2024~2025学年湖南省常德市汉寿县汉寿县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年湖南省常德市汉寿县汉寿县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．已知数列的前项和，则数列的各项中（ ）
A．所有项均是数列中的项B．所有项均不是数列中的项
C．只有有限项是数列中的项D．只有有限项不是数列中的项
3．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为2，标准差为．
A．①③B．③④C．②③D．②④
4．一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且，则点到底面的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数为偶函数，且当时，．若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为
A．B．C．D．
7．已知正三棱锥，点、、、都在直径为的球面上，若、、两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则以下结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．函数的单调递增区间为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．是函数图象的一个对称中心
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数在上的最大值为
B．当时，函数的图像关于直线对称
C．是函数的一个周期
D．不存在，使得函数是奇函数
11．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为为坐标原点，直线与交于点，则（ ）
A．以为直径的圆与轴相切B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，，且，则实数的值为 ．
13．设为正项等比数列(公比)前项的积，若，则
14．为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．
则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，若边对应的角分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的长度．
16．已知函数在0,+∞上的最大值为.
（1）求的解析式；
（2）讨论的零点的个数.
17．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离.
18．有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
(1)若，，求；
(2)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
19．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
(1)求椭圆C的方程
(2)求证：直线恒过定点；
(3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意知，，所以．
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】由题意知数列的前项和,
当时，；
当时，，
也适合，故；
则，
由于，时，，时，，
结合二次函数性质，对称轴为，
则当，，递增，
再结合数的特点知，
故数列的各项中所有项均是数列中的项，
故选：A
3．【正确答案】D
【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于的人数为2，2，2，3，3，4，6，
则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；
任意连续7天，每天不超过5人体温高于的人数为0，1，2，4，4，4，6，
则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；
对于②，将个数据从小到大排列为，
，，所以，
由于是自然数，且，
所以都不超过，②正确.
对于④，将个数据从小到大排列为，
，，
，
，
由于是自然数，若自然数大于，则，矛盾，
所以都不超过，④正确.
综上所述，正确的为②④.
故选:D
4．【正确答案】C
【详解】圆柱半径为1，截面与底边所成角为，作于，
则， .
截面椭圆是以为中心，为长轴端点的椭圆，其长轴长为，短轴长为2，
所以椭圆的方程为，
作于，因为，直线的方程为，
所以设，又因为在椭圆上，
解得：，所以，，
过作，则，
，
由于均平行于底面，故点到底面的距离是.
故选：C.
5．【正确答案】C
【详解】由函数为偶函数，得函数的图象关于直线对称．
当时，，由复合函数单调性可得函数在上为增函数，
所以在上为减函数，
结合，得，即．
故选：C．
6．【正确答案】A
【详解】由，两边平方可得

因为，即
所以
设向量夹角为
则
所以选A
7．【正确答案】A
将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出的长，由此求得正三棱锥的体积.
【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示.设，
由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同，
正方体的体对角线即为外接球的直径，
即，
所以正三棱锥的体积为.
故选：A
8．【正确答案】A
【详解】令，则，
令，则，
则由题意得分别为函数与的交点，
作出三个函数图象如图所示，

由图可得，所以，
由题意得，则，
所以，即，
所以.
故选：A
9．【正确答案】BC
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数的图象．
对A，的最大值为3，A错；
对B，令，得，
故函数的单调递增区间为，B对；
对C，因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，C对；
对D，因为，所以不是函数图象的对称中心，D错．
故选：BC．
10．【正确答案】ABD
【详解】解：函数，
对于A：当时，，
由于,，当时，函数的最大值为，故A正确；
对于B：当时，，
由，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C:，故C错误；
对于D：要使函数为奇函数，则，即，
整理得：，
即，关系式不恒成立，
故不存在，使得函数是奇函数，故D正确．
故选：ABD．
11．【正确答案】AD
【详解】由题知F1,0，，设点在第一象限，，，
中点到轴的距离，
则以为直径的圆与轴相切，A正确；
若点B在x轴上方，则，，
所以；
若点B在x轴下方，则,B错误；
连接，由，得，由抛物线定义可知，所以，
故，同理，又，
所以，即，所以，
则有，故，C错误；
设直线，联立，得，则，
直线，联立，解得，
又，所以，即与重合，所以，D正确.
故选：AD
12．【正确答案】或
【详解】因为，所以，
即，
化简得，
所以或，
解得或.
故或
13．【正确答案】
【详解】由题意得：，
所以，
根据等比数列的性质，可得：，
设等比数列的公比为q，
所以，，
所以.
故
14．【正确答案】
【详解】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”，
则，，，
事件包括的事件是：“3次投掷的点数之和为6"，“3次投掷的点数之和为12”，“3次投掷的点数之和为18”，
①若“3次投掷的点数之和为6”，则有“”、“”、“”三种情形，故共有种；
②若“3次投掷的点数之和为12”，则有“”、“”、“”、“”、“”、“”六种情形，
故共有种；
③若“3次投掷的点数之和为18”，则只有“”一种情形，
则，
所以.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得
在，，∴
∴，即
又，∴
∴，∴
（2）解：∵且，
∴，
∴
∴
16．【正确答案】（1）（2）有且仅有个零点
（1）由，求导得到，根据函数在0,+∞上的最大值为，利用唯一的极值点为最值点求解.
（2）由（1）得到，求导，设，分，， ， 四种情况用导数法结合零点存在定理求解.
【详解】（1）由，得，
令，得；令，得，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
故在处有极大值，也是的最大值，
所以，∴，
故.
（2）∵，
∴，
设，
（i）当时，∴，所以单调递减.
又，，从而在上存在唯一零点.也即在上存在唯一零点.
（ii）当时，，所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，，且在上，在上，
所以为在上的最大值，
又因为，，
所以在上恒大于零，无零点.
（iii）当时，，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增.
又，，
所以在上存在唯一零点.
（iiii）当时，，
设，
∴，
所以在上单调递减，所以，即.
∴在上单调递减，
因为，所以在上单调递增，
因为，，
所以在无零点，
综上，有且仅有个零点.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为菱形，，所以为等边三角形，且，分别为，的中点，则，
又因为为直四棱柱，则平面，且平面，则，且
所以平面，又因为平面，所以平面平面.
（2）
因为直四棱柱，，，分别为，的中点，
所以，，
，，，
因为底面为菱形，，所以，，
由（1）知平面，设点到平面的距离为，则，
因为，所以，因为，因为，，，
所以，设点到平面的距离为，
因为，所以，因此.
故点到平面的距离为.
18．【正确答案】(1)
(2)的最大值为，此时的值为.
【详解】（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
故所求概率为.
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.
以给定所在位置的序号作为条件，.
当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.
当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，
此时.
由全概率公式知.
令函数，.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
所以当，时取得最大值，最大值为，此时，
即的最大值为，此时的值为.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）由已知两个顶点坐标为A−2,0，，短轴长为2，得，，

则椭圆方程.
（2）设直线方程为，Px1,y1，Qx2,y2，
由，消去x得，，
，
则，，
，
，
又点Px1,y1在椭圆上，则，即
则，
即，则，
即
，
解得，此时，
即直线的方程为，
所以直线恒过定点.
（3）设直线的方程为，，，

由，消去得，
，即，
则，，
所以
点到直线的距离，
所以，
又，，
所以
，
所以
则当即时，取最大值为.奖品
一个健身背包
一盒蛋白粉
概率