甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2025届高三下信息押题卷（一）数学模拟试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
4. 已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（ ）
5. 如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
6. 工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（ ）
7. 已知函数的定义域为，若，都有，则称函数为“距”增函数．若函数，且是上的“3距”增函数，则实数的取值范围为（ ）
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某农科所发明了一种防治玉米病虫害的新药，为了解该药的效果，选用了100粒玉米种子进行试验栽种，栽种后发现这批玉米种子抗病虫害的概率为0.8．在制作列联表时，由于某些因素，缺失了部分数据，得到如下列联表，下列结论正确的有（ ）
参考公式与临界值表，．
10. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
11. 已知是定义在上的函数，且满足，则下列结论正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知幂函数的图象过点，则_________．
13. 乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为_____________．
14. 函数图象的一条对称轴为直线，且在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围是_____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知锐角三角形ABC的内角的对边分别为．
(1)求的值；
(2)求的值．
16. 山东烟台是有名的苹果之乡．当地的贸易公司准备向海外出口一批苹果，出口的苹果必须经过严格挑选，合格的方能装箱等候外运．该贸易公司备有一批自动选果机，每台自动选果机每三秒挑选一个苹果，合格装箱，不合格淘汰．公司购进一批苹果，苹果合格的概率为，不合格的概率为．
(1)若一台自动选果机开始选果，在9秒内选了三个苹果，已知第三个苹果是合格的，求这三个苹果中恰有一个是不合格的概率；
(2)若自动选果机检验的前4个苹果中不合格苹果的个数为，求的分布列及期望．
17. 已知圆过点，且过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过点与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，若，求直线的方程．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，二面角的大小为．
(1)求线段的长．
(2)若，且，则在线段上是否存在点，使得直线BE与平面PDC所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
19. 已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2025届高三信息押题卷（一）数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、平面解析几何、平面向量、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．或
D．或
A．124
B．138
C．156
D．162
A．4
B．6
C．7
D．8
A．
B．
C．
D．
A．7
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．2
抗病虫害
不抗病虫害
合计
种子经过该药处理
60
种子没有经过该药处理
14
合计
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A．这100粒玉米种子没有经过该药处理且抗病虫害的有20粒
B．这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C．的观测值
D．按的可靠性要求，可以认为“治疗玉米病虫害的新药有效”
A．数列是等比数列
B．
C．数列为递增数列
D．数列的前项和为，则
A．
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递减
D．函数的极大值为1
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
13
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限
2
0.85
交集的概念及运算；补集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
3
0.65
求等差数列前n项和；利用等差数列的性质计算
4
0.65
利用抛物线定义求动点轨迹；抛物线上的点到定点的距离及最值
5
0.65
用基底表示向量；平面向量基本定理的应用；已知向量共线（平行）求参数
6
0.65
多面体与球体内切外接问题
7
0.65
判断指数函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；根据函数的单调性求参数值；函数新定义
8
0.65
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.85
完善列联表；卡方的计算；独立性检验解决实际问题
10
0.65
由递推关系式求通项公式；由递推数列研究数列的有关性质；由递推关系证明等比数列；求等比数列前n项和
11
0.65
定义法判断或证明函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
三、填空题
12
0.85
根据函数是幂函数求参数值
13
0.65
互斥事件的概率加法公式；独立事件的乘法公式
14
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；二倍角的余弦公式；利用正弦函数的对称性求参数；辅助角公式
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；二倍角的余弦公式；正弦定理解三角形
16
0.65
计算条件概率；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.65
椭圆中的直线过定点问题；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据离心率求椭圆的标准方程
18
0.65
面面角的向量求法；由二面角大小求线段长度或距离
19
0.4
利用导数证明不等式；利用导数求函数（含参）的单调区间；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；函数单调性、极值与最值的综合应用
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
函数与导数
2,7,11,12,14,19
4
数列
3,10
5
平面解析几何
4,8,17
6
平面向量
5
7
空间向量与立体几何
6,18
8
计数原理与概率统计
9,13,16
9
三角函数与解三角形
14,15