．如图，上A = 上B = 90° , AB = 60 ，E、F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点 E 从 点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为3：7 ，运动到某 时刻同时停止，在射线AC 上取一点 G，使△AEG 与 △BEF 全等，则AG 的长为( )
A ．18 B ．70 C ．88 或 62 D ．18 或 70
二、填空题（满分 24 分）
9 ．已知 △ABC 的三边长分别是 4 、5 、8 ， △DEF 的三边分别是 4 、2x -1 、3y-1 ，若这两个 三角形全等，则x + y = ．
10 ．如图， △AOD≌△BOC ，上A = 30° , 上C = 50° , 上AOC = 150° ,则 上COD = ° .
11 ．如图， △ABC≌△DEC ，点 B 、C、D 在同一直线上，且BD = 12 ，AC = 7 ，则CE 长 为 ．
12 ．如图，已知DB 丄 AE 于点B, DC 丄 AF 于点 C ，且DB = DC, 上BAC = 40°, 上ADG = 130° , 则上DGF = ．
13 ．如图，AB∥CD ，DF = EF ，AB = 12 ，CD = 9 ，则 AE 等于 ．
14．如图，AE 丄 AB ，且AE = AB ，BC 丄 CD ，且BC = CD ，请按照图中所标注的数据计算FH 的长为 ．
15 ．如图，上ACB = 90° , AC = BC ，BE 丄 CE 于E ，AD 丄 CE 于D ．下面四个结论：
①上ABE = 上BAD ； ②△CBE≌△ACD ； ③AB = CE ； ④AD - BE = DE ，其中正确的有 ．
16 ．如图，AB = 7cm ，AC = 5cm ，上CAB = 上DBA = 60° , 点 P 在线段AB 上以2cm/s 的速度 由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在射线BD 上运动速度为xcm / s ，它们运动的时间为 t (s) （当点 P 运动结束时，点 Q 运动随之结束），当点 P ，Q 运动到某处时，有△ACP 与△BPQ 全等，此时t = ．
三、解答题（满分 72 分）
17 ．如图， △ABC ≌△DEF ，点 A 对应点D ，点 B 对应点E ，点 B 、F 、C 、E 在同一条 直线上．
(1)求证：BF = EC ；
(2)请你判断AC 和DF 的位置关系，并说明理由．
18 ．已知：如图，AD 是△ABC 的高，E 是AD 上一点，AD = BD ，BE = AC ，求证：
(1)上1= 上C ．
(2) BE 丄 AC ．
19 ．如图， △ABC 中，点D 在BC 边上，上DAC = 40° , Ð ABC 的平分线交AC 于点E ，过 点E 作EF 丄 AB ，垂足为 F ，且 上AEF = 50° ,连接DE ．
(1)求证：DE 平分 Ð ADC ；
(2)若AB = 7 ，AD = 4 ，CD = 8 ，且S△ACD = 15 ，求 △ABE 的面积．
20 ．如图，四边形ABCD 中，AB = AC, 上D = 90° , BE 丄 AC 于点 F，交CD 于点 E，连接 EA ，EA平分上DEF ．
(1)求证：AF = AD ；
(2)若BF = 7, DE = 3 ．求EF 和CE 的长．
21 ．如图，在 △ABC 中，上BAC = 60° ,外角 上CBM 的平分线BP 与外角上BCN 的平分线CP 相交于点 P，延长 BP 交AC 的延长线于点 D，延长 PC 交BA 延长线于点 E．
(1)求7BPC 的度数；
(2)求证：CD = BC + BE ．
22 ．如图，已知 △ABD≌△EBC ，AB = 3cm ，BC = 4.5cm ，且点 B 在线段AC 上．
(1)求DE 的长．
(2)求证：AC T BD ．
(3)猜想AD 与CE 的位置关系，并说明理由．
23 ．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图 1，在 △ABC 中， AB = 6, AC = 10, D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图 1，延长 AD 到点E ，使
DE = AD，连接 BE ．根据SAS 可以判定△ADC≌△EDB ，得出 AC = BE ．这样就能把线段 AB, AC, 2AD 集中在 △ABE 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD 的取值范围是
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图 2，在 △ABC 中，D 是BC 边上的一点， AE 是△ABD 的中线，CD = AB, ÐBDA = ÐBAD ，试说明：AC = 2AE ；
(3)如图 3 ，AD 是△ABC 的中线，过点A 分别向外作AE 丄 AB、AF 丄 AC ，使得 AE = AB, AF = AC ，判断线段 EF 与AD 的关系，并说明理由．
1 ．C
【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故 A 选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故 B 选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合， 故 C 选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故 D 选项不符合题意；
故选：C．
2 ．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得 到上C = 180° - 上A - 上B = 30° ,再由全等三角形对应角相等可得 上F = 上C = 30° .
【详解】解：∵ 上A = 50° , 上B = 100° , : 上C = 180° - 上A - 上B = 30° ,
∵ △ABC≌△DEF ， : 上F = 上C = 30° , 故选：A．
3 ．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出AB = CD ， BC = DE = 3 ，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵△ABC ≌ △CDE ， : AB = CD ，BC = DE = 3 ， ∵ BD = 10 ，
: CD = BD - BC = 10 - 3 = 7 ， : AB = CD = 7 ，
故选：C ．
4 ．C
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点 E 到AC 和AB 的距
离相等，点 E 到AB 的距离等于EC 的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由基本作图得到 AE 平分 ÐBAC ，
:点 E 到AC 和AB 的距离相等，
:点 E 到AB 的距离等于EC 的长度，即点 E 到AB 的距离为 4，
故选：C．
5 ．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图法即可利用SSS 证明 △OCP≌△ODP ． 【详解】解：由作图法可知：OC = OD ，CP = DP ，
又∵ OP = OP ，
: △OCP≌△ODP (SSS)， 故选：D．
6 ．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， 三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当 选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
由上A = 80。，上BDC = 110。，求得 上ABD = 上BDC - 上A = 30。，再根据“SSS”证明
△ABD≌△EBD ，得上ABD = 上EBD = 30。，所以上C = 180。- 上EBD- 上BDC = 40。，于是得到 问题的答案．
【详解】解：Q 上A = 80。，上BDC = 110。， :上ABD = 上BDC - 上A = 110。- 80。= 30。， 在△ABD 和△EBD 中，
:△ABD≌△EBD (SSS) ，
:上ABD = 上EBD = 30。，
:上C = 180。- 上EBD- 上BDC = 180。- 30。-110。= 40。， 故选：B．
7 ．C
【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定， 全等三角形的性质和判定，三角形外角的 性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
根据题意得出上1 = 上2，上3= 上4，上7 = 上8 ，过点D 作DF 丄 BC 交CB 于点F ，作DH 丄 AC 交AC 于点H ，作 DG 丄 AB 交AB 于点G ，根据角平分线的性质得出 DF = DH ，证明
△DFB≌△DGB ，得出 DF = DG ，证明 DG = DH ，得出 AD 是上HAB的角平分线，算出
上BAC = 120° ,再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵ Ð ACB 的平分线和上MBC 的平分线所在直线相交于点 D，
: 上1 = 上2，上3= 上4，上7 = 上8 ，
∵过点D 作DF 丄 BC 交CB 于点F ，作 DH丄 AC 交AC 于点H ，作 DG 丄 AB 交AB 于点 G ，
∵ 上1= 上2 ， : DF = DH ，
∵ BD = BD, 上3 = 上4，上DFB = 上DGB = 90° , : △DFB≌△DGB (AAS ) ，
: DF = DG ， : DG = DH ，
: AD 是上HAB的角平分线， ∵ 上DAB = 30° ,
: 上HAB = 2上DAB = 60° , : 上BAC = 120° ,
故选：C．
8 ．D
【分析】设BE = 3t ，则BF = 7t ，使△AEG 与 △BEF 全等，由上A = 上B 可知，分两种情况：
当BE = AG，BF = AE 时，当BE = AE，BF = AG 时，列方程即可求解．本题主要考查了全 等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
【详解】解：设 BE = 3t ，则 BF = 7t ， : 上A = 上B = 90° ,
:△AEG 与 △BEF 全等，可分两种情况：
情况一：当 BE = AG，BF = AE 时， : BF = AE，AB = 60 ，
: 7t = 60 - 3t ， 解得：t = 6 ，
: AG = BE = 3t = 3 × 6 = 18 ；
情况二：当BE = AE，BF = AG 时， : BE = AE，AB = 60 ，
: 3t = 60 - 3t ， 解得：t = 10 ，
: AG = BF = 7t = 7 × 10 = 70 ， 综上所述，AG = 18 或 70．
故选：D．
9 ．6 或
【分析】根据全等三角形的性质得到 5 = 2x -1 ，8 = 3y -1 ，或8 = 2x -1 ，5 = 3y-1，分别 求出 x，y 的值，代入计算即可．
【详解】解：:两个三角形全等，
: 5 = 2x -1 ，8 = 3y -1 ，或8 = 2x -1 ，5 = 3y -1，
: x + y = 3 + 3 = 6 或
故答案为：6 或 ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．
10 ．50
【分析】先根据△AOD≌△BOC 得∠B = ∠A = 30° ,再利用三角形内角和定理得出
上BOC = 100° ,进而得出 上BOC = 上AOD = 100° ,再利用角的和差关系得出
上BOD = 上BOC + 上AOD - 上AOC = 50° ,进而可求 上COD ． 【详解】解：Q △AOD≌△BOC ，上A = 30° ,
: ∠B = ∠A = 30° , 上BOC = 上AOD ，
Q 上C = 50° ,
: 上BOC = 180° - 上B - 上C = 100° ,
: 上BOC = 上AOD = 100° ,
: 上BOD = 上BOC + 上AOD - 上AOC = 100° + 100° -150° = 50° , : 上COD = 上BOC - 上BOD = 100° - 50° = 50° ,
故答案为：50 ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质， 三角形内角和定理，角的和差关系等，解题的关键是 牢记全等三角形的对应角相等．
11 ．5
【分析】由△ABC≌△DEC 可得出 BC = EC ，AC = DC ，再根据 BC = BD - DC 求解即可． 【详解】解：Q △ABC≌△DEC ，
: BC = EC ，AC = DC ，
Q BD = 12 ，AC = 7 ，
: CE = BC = BD - DC = BD - AC = 12 - 7 = 5 ．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 12 ．150° ##150 度
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD 是 ÐBAC 的平分线，求出
上CAD 的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵ BD 丄 AE 于 B ，DC 丄 AF 于 C，且 DC = DB ，
: AD 是 ÐBAC 的平分线，
∵ 上BAC=40° , : 上CAD = 20 ，
: 上DGF = 上CAD + 上ADG = 20° + 130° = 150° .
故答案为：150° .
【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
性质，仔细分析图形是解题的关键．
13 ．3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据 AB∥CD 得到上D = 上FEB ，结合角边角 判定即可得到答案；
【详解】解：∵ AB∥CD ， : 上D = 上FEB ，
在△DFC 与△EFB 中，
: △DFC≌△EFB(ASA) ， : CD = BE ，
∵ AB = 12 ，CD = 9 ，
: AE = AB - BE = 12 - 9 = 3 ， 故答案为：3．
14 ．16
【分析】证明 △EFA≌△AGB 和 △BGC≌△CHD ，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：由图知，上EFA = 上BGA = 上BGC = 上DHC = 90° ,
: 上FEA + 上EAF = 90° , 上GBC + 上BCG = 90° , ∵ AE 丄 AB ，BC 丄 CD ，
: 上GAB + 上EAF = 90° , 上HCD + 上BCG = 90° , : 上FEA = 上GAB ，上GBC = 上HCD ，
又AE = AB ，BC = CD ，
:△EFA≌△AGB(AAS) ， △BGC≌△CHD(AAS) ，
: AG = EF = 6 ，AF = BG = 3 ，CG = DH = 4 ，CH = BG = 3 ， : FH = AF + AG + CG + CH = 3 + 6 + 4 + 3 = 16 ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等， 熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．
15 ． ①②④
【分析】由 BE 丄 CE 于E ， AD 丄 CE 于D ，得BE Ⅱ AD ，则 上ABE = 上BAD ，可判断 ①
正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE = ∠CAD，即可证明 △CBE≌△ACD ， 可判断 ② 正确；由垂线段最短可证明AB > BC ， BC > CE ，则 AB > CE ，可判断 ③ 错误；由
CE = AD ， BE = CD ，且CE - CD = DE ，得AD - BE = DE ，可判断 ④ 正确，于是得到问 题的答案．
【详解】∵ BE 丄 CE ，AD 丄 CE ， : AD P BE ，
: 上ABE = 上BAD ，故 ① 正确； ∵ 上E = 上ADC = 上ACB = 90° ,
: 上BCE = 上CAD = 90° - 上ACD ， 在△CBE 和 △ACD 中，
: △CBE≌△ACD (AAS)，故 ② 正确；
∵ BC 丄 AC ，CE 丄 BE ， : AB > BC ，BC > CE ， : AB > CE ，故 ③ 错误； ∵ △CBE≌△ACD ，
: CE = AD ，BE = CD ， ∵ CE - CD = DE ，
: AD - BE = DE ，故 ④ 正确；
故答案为： ①②④ .
【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判 定与性质等知识，证明∠BCE = ∠CAD及 △CBE≌△ACD 是解题的关键．
16 ．1s 或 s
【分析】根据题意分两种情况讨论：①△ACP ≌ △BPQ ，②△ACP ≌ △BQP ，然后分别 列出方程求解即可．
【详解】解：由题意 AP = 2t ，则 BP = 7 - 2t ，
分两种情况：
①若△ACP ≌ △BPQ ，则 AC = BP ，可得
5 = 7 - 2t ，
解得t = 1s ，
@若△ACP ≌ △BQP ，则 AP = BP ， 2t = 7 - 2t ，
解得 ．
故答案为：1s 或 s ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质， 一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况讨 论．
17 ．(1)证明见解析
(2) AC Ⅱ DF ，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全 等三角形的性质是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得 BC = EF ，进而可得 BC - CF = EF - CF ，于是结论得证；
（2）由全等三角形的性质可得 上ACB = 上DFE ，然后由内错角相等两直线平行即可得出答 案．
【详解】（1）证明：Q△ABC ≌△DEF ，
:BC = EF ，
:BC - CF = EF - CF ， 即：BF = EC ；
（2）解：AC Ⅱ DF ，理由如下： Q△ABC ≌△DEF ，
:上ACB = 上DFE ， \ AC Ⅱ DF ．
18 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形 全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直．
（1）先根据 AD 是△ABC 的高，得出上ADB = 上ADC = 90° ,再根据 AD = BD ，DE = DC 得 出Rt△ADC ≌ Rt△BDE ，即可证出 上1= 上C ．
（2）如图，延长 BE 与AC 交于点M ，由（1）可知 Rt△ADC ≌ Rt△BDE ，得出 上1= 上C ， 再根据对顶角上1= 上AEM ，得到 上AEM = 上C ，得出 上AEM + 上CAD = 90° ,从而得出
上AME = 90° ,即可证出 BE 丄 AC ．
【详解】（1）证明：Q AD 是△ABC 的高，
:上ADC = 上BDE = 90° ,
在Rt△ADC 和Rt△BDE 中，
ìAC = BE
í ,
lAD = BD
:Rt△ADC≌Rt△BDE (HL)，
:上1= 上C ；
（2）如图，延长 BE 与AC 交于点M ，
Q 上1= 上AEM ，上1= 上C ，
:上AEM = 上C ， 又Q 上ADC = 90° ,
:上C + 上CAD = 90° ,
:上AEM + 上CAD = 90° ,
:上AME = 180° - (上AEM + 上CAD) = 90° ,
:BE 丄 AC ．
19 ．(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式， 熟练掌 握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点E 作EG 丄 AD 于G ，EH 丄 BC 于H ，由题意可得CA 平分上DAF ，由角平分线的
性质定理可得EG = EH ，即可得证；
（2）设 EG = x ，由（1）得：EF = EH = EG = x ，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点 E 作EG 丄 AD 于G ，EH T BC 于H ，如图：
Q 上EAF = 上DAE ，
:CA 平分上DAF ，
又EF 丄 AB ，EG 丄 AD ，
:EF = EG ，
Q BE 平分7ABC 的平分线，EH T BC ，EF 丄 AB ，
:EF = EH ，
:EG = EH ，
: 点E 在7ADC 的平分线上， :DE 平分7ADC ；
（2）解：设 EG = x ，
由（1）得：EF = EH = EG = x ，
QS△ACD = 15 ，AD = 4 ，CD = 8 ，
1 1
: AD . EG + CD . EH = 15 ， 2 2
即：4x + 8x = 30 ， 解得：x = 2.5 ，
:EF = x = 2.5 ，
20 ．(1)见解析
(2)EF = 3, CE = 4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）证明 △AFE≌△ADE ，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到DE = EF ，证明△AFB≌△ADC ，进而得到CD = BF ，利 用线段的和差关系求出CE 的长即可；
【详解】（1）解：∵ BE 丄 AC ，
: 上AFE = 90° = 上D ， ∵ EA平分上DEF ，
: 上AEF = 上AED ， ∵ AE = AE ，
: △AFE≌△ADE ， : AF = AD ；
（2）∵ △AFE≌△ADE ， : EF = DE = 3 ；
∵ BE 丄 AC ，
: 上BFA = 90° = 上D ， ∵ AD = AF, AB = AC ， : Rt △AFB≌Rt△ADC ， : CD = BF = 7 ，
: CE = CD - DE = 4 ．
21 ．(1) 60°
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义， 添加 辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理求得 上ACB + 上ABC = 120° ,再根据平角定义求得
上DCB + 上CBM = 240° ,再根据角平分线的定义推导 上PCB + 上PBC = 120° ,进而根据三角 形的内角和定理求解即可；
（2）在CD 上截取CF = CB ，连接PF ，先证明 △PCF≌△PCB (SAS) 得到PF = PB ，
上FPC = 上BPC = 60° ,再证明 上FPD = 上BPE = 60° , 上PDF = 上PEB ，进而证明
△PFD≌△PBE (AAS) 得到DF = BE ，然后由CD = CF + DF 可得结论． 【详解】（1）解：∵ 上BAC = 60° ,
: 上ACB + 上ABC = 180° - 上BAC = 120° ,
:上DCB + 上CBM = 180° - 上ACB +180° - 上ABC = 360° - (上ACB + 上ABC) = 240° , ∵外角上CBM 的平分线BP 与外角上BCN 的平分线CP 相交于点 P，
: 上PCB = 上上DCB ，上上CBM ，
:上BPC = 180° - (上PCB + 上PBC) = 60° ;
（2）证明：在CD 上截取CF = CB ，连接PF ，
: CF = CB ，上PCF = 上PCB ，CP = CP ， : △PCF≌△PCB (SAS)，
: PF = PB ，上FPC = 上BPC = 60° ,
: 上FPD = 180° - 上BPC - 上FPC = 60° , : 上FPD = 上BPE = 60° ,
: 上DBM = 60° + 上BDA = 60° + 上PEB ， : 上PDF = 上PEB ，
: △PFD≌△PBE (AAS) ，
: DF = BE ，
: CD = CF + DF ， : CD = BC + BE ．
22 ．(1) DE = 1.5cm ；
(2)证明见解析；
(3)直线AD 与直线CE 垂直，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质， 三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的 应用是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得出 BD = BC = 4.5cm ，BE = AB = 3cm ，然后通过线段和差即 可求解；
（2 ）根据全等三角形的性质得出 上ABD = 上EBC ， 然后由平角定义即可求证；
（3 ）延长CE 交AD 于点F ，根据全等三角形的性质得出 上D = 上C ，最后由三角形内角和 即可求解．
【详解】（1）解：∵ △ABD≌△EBC ， : BD = BC = 4.5cm ，BE = AB = 3cm ， : DE = BD - BE = 1.5 (cm)；
（2）证明：∵ △ABD≌△EBC ，
: 上ABD = 上EBC ，
∵点B 在线段AC 上，
: 上ABD + 上EBC = 180° : 上ABD = 上EBC = 90° , : DB 丄 AC ；
（3）解：直线 AD 与直线CE 垂直，理由：
如图，延长CE 交AD 于点F ，
∵ △ABD≌△EBC ， : 上D = 上C ，
∵ Rt△ABD 中，上A + 上D = 90° , : 上A + 上C = 90° ,
: 上AFC = 90° , : CE 丄 AD ．
23 ．(1) 2 < AD < 8
(2)见解析
(3) EF = 2AD ，理由见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题， 考查的是全等三角形的判定和性质、三角 形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的
方法解决问题．
（1）延长 AD 到点E ，使 DE = AD，根据 SAS 定理证明△ADC≌△EDB ，可得结论；
（2）延长 AE 到点 F，使得 AE = EF ，连接DF ．证明 △ABE≌△FDE (SAS) ，得出
上BAE = 上F, DF = AB ，得出 △ADC≌△ADF (SAS) ，得出 AC = AF ，即可证明结论．
（3）延长 AD ，使 AD = DG ，连接 BG ，证明 △ADC≌△GDB (SAS) ，得出 BG = AC ， 上CAD = 上G ，证明 △ABG≌△EAF (SAS) ，得出 EF = AG ，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图 1，延长 AD 到点E ，使 DE = AD，
: D 是BC 的中点， :BD = CD ，
Q 上ADC = 上EDB ，
:△ADC≌△EDB (SAS)，
:BE = AC = 10 ，
在 △ABE 中，10 - 6 < AE < 10 + 6 ， :4 < 2AD < 16 ，
: 2 < AD < 8 ；
（2）证明：如图，延长 AE 到点 F，使得 AE = EF ，连接DF ．
: AE 是BD 边上的中线，
: DE = EB ，
在 △ABE 和△FDE 中，
:△ABE≌△FDE (SAS) ， :上BAE = 上F, DF = AB ， : DF P AB ，
:∠ADF + ∠BAD = 180° , QCD = AB ，DF = AB ， : CD = DF ，
: 上ADC + 上ADB = 180° , 上BDA = 上BAD ，
: 上CDA = 上ADF ，
: AD = AD ，
: △ADC≌△ADF (SAS) ，
: AC = AF ， : AF = 2AE ， : AC = 2AD ；
（3）解：EF = 2AD ；理由如下：
如图，延长AD ，使 AD = DG ，连接 BG ，
: AD 为BC 边上的中线， : BD = DC ，
∵ 上BDG = 上ADC ，
: △ADC≌△GDB (SAS) ，
: BG = AC ，上CAD = 上G ， : AC∥BG ，
: 上ABG + 上BAC = 180° , ∵ AE 丄 AB ，AF 丄 AC ， : 上BAE = 上CAF = 90° ,
:∠EAF + ∠BAC = 360° - 90° - 90° = 180° ,
: 上ABG = 上EAF ，
∵ AF = AC ，BG = AC ， : BG = AF ，
∵ AE = AB ，
: △ABG≌△EAF (SAS) ，
: EF = AG ， ∵ AG = 2AD ， : EF = 2AD ．