2024~2025学年江苏省南京市高三上学期12月考试数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年江苏省南京市高三上学期12月考试数学试卷【有解析】，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．2D．
3．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
6．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．7
7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A．B．
C．D．
10．已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ ）
A．
B．的外接圆周长为
C．的最大值为
D．若为线段的中点，且，则
11．已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ．
13．在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ．
14．已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足.
(1)比较的大小，并写出过程；
(2)设数列的前项和为，证明.
16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
17．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，PC与平面
所成的角为
，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求；
(3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由.
19．已知函数.
(1)若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
(2)设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】，
故.
故选：C.
2．【正确答案】A
【详解】因为，所以．
因为，所以，解得．
故选：A
3．【正确答案】A
【详解】由，可得，所以，
因为在上单调递增，又，
由，可得，所以B=xx