云南省玉溪第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学（B）试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（ ）
A．B．10C．D．5
2．已知是边长为的正△ABC边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．在一组样本数据中，0，1，2，3出现的频数分别为，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知D在C的正东方向上，米，A在C的北偏东60°方向上，B在D的南偏西30°方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ）
A．40米B．米
C．米D．60米
7．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
8．已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．直线是曲线图象的一条对称轴
D．函数在上没有零点
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为π
C．
D．若是实系数方程的一个根，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．连续型随机变量服从正态分布，若，则
C．若事件A，B满足：，，且，则事件A，B相互独立
D．已知一组成对数据的经验回归方程为，则
11．设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，若，则 .
13．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
14．已知是△ABC内的一点，角、、所对的边长分别为、、，而且，若，则
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数，且.
(1)求a的值和函数的最小正周期；
(2)求不等式的解集；
(3)在△ABC中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长.
16．（15分）
如图，已知三棱台中，平面平面、△ABC是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，．
(1)证明：平面；
(2)若的中点为，求直线与平面所成角的大小．
17．（15分）
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)求小红两轮总分得60分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
（17分）
在 △ABC中， a，b，c分别是角A，B，C的对边， 若：
(1)求角A的大小．
(2)若D是BC的中点， 求 △ABC面积的最大值；
(3)若O在△ABC所在平面内，满足 且 求实数m的值．
（17分）
如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点.
(1)求证：；
(2)求四棱锥的体积；
(3)写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值
种子个数n
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数m
92
352
818
1336
2251
3601
发芽种子频率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90