2024~2025学年江苏省扬州市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年江苏省扬州市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】，共20页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
故，
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据题意，，
则.
故选：C
3. 已知向量是单位向量，若，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
答案：C
解析：因为单位向量，所以，
又因为，
所以，
则，
所以.
故选：C.
4. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：因为等差数列的前项和为，，
则，则，
设等差数列的公差为，则，
所以，，
因此，.
故选：A.
5. 设正三棱锥的一个侧面三角形面积是底面面积的两倍，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接，
则,又，且,所以平面，
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角，
在正三角形中，为中心，，
由条件有，可得，
在直角三角形中，.
故选：D
6. 已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设点，由题意可知，，，即①，
，即②，
①②得，整理可得，即，其中，
所以，点的轨迹方程为.
故选：B.
7. 若函数在内存在两个零点且和为，则正数的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
答案：C
解析：令，则，故，
由题设有，故且，
设两个零点为，
则，故，其中，
故，故，
故选：C.
8. 在平面直角坐标系中，若两点连线的斜率为1，则下列各式一定为正数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据题意，，即，也就是，
设，即，
则，
所以时，，即函数单调递减，
所以时，，即函数单调递增，
为函数的极小值点，且，
则点为函数与直线的交点，不防设，
则，则，A错误；
设，
则，
则函数在上单调递增，且，
所以当时，，则，
即，即，
又，所以，则，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在四棱柱中，M是线段上的动点（不包括两个端点），则下列三棱锥的体积为定值的是（ ）
A. 三棱锥B. 三棱锥
C. 三棱锥D. 三棱锥
答案：BC
解析：因为几何体中仅为动点，
故当三棱锥的体积为定值时，应平行于另外三点所确定的平面，
由四棱柱的性质可得 ，而平面，平面，
故平面，同理平面即平面，
由四棱柱可得平面，平面，
故AD错误，BC正确，
故选：BC
10. 有一组样本数据1，2，3，5，7，8，9，a，下列说法正确的是（ ）
A. 若该组数据的平均数为a，则B. 若该组数据的中位数为a，则
C. 当时，该组数据的极差为8D. 当时，该组数据的方差最小
答案：ABD
解析：解：因为样本数据1，2，3，5，7，8，9，a，
A.若该组数据的平均数为a，则 ，解得，故正确；
B. 当时，若该组数据的中位数为，不符合题意；
当时，若该组数据的中位数为，不符合题意；当时，若该组数据的中位数为，符合题意；
当时，若该组数据的中位数为，不符合题意；
当时，若该组数据的中位数为，不符合题意，综上：，故正确；
C.当时，该组数据的极差为故错误；
D.该组数据的平均数为由A知，当时，该组数据的平均数为5，
则其方差
所以要使方差最小，则取得最小值，所以，故
D正确.
故选：ABD
11. 已知三次函数，则（ ）
A. 函数一定有两个极值点B. 当时，
C. 当时，的极小值为0D. 在区间上的值域为
答案：BCD
解析：对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误；
对于B，，
而，故，故，所以，
故B正确；
对于C，，
若，则，此时当或时，，
当时，，故在处取极小值；
若，则，此时当或时，，
当时，，故在处取极小值；
故C正确；
对于D，当，时，
则当或时，，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
取，则，
考虑方程在上是否有解，
设，则，
，
由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则,
则在上的值域为，
故D成立，
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中的常数项为______．（用数字作答）
答案：
解析：的展开式的通项公式为，
其中，故，故的展开式中无常数项，
令，则，故的系数为，
故展开式中的常数项，
故
13. 若α和β都锐角，，则______．
答案：
解析：因为α和β都为锐角，则，
又，所以，即，
所以，而，则，
所以.
故
14. 从集合中选取s个数，从集合中选取t个数．若这个数的和不小于，则的最小值为______．
答案：
解析：，
此时，
下证：若这个数的和不小于，，
证明：假设，
任取个元素，其和不超过，
任取个元素，其和不超过，
故且取出的个元素，其和不超过，
若，则，，
，故，舍；
若，则，，
，故，舍；
若，则，，
，故，舍；
若，则，，舍；
若，则，，舍；
若，则，，舍；
综上，不成立，故，
故的最小值为8，
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）解析：
如图，建立空间直角坐标系，因，
则，，
得到，，，
直线与平面所成角为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
16. 已知的三个内角所对边分别为，是边上一点，．
（1）证明：；
（2）若，且，求的面积．
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
由，得到，
整理得到，又，所以，
又，所以，得到，即.
（2）解析：
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得到，所以，
整理得到，解得，所以，，，
故的面积为.
17. 甲、乙两人参加学校组织的航空航天知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题．答题者若答对则得1分，答错则对方得1分．当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜．已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为．
（1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望；
（2）求甲在这次竞赛中获胜的概率．
答案：（1）分布列见解析；.
（2）
（1）解析：
第一轮答题后甲的总分X可取，
,
,
X的分布列为
.
（2）解析：
记"甲在这次竞赛中获胜"为事件D，因为甲获胜发生至少经过一轮答题，由（1）知，
一轮回答后有三种情形，由全概率公式得：
，
是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）；
是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为；
是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1；
所以
解得 ，
求甲在这次竞赛中获胜的概率．
18. 已知双曲线的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线与C交于D，E两点，直线与直线分别交于点G，H．
①若的面积是的面积的6倍，求直线的方程；
②证明：直线被以为直径的圆截得的弦长小于20．
答案：（1）
（2）①或；②证明见解析
（1）解析：
由双曲线的离心率为，则①，
又②，联立①②解得，，
则，
故所求C的方程为.
小问2详解】
由题意，不与轴垂直，右焦点，
设直线方程为，
联立消得，，
由直线与双曲线有两个交点，
则，即.
设，
则，所以有；
且；
设，
由点，得直线方程为，
令，得，又由，得，
同理.
则
；
；
故；
①；且.
若的面积是的面积的6倍，则，
则，解得，即，满足条件.
故所求直线的方程为或；
②设中点，则，即，即以为直径圆的圆心，
半径；
点到直线即的距离；
由 .
当时，以为直径的圆与直线相切，可看作所截弦长为；
当时，以为直径的圆与直线相交，
故直线被截得的弦长，
由，则，因为，
则 （其中，弦长）.
综上所述，直线被以为直径的圆截得的弦长小于20．
19. 在平面直角坐标系中，沿着平行于轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点映射到点的操作（为固定的参数），这种变换在数学上称为水平错切．设是定义在上的函数，记，则称是的“错切函数”．
（1）设函数的“错切函数”为，
①求的最小值；
②若与的值域相同，求正数的取值范围．
（2）已知是上的增函数，是的“错切函数”，证明：是的零点当且仅当是的零点．
答案：（1）①；②.
（2）证明见解析
（1）解析：
①因为函数的定义域为，，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，函数的最小值为；
②由①可知，函数的值域为，由题意可知，函数的值域为，
因为，且，
令，
，令，可得，解得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，函数的值域为，
要使得函数的值域为，
则，
所以，，即，可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）解析：
“”：若为函数的零点，则，
所以，，故为函数的零点；
“”：若为函数的零点，则，
所以，函数存在零点，设函数的零点为，则，
因为函数在上为增函数，且，函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，则内层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数在上为增函数，
且，又因为，所以，，即，
所以，为函数的零点.
因此，是的零点当且仅当是的零点．