2024~2025学年吉林省长春市高三上学期12月考试数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年吉林省长春市高三上学期12月考试数学试卷【有解析】，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．若单位向量满足，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ）
A．6B．4C．D．2
5．设，则（ ）
A．B．C．D．
6．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．②③C．①③D．②
8．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （ ）
A．B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积是
D．三棱锥的外接球的体积是
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．B．
C．当时，D．在上单调递增
三、填空题（本大题共3小题）
12．设函数,若方程至少有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为 ．
13．已知函数，下列说法正确的是 （填序号）
①为奇函数； ②为偶函数；
③在上单调递减； ④在上单调递增．
14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，设函数．
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)设锐角△三个内角的对边分别为，若且，求．
16．已知数列满足，，为数列的前项和．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
17．已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
18．如图，已知三棱锥，底面是等腰三角形，，是等边三角形，为线段上一点，，二面角的大小为.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值．
答案
1．【正确答案】D
【详解】，
，
所以.
故选：D.
2．【正确答案】B
【详解】，所以，
故选：B.
3．【正确答案】C
【详解】依题意可知，
由可得，即，也即;
设的夹角为，可得，
又，可得.
故选：C
4．【正确答案】A
【详解】设数列公比为，则，
，因，
则（负舍）.
故选：A
5．【正确答案】A
【详解】因为，
，
又，，所以，
，
且，所以，
所以.
故选：A.
6．【正确答案】C
【详解】连接，
在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角，
由已知，，，
由余弦定理得，，
，
∴．
故选：C．

7．【正确答案】B
【分析】①化简函数，代入周期公式，判断周期；②由，判断出，去绝对值即可判断单调性；③化简函数利用余弦函数判断对称轴.
【详解】对于①，由，最小正周期为，结论①不正确；
对于②，由，有，所以，
此时在区间单调递增，结论②正确；
对于③，，
对称轴由确定，当时，，结论③正确.
故选B.
8．【正确答案】D
【详解】，，当时，，
函数单调递减，函数的值域是，
，，当时，，
函数单调递增，函数的值域是，
因为，，使得，
所以，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选D.
9．【正确答案】ABD
【分析】易得折叠后三条直线两两垂直，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可判断B；根据椎体的体积公式即可判断C；求出外接球的半径，再根据外接球的体积公式即可判断D.
【详解】正方形中，，，
折起后，有，
平面，所以平面，
又平面，所以，故A正确；
因为平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，故B正确；
折叠后可知三条直线两两垂直，
，，
，故C错误；
由三条直线两两垂直，
如图，补全长方体，
则长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，所以，
所以三棱锥的外接球的体积是，故D正确.
故选ABD.
10．【正确答案】BC
【详解】对A：，当时，，两式作差可得：当时，；
又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，A错误；
对B：，当时，，两式作差可得：当时，；
又满足，故，且，故数列为等比数列，B正确；
对C：是等差数列，故，故C正确；
对D：是等比数列，且，，不妨取，故，故D错误.
故选：BC.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，由，
取，得，故A正确；
对于C，由，
取，因，故，即，
当时，，则，故，即，故C正确；
对于B，由，
取，可得，，整理得，，
因为，，当且仅当时取等号，
由选项C可知的符号可正可负，故不一定有，
即不一定成立，故B错误；
对于D，任取，则，
依题意，，而，
则，即，
即在上是增函数，
于是对于，
任取，因为，则，即，
即函数在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】当时，由得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，所以当时，的最小值为，
且时，，当时，易知在上单调递减，
在上单调递增，又，所以当时，的最小值为，
作出函数与的图象如图所示，
由图可知，要使方程至少有3个不同的实数根，即与的图象至少有3个交点，只需．
故答案为.
13．【正确答案】①③
【详解】由，解得或，即定义域为，
，
所以由对数的运算性质可得，即为奇函数，故①正确，②错误；
又由，
令，其中且，可得，
因为在上单调递减，且，
所以在上单调递减，所以③正确；
又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减，
所以④不正确．
故①③.
14．【正确答案】/
【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接，
底面是矩形，，，
，， 则，且，
又底面，底面，，，
而，平面，
所以平面，平面，
即为三棱锥的高，，
在中，，，
在中，，
中，，，
在中，，则，
，
在中，，
在中，
，
在中，，，，
由余弦定理，则
，
设到平面的距离为，
，所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)最小正周期为，最大值为2；
(2)
【详解】（1），
函数的最小正周期为，最大值为2；
（2），即，
因为，则，所以，则，
因为，所以，
根据正弦定理，即，解得.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得的通项公式为，
得，所以．
（3）由（2）知，
所以
．
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1），由，可得时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
时，函数取得极小值即最小值；
（2）对分类讨论：
若，则，不存在，使得成立；
若，则，满足题意；
若，由(1)可知，函数的最小值为，所以，解得.
综上可得，实数的取值范围是.
18．【正确答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】
(1)
取中点，连接，.
因为为等边三角形，所以.
设，因为为等腰三角形，且，所以
，，
在中，，由余弦定理得：
，
所以，故.因为，平面，所以平面，从而.
(2)
在上取点，使，连接，则，
所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
由（1）平面，得平面平面，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成的角.
又由（1）知二面角的平面角为，所以，
设，则，，，，
所以在中，余弦定理得:
，
在中求得，，
在中，余弦定理得：
，又.
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为椭圆上一点，为圆上一点，
由的最大值为，得，所以．
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）在中令，得，所以，
显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由，消去得，
所以，则，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
所以，
所以．
令，则，
则，当且仅当，即时取得等号，
所以面积的最大值为．