辽宁省重点高中联合体2024-2025学年高一下学期7月期末检测数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省重点高中联合体2024-2025学年高一下学期7月期末检测数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（ ）
A．75B．150C．200D．400
5．将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，已知，，则面积的最大值为（ ）．
A．1B．C．3D．2
7．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（ ）
A．B．1013C．D．1012
二、多选题
9．关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（ ）
A．平行关系在直观图与原图中保持不变B．斜二测画法不会改变边长比例
C．斜二测画法会改变直角关系D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等
10．已知复数，是方程的两个根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方，为坐标原点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知边长为4的菱形的一个内角为，则 ．
14．如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为 ．

四、解答题
15．已知平面向量，.
(1)若⊥，求的值；
(2)若，且与的夹角为锐角，求的取值范围.
16．如图，已知正四面体，分别是棱的中点．

(1)证明：四边形为菱形；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
17．在中，A是锐角，且.
(1)求B；
(2)设P是所在平面内的一点，A，P位于直线BC两侧，若，且，求四边形的面积.
18．已知函数.
(1)若，求的最小正周期；
(2)若在区间上有定义.
（i）求的最大值；
（ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围.
19．①斜圆锥，顾名思义，即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体.保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变，将顶点位置改变后，所得到的锥体即为斜圆锥.
②祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.
(1)如图，已知圆柱的上底面圆心为，下底面圆心为，圆锥的顶点为，底面与圆柱的下底面相同. 是圆柱的上底面圆周上一点，将与圆柱下底面圆周上的点相连，记构成的封闭几何体为斜圆锥. 是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，A，B是圆柱下底面圆周上的两点，.
（i）证明：；
（ii）证明：截所得的图形为圆面；
(2)已知斜圆锥的底面半径为，底面中心与顶点的连线长度为，且其与底面所成的角为，求该斜圆锥的体积.
1．A
计算得到，在复平面内对应的点为，得到所在象限.
【详解】，故z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．C
根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解.
【详解】依题意，.
故选：C
3．D
利用正弦定理求解.
【详解】由三角形内角和可得，
由正弦定理可得，解得.
故选：D.
4．C
根据给定条件，利用扇形弧长及面积公式列式求解.
【详解】设该扇形的弧长、半径分别为l，r，则，解得，
所以该扇形的面积为.
故选：C
5．B
根据三角函数图象平移的规则进行求解即可.
【详解】将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，
再向上平移个单位长度，函数解析式变为；
将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，
可得函数的图象.
故选：B.
6．B
根据余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】由题意可得，，设，，
由余弦定理可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
所以，
故面积的最大值为．
故选：B．
7．A
根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离.
【详解】因为，，点P为棱的中点，
所以，
所以，，
所以为等腰三角形.
设点P到直线AB的距离为h，因为，，
则.
故选：A.
8．A
画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案.
【详解】当时，，当时，，当时，，…，
由题意及曲线在区间内的图象，
可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，
所以需满足，所以.

故选：A.
9．AC
根据斜二测画法的性质依次判断即可．
【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确；
对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误；
对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确；
对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误．
故选：AC．
10．ACD
A选项，计算出方程的两根，从而得到；A正确；B选项，，利用向量数量积公式计算；C选项，计算得到，利用模长公式进行求解；D选项，计算出，利用复数的乘方运算法则求解.
【详解】A选项，方程的判别式，
的两根为，
两根对应的点分别为，故，A正确；
B选项，，故，B错误；
C选项，，，
故，C正确；
D选项，，故，D正确.
故选：ACD
11．AD
根据正切的和角公式可得，把表示成关于的函数，进而可求出的范围，转化即可得到的范围.
【详解】由题可得，
整理得，所以，
所以，
又因为，
所以.
记，则，
解得，
故可能取值有，.
故选：AD.
12．10
利用诱导公式可求得，利用诱导公式与同角三角函数的商数关系化简即可.
【详解】由正切函数诱导公式可得，
故.
故答案为：10
13．或
由平面向量数量积的定义即可求解．
【详解】由题可知，或，
若，则，
若，则，
故答案为：或．
14．2
过点P作，垂足为E，根据面面垂直，线面垂直及线线垂直的性质得到为二面角的平面角，再结合锥体的体积公式及勾股定理即可求解．
【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E，
因为平面平面ABC，
又平面平面，平面PAD，
所以平面ABC，
又因为平面ABC，
所以，
因为，即，
又，PD，平面PAD，
所以平面PAD，
又因为平面PAD，
所以，
又因为，
所以为二面角的平面角，
因为三棱锥的体积，解得，
由勾股定理可得，
所以二面角的正切值为．
故答案为：．

15．(1)
(2)且
（1）根据向量垂直得到数量积为0，得到，齐次化变形，代入求值；
（2）计算出，利用夹角为锐角，得到且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1）⊥，故，
故，
；
（2），，，
与的夹角为锐角，故，
解得，
且与不同向共线，即，即，
综上，且；
16．(1)证明见解析；
(2).
（1）利用中位线即可求证四边形为平行四边形，再求证即可；
（2）根据异面直线所成角的定义找出或其补角为所求角，在中利用余弦定理求得即可.
【详解】（1）由题知，为的中位线，是的中位线，
所以，且，，且，
故，且，故四边形为平行四边形，
又是的中位线，则，
因为在正四面体中，，所以，故四边形为菱形．
（2）因为，所以或其补角为异面直线与所成的角，
设正四面体的棱长为，则，，
在中，利用余弦定理得，，
故异面直线与所成角的余弦值为．

17．(1)
(2)
（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求得结果；
（2）本题可先判断和的形状，再结合已知条件求出相关角度，最后计算和的面积，即求得结果.
【详解】（1）依题意得，故.
在中，，，，
所以，
所以，故.
（2）由（1）知，，因为，
所以，且点B为的外接圆的圆心，圆的半径为2.
由正弦定理得，，解得.
因为，所以，
故.
故的面积为，
的面积为，
所以四边形的面积为.
18．(1)
(2)（i）（ⅱ）
（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可；
（2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算.
【详解】（1）当时，，
易得的最小正周期；
（2）（i）当时，，，
若函数在区间上有定义，则，
解得，故的最大值为；
（ii）函数的对称中心满足，，
解得，，
其图象至少有两个对称中心在区间上，
则在区间上至少有两解，
故至少存在两个值使，
故至少有，两个取值，
所以，综上，的取值范围为.
19．(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
(2)
【详解】（1）（ⅰ）由题可知平面平面OAB，且平面平面. 又因为，即平面，所以.
由于平行线分线段成比例，所以，即.
（ii）如图，连接，记，连，
因为，，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，于是有，
同理可得，所以，又，所以，
由于是圆柱下底面圆周上的任意两点，故结论具有一般性，所以截所得的图形是以为圆心的圆面.

（2）不妨去除斜圆锥的顶点在圆柱上底面圆周的限制，保留在圆柱上底面所在平面内，则即为（2）中所述的斜圆锥.
记，圆柱的高为. 则与（1）类似可得
令，根据相似可得平面截圆锥所得的圆的半径为，
又，所以在圆锥中，截所得的圆的半径同样为.
由于在区间上可以任意取值，故不同高度的平面截所得的圆其面积始终等于截所得的圆的面积，
又斜圆锥与圆锥的高度均为，根据祖暅原理可知：斜圆锥与圆锥的体积相等.
由于圆锥的体积为，其中是顶点到底面的距离，且，
故，所以斜圆锥的体积为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
C
B
B
A
A
AC
ACD
题号
11









答案
AD