浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题（含答案解析）

这是一份浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合（为虚数单位），，则（ ）
2. 的展开式中第三项的系数是（ ）
3. 设椭圆和双曲线的离心率分别为.若，则（ ）
4. 已知，则（ ）
5. 设等差数列的公差是为的前项和，则“”是“”的（ ）
6. 若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（ ）
7. 已知函数有唯一零点，则（ ）
8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在中，内角的对边的长分别为，则下列结论中正确的是（ ）
10. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长是的中点为，过点的平面记为，则下列说法中正确的是（ ）
11. 已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若成等比数列，则实数__________.
13. 从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为__________.
14. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.

(1)证明：；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.
16. 为了研究DeepSeek（AI学习助手）对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek）和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下（单位：分）：
(1)从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为，求的分布列和数学期望；
(2)求20名学生数学成绩变化的中位数，并分别统计两组中低于与不低于的人数，完成如下列联表：
(3)根据（2）中的列联表，能否有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联？
附：，其中.
17. 已知抛物线，点，直线交抛物线于两点，满足，点在直线上的投影点记为点.
(1)当轴时，求的值；
(2)当时，求点的轨迹方程.
18. 已知函数有两个极值点，满足.
(1)求的取值范围；
(2)判断并证明函数的对称性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
19. 设矩形的周长为，记，把沿过的对角线向点方向折叠，直线折过去后交直线于点，并得到矩形，记这个过程为一次折叠操作.当两个矩形都在的同侧时，称为同侧操作（如图1）；否则称为异侧操作（如图2）.若多次折叠，则每次都为新得到的矩形沿着过的对角线向点折叠.
(1)若点在线段上，求的最大面积及此时的值；
(2)当时，若矩形是由矩形同侧折叠2025次所得，求的长度；
(3)将矩形同侧折叠次得到矩形，再将矩形折叠次得到.若存在，使得成立.记满足条件的的取值集合为.定义集合的“长度”记为，例：证明：.
浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、平面解析几何、三角函数与解三角形、数列、空间向量与立体几何、函数与导数、平面向量、等式与不等式、初中衔接知识点
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．3
C．
D．
A．
B．
C．
D．1
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．的大小不确定
A．0
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．若，则
D．若，则
A．点和点到平面的距离相等
B．二面角的正切值为
C．平面截得的截面形状是五边形
D．平面截得的截面面积为
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
使用组
1
1
2
2
3
3
3
4
非使用组
0
0
1
1
2
3
低于
不低于
总计
使用组
非使用组
总计
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
4
较易
4
适中
6
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；虚数单位i及其性质
2
0.85
求指定项的系数
3
0.85
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
4
0.94
用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的正弦公式
5
0.85
充要条件的证明；等差数列通项公式的基本量计算；等差数列前n项和的基本量计算
6
0.65
柱体体积的有关计算；球的表面积的有关计算；圆柱表面积的有关计算；球的体积的有关计算
7
0.94
根据零点求函数解析式中的参数；由奇偶性求参数
8
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；弧长的有关计算
二、多选题
9
0.65
已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦；正弦定理边角互化的应用；比较余弦值的大小
10
0.65
判断正方体的截面形状；证明线面平行；求二面角；棱柱及其有关计算
11
0.4
数量积的运算律；集合新定义；函数新定义
三、填空题
12
0.85
对数的运算；等比中项的应用
13
0.94
计算古典概型问题的概率
14
0.65
求图象变化前（后）的解析式；结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；已知弦（切）求切（弦）
四、解答题
15
0.65
证明线面垂直；线面角的向量求法
16
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；完善列联表；独立性检验解决实际问题；求离散型随机变量的均值
17
0.4
轨迹问题——圆；求直线与抛物线的交点坐标；抛物线中的定值问题；根据韦达定理求参数
18
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；根据极值点求参数；判断或证明函数的对称性；函数单调性、极值与最值的综合应用
19
0.15
基本不等式求和的最小值；图形的性质；集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,5,11,19
2
复数
1
3
计数原理与概率统计
2,13,16
4
平面解析几何
3,17
5
三角函数与解三角形
4,8,9,14
6
数列
5,12
7
空间向量与立体几何
6,10,15
8
函数与导数
7,8,11,12,18
9
平面向量
11
10
等式与不等式
19
11
初中衔接知识点
19